有限离散Fourier变换DFT

1,第四章 离散序列,40,第四章 离散序列,4.1,有限离散,Fourier,变换,(,DFT,),第四章 离散序列,4.1 有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),4.2 快速 Fourier 变换,(,FFT,),4.3 DFT 和 FFT 的应用,4.4 频谱分析实验,4.1 有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),一、离散序列的 Fourier 变换,二、离散序列的,卷积与卷积定理,三、离散时间信号与离散序列的对比,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),五、,DFT 的基本性质,一、离散序列的 Fourier 变换,引言,在实际问题中，并不是任何信号都与时间有关，也许,仅仅是由一些,(,物理,),数据所构成的序列。,这些序列与离散时间信号的表现形式是一样的，因而,同样可以像离散,时间信号一样,进行 Fourier 变,换以及,频谱分析。,对于,(,纯粹的,),离散序列，由于与时间没有关系，因而,也就没有所谓的频率，但是仍然可以借用这一概念来,反映数据变化的快慢。,一、离散序列的 Fourier 变换,1. 离散序列,示,意,图,定义,称 为离散序列，简记为 或 或,2. 离散序列的 Fourier 变换,正变换,反变换,事实上，将离散时间序列,的,Fourier,变换中的采样间隔 取为,1，即得到上述结果。,一、离散序列的 Fourier 变换,3. 物理意义,(1) 称 为 的,频谱密度函数,(简称为,频谱,)，,定义,它是以,1,为周期的周期函数。,(2) 称 为,振幅谱,；,称 为,相位谱,。,Fourier,第 五 对 傅 氏 变 换,非,周期,离散,连续,周期,已知离散序列 的频谱为,例,求序列,根据欧拉公式，有,解,即得,二、离散序列的,卷积与卷积定理,1.,卷积,设有离散序列,与 ，称,定义,为 与 的,(,线性),卷积,，,记为,交换律,性质,结合律,分配律,2.,卷积定理,设 ，则,定理,二、离散序列的,卷积与卷积定理,3.,卷积的计算过程,左移,方法一,(线上操作),(对应相乘求和),(1),不动,反转,右移,(2),不动,不动,(3),(4),进一步移动,并,对应相乘求和，即得其余的 。,二、离散序列的,卷积与卷积定理,3.,卷积的计算过程,方法二,(表上操作，适合于,右边序列,),(1),(2),沿,“斜线”,求和，即得,。,方法一,解,*,已知序列 和 分别为：,求线性卷积,*,。,其它,其它,例,方法二,(,n,为其它,),解,已知序列 和 分别为：,求线性卷积,*,。,其它,其它,例,解,已知序列 和 分别为：,求线性卷积,*,。,例,利用了,交换律,(1),(2),当 时，,(3),当 时，,已知序列 和 分别为：,求线性卷积,例,*,解,其它,。,(1),当 时，,当 时，,(2),已知序列 和 分别为：,求线性卷积,例,*,解,其它,。,(3),当 时，,解,已知序列 和 分别为：,求线性卷积,例,*,三、离散时间信号与离散序列的对比,1. 频谱函数之间的关系,关系,设 为离散时间信号， 为对应的离散序列，,即 ，,则有,三、离散时间信号与离散序列的对比,2. 卷积之间的关系,设,和 为两个离散时间信号，,对应的离散序列，,即 ，,记为,记为,关系,弄清楚离散时间信号与离散序列之间的关系后，下面就只需,讨论离散序列的,计算机实现,问题了。,和 为,则,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),因此，还需要找到这样一种 Fourier 变换公式：,引言,通过前面的讨论，已得到了如下一些,Fourier,变换：,连续周期信号,离散频谱函数,连续有限信号,离散频谱函数,连续非周期信号,连续频谱函数,离散时间信号,连续频谱函数,离散序列,连续频谱函数,但是，所有这些变换都不适宜在数字计算机上完成，,有限离散,有限离散,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),1. 有限离散序列的 Fourier 变换,考虑,长度为,N,的有限离散序列,已有的变换公式，可得其 Fourier 变换为：,可见，有限离散序列的频谱仍为连续函数，且是周期为,1,的周期函数。,按照前面,因此，首先需要将频谱函数离散化。,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),2. 频谱函数离散化,长度为,N,的有限个离散值为：,将 区间,N,等分，,则得到 的,记,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),2. 频谱函数离散化,(,?,),不能构成,一对变换,问题,仅由频谱函数 的,N,个离散值 能否精确得到 ?,记,分析,则有,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),2. 频谱函数离散化,记 则有,分析,即,因此，只需证矩阵,A,可逆并求出其逆矩阵即可。,A,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),3. 矩阵,A,的性质,性质1,对称性,性质2,正交性,记为,其中,证明,(1),四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),3. 矩阵,A,的性质,性质1,对称性,性质2,正交性,证明,(1),其中,(2),当 时，,当 时，,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),3. 矩阵,A,的性质,性质1,对称性,性质2,正交性,由此有,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),4. 有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),(正变换),DFT:,IDFT:,记,(,称为,旋转因子,),，,(逆变换),(反变换),则有,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),5. 物理意义,Fourier,第 六 对 傅 氏 变 换,有限,离散,离散,有限,为函数 在 区间上的,N,个等距的离散值，,其中 为序列 的连续频谱函数。,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),6. 几点说明,则由 有,如果不考虑具体的物理意义，则变换式中的 以及指数,的正负号是可以互换的。,即 为 在,区间上的,N,个等距的离散值，,其中 为离散时间序列 的连续频谱函数。,若 为离散时间信号 ，,四、,有限离散 Fourier 变换,(,DFT,),6. 几点说明,对于复数序列，变换公式也是成立的。,变换公式还可以写成如下的形式：,因此在计算机实现时，只需编写一个正变换的核心程序。,输入,取共轭,除以,N,输出,正变换,(,DFT,),取共轭,IDFT：,五、,DFT 的基本性质,1.,求和性质,2.,线性性质,则,若 且,a,b,为任意常数，,3.,对偶性质,若,(,以 为信号序列,),则,(,以 为信号序列,),4. 共轭对称,性质,五、,DFT 的基本性质,若,且,为实信号，,则,证明,5.,时移性质,五、,DFT 的基本性质,若,m,为任意整数，,则,注,这里的时移序列 是序列 的,循环位移,。,例如,将如图所示的序列 分别向右和向左循环位移 3 位。,(向右),(向左),6. 频,移性质,五、,DFT 的基本性质,若,m,为任意整数，,则,注,这里的频移序列 是序列 的,循环位移,。,频移性质表明，若离散序列 乘以指数项 则其,离散傅里叶变换 就向右,(,),或向左,(,),循环,位移 位。,该性质被应用于调制信号的,频谱搬移,。,若,m,为任意整数，,6. 频,移性质,五、,DFT 的基本性质,则,特别,当 时，,即得,(,称此为,中心 DFT,),中心 DFT,五、,DFT 的基本性质,7. 帕塞瓦尔,(,Parseval,),等式,则,若,证明,特别,令,(能量守恒),有,五、,DFT 的基本性质,8. 周期性质,令,则 和 都是周期为,N,的周期序列。,若,周期延拓，,其它。,周期延拓，,其它；,即,五、,DFT 的基本性质,8. 周期性质,证明,(只证其中一个),令,则,Fourier,第 七 对 傅 氏 变 换,周期,离散,离散,周期,(,最 后一对,),为 ，序列 满足,五、已知有限序列,的离散 Fourier 变换,(,DFT,),求序列 的离散 Fourier 变换,解,已知,又根据欧拉公式有：,解,其中,周期延拓,，,其它。,为 ，序列 满足,五、已知有限序列,的离散 Fourier 变换,(,DFT,),求序列 的离散 Fourier 变换,休息一下,