2.1曲线与方程(三个课时)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,曲线与方程,2.1.1,曲线与方程,濮阳县三中 袁志伟,为什么,?,复习回顾,:,我们研究了直线和圆的方程,.,1.,经过点,P(0,b),和斜率为,k,的直线,L,的方程,为,_,2.,在直角坐标系中,平分第一、三象限的,直线方程是,_,3.,圆心为,C(a,b) ,半径为,r,的圆,C,的方程,为,_.,x-y=0,含有关系,：,x-y,=0,x,y,0,（,1,）,上点的坐标都是方程,x-y,=0,的解,（,2,）,以方程,x-y,=0,的解为坐标的点都在 上,坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是,x-y=0,思考,?,反之，如果 是方程,x-y=0,的解，即 ， 那么以这个解,为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。,如果点 是这条直线上的任点，则 ，那么它的坐标,是方程,x-y=0,的解；,圆心为,C(a,b) ,半径为,r,的圆,C,的方程为,:,满足关系：,（,1,）如果,是圆上的点，那么,一定是这个方程的解,0,x,y,M,（,2,）方程,表示如图的圆,图像上的点,M,与此方程 有什么关系？,的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。,（,2,）,如果,是方程,圆心为,C(a,b) ,半径为,r,的圆,C,的方程为,:,思考,?,(1),曲线上点的坐标都是这个方程的解,;,(2),以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,.,那么,这个方程叫做,曲线的方程,;,这条曲线叫做,方程的曲线,.,定义,:,1,.,曲线的方程,反映的是图形所满足的数量关系,;,方程的曲线,反映的是数量关系所表示的图形,.,f,(,x,y,)=0,0,x,y,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线,C(,看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹,),上的点与一个二元方程,f(x,y)=0,的实数解建立了如下的关系,:,说明,:,2.“,曲线上的点的坐标都是这个方程 的解,”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外,.,（点不比解多）,（纯粹性）,.,3.“,以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏,.,（解不比点多）,（完备性）,.,由曲线的方程的定义可知,:,如果曲线,C,的方程是,f(x,y)=0,，那么点,P,0,(x,0 ,y,0,),在曲线,C,上的,充要条件,是,f(x,0, y,0,)=0,例,1,:,判断下列命题是否正确,解,:,(1),不正确，应为,x=3,(2),不正确,应为,y=1.,(3),正确,.,(4),不正确,应为,x=0(-3y0).,(1),过点,A,（,3,，,0,）且垂直于,x,轴的直线的方程为,x=3,(2),到,x,轴距离等于,1,的点组成的直线方程为,y=1,(3),到两坐标轴的距离之积等于,1,的点的轨迹方程为,xy=1 (4) ABC,的顶点,A(0,-3),，,B(1,0),，,C(-1,0),，,D,为,BC,中点，则中线,AD,的方程,x=0,例,2.,证明与两条坐标轴的距离的积是常数,k(k0),的点的轨迹方程是,xy=k.,M,第一步，设,M (,x,0,y,0,),是曲线,C,上任一点，证明,(,x,0,y,0,),是,f,(,x,y,)=0,的解；,归纳,:,证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步，设,(,x,0,y,0,),是,f,(,x,y,)=0,的解，证明点,M (,x,0,y,0,),在曲线,C,上,.,练习,1:,下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,(1),曲线,C,为过点,A(1,，,1),，,B(-1,，,1),的折线,(,如图,(1),其方程为,(x-y)(x+y)=0;,(2),曲线,C,是顶点在原点的抛物线其方程为,x,+ =0;,(3),曲线,C,是, ,象限内到,x,轴，,y,轴的距离乘积为,1,的点集其方程为,y,=,。,1,0,x,y,-1,1,0,x,y,-1,1,-2,2,1,0,x,y,-1,1,-2,2,1,练习,2:,下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？, - =0,|,x,|-|,y,|=0,x,-|,y,|=0,1,1,O,X,Y,1,1,O,X,Y,1,1,O,X,Y,-1,-1,1,1,O,X,Y,-1,A,B,C,D,练习,3:,若命题“曲线,C,上的点的坐标满足方程,f(x,y)=0”,是正确的,则下列命题中正确的是,( ),A.,方程,f(x,y)=0,所表示的曲线是,C,B.,坐标满足,f(x,y)=0,的点都在曲线,C,上,C.,方程,f(x,y)=0,的曲线是曲线,C,的一部分或是曲线,C,D.,曲线,C,是方程,f(x,y)=0,的曲线的一部分或是全部,D,C,练习,4:,设圆,M,的方程为,直线,l,的方程为,x,+,y,-3=0,点,P,的坐标为,(2,1),那么,( ),A.,点,P,在直线上，但不在圆上,B.,点,P,在圆上，但不在直线上；,C.,点,P,既在圆上，也在直线上,D.,点,P,既不在圆上，也不在直线上,练习,5:,已知方程 的曲线经过点,则,m,=_,n,=_.,求曲线的方程（,1,）,复习回顾,2.,练习：,(1),设,A(2,0),、,B(0,2),，,能否说,线段,AB,的方程为,x+y-2=0?,(2),方程,x,2,-y,2,=0,表示的图形是,_,1.,复习曲线的方程和方程的曲线的概念,3.,证明已知曲线的方程的方法和步骤,上一节，我们已经建立了曲线的方程,.,方程的曲线的概念,.,利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（,x,y,）所满足的方程,f,(,x,y,)=0,表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,.,这一节，我们就来学习这一方法,.,“,数形结合” 数学思想的基础,1,解析几何与坐标法：,我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做,坐标法,.,在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫,解析几何,的学科,.,因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科,.,2,平面解析几何研究的主要问题：,（,1,）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （,2,）通过方程，研究平面曲线的性质,.,说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤,.,.,由两点间的距离公式，点,M,所适合条件可表示为：,将上式两边平方，整理得：,x,+2,y,7=0 ,我们证明方程是线段,AB,的垂直平分线的方程,.,（,1,）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程解；,（,2,）设点,M,1,的坐标（,x,1,y,1,）是方程的解，即,:,x,+2,y,1,7=0,x,1,=7,2,y,1,解法二,:,设,M(x,y),是线段,AB,的垂直平分线上任意一点,也就是点,M,属于集合,问题,1.,设,A,、,B,两点的坐标是,(,1,1),，,(3,7),，求线段,AB,的垂直平分线的方程,.,即点,M,1,在线段,AB,的垂直平分线上,.,由,(1),、,(2),可知方程是线段,AB,的垂直平分线的方程,.,点,M,1,到,A,、,B,的距离分别是,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：,说明：,一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（,5,）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明,.,另外，根据情况，也可以省略步骤（,2,），直接列出曲线方程,.,(1),建系设点：,建立适当的坐标系,用有序实数对（,x,y,）表示曲线上任意一点,M,的坐标；,(2),列式,:,写出适合条件,p,的点,M,集合,P=M|p(M),(3),代换,:,用坐标表示条件,p(M),列出方程,f(x,y)=0;,(4),化简,:,化方程,f,(,x,y,)=0,为最简形式；,(5),审查,:,说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上,.,例,2.,已知一条直线,l,和它上方的一个点,A,，点,A,到,l,的距离是,2,一条曲线也在,l,的上方，它上面的每一点到,A,的距离减去到,l,的距离的差都是,2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程,.,取直线,l,为,x,轴,过点,A,且垂直于直线,l,的直线为,y,轴,建立坐标系,xOy,解：,2),列式,3,）代换,4),化简,5,）审查,1,）建系设点,因为曲线在,x,轴的上方，所以,y,0,所以曲线的方程是,设点,M(x,y),是曲线上任意一点，,MBx,轴，垂足是,B,，,通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的,点所要适合的条件列出等式,，是求曲线方程的,重要环节,，在这里常用到一些基本公式，如,两点间距离公式,，,点到直线的距离公式,，,直线的斜率公式,，,中点公式,等,，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习,.,2.1.2,求曲线的方程,（,2,）,求曲线（图形）的方程步骤：,说明：,一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（,5,）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明,.,另外，根据情况，也可以省略步骤（,2,），直接列出曲线方程,.,(1),建系设点：,建立适当的坐标系,用有序实数对（,x,y,）表示曲线上任意一点,M,的坐标；,(2),列式,:,写出适合条件,p,的点,M,集合,P=M|p(M),(3),代换,:,用坐标表示条件,p(M),列出方程,f(x,y)=0;,(4),化简,:,化方程,f,(,x,y,)=0,为最简形式；,(5),审查,:,说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上,.,复习回顾,解,:,练习,1.,2.,B,B,3.,4.,到,F(2,，,0),和,y,轴的距离相等的动点的轨迹方程是,_,解,:,设动点为,(,x,，y,),，则由题设得,化简得,:,y,2,=4(x-1),这就是所求的轨迹方程,.,y,2,=4(x-1),5.,在三角形,ABC,中，若,|BC|=4,，,BC,边上的中线,AD,的长为,3,，求点,A,的轨迹方程,.,设,A(x,，,y),，又,D(0,，,0),，所以,化简得,:,x,2,+y,2,=9 (y0),这就是所求的轨迹方程,.,解,:,取,B,、,C,所在直线为,x,轴，线段,BC,的中垂线为,y,轴，建立直角坐标系,.,1.,直接法,:,求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立,x, y,之间的关系,构成,F(x, y)=0,即可,.,直接法,定义法,代入法,参数法,求轨迹方程的常见方法,:,2.,定义法,：,（,待定系数法）,利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有,定点,与,定直线,及,两定点距离之和或差为定值,的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件（下面的课中讲）,3.,代入法,:,这个方法又叫相关点法或坐标代换法,.,即利用动点,P(x,y),是定曲线,F(x,y)=0,上的动点,另一动点,P(x,，,y),依赖于,P(x,y),，那么可寻求关系式,x=f(x,y),y=g(x,y),后代入方程,F(x,y)=0,中，得到动点,P,的轨迹方程,.,例、已知,ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点,C,在曲线,y=3x,2,-1,上移动,求,ABC,的重心的轨迹方程,.,4.,参数法,:,选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标,x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。,归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。,例、经过原点的直线,l,与圆,相交于两个不同点,A,、,B,，求线段,AB,的中点,M,的轨迹方程,.,消参法,1.,求曲线的方程的一般步骤：,设（,建系设点,）,找,（,找等量关系,）,列,（,列方程,）,化（,化简方程,）,验（,以方程的解为坐标的点都是曲线上的点,）,- M(x,y),- P=M|M,满足的条件,课堂小结,2.“,数形结合” 数学思想的基础,3,、,求曲线 方程的四种方法：直接法、定义法、代入法、参数法,B,D,A,C,B,