23.2.5-一元二次方程应用题

上页,下页,结束,一元二次方程解应用题,例,1,：,某校为了美化校园,准备在一块长,32,米,宽,20,米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案,(,如图,),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少,?,使图,(1),(2),的草坪,面积,为,540,米,2,.,(1),(2),(1),解,:,(1),如图，设道路的宽为,x,米，则,化简得，,其中的,x=25,超出了原矩形的宽，应舍去,.,图,(1),中道路的宽为,1,米,.,则横向的路面面积为,，,分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于,540,米,2,。,解法一、 如图，设道路的宽为,x,米，,32x,米,2,纵向的路面面积为,。,20x,米,2,注意：这两个面积的重叠部分是,x,2,米,2,所列的方程是不是,？,图中的道路面积不是,米,2,。,(2),横向路面,:,如图，设路宽为,x,米，,32x,米,2,纵向路面面积为,:,20x,米,2,草坪矩形的长（横向）为,:,草坪矩形的宽（纵向,:,）为：,相等关系是：草坪长,草坪宽,=540,米,2,(20-x),米,（,32-x),米,即,化简得：,再往下的计算、格式书写与解法,1,相同。,而是从其中减去重叠部分，即应是,m,2,所以正确的方程是：,化简得，,其中的,x=50,超出了原矩形的长和宽，应舍去,.,取,x=2,时，道路总面积为：,=100 (,米,2,),草坪面积,=,= 540,（米,2,）,答：所求道路的宽为,2,米。,(,),32 20,x+ x-x,2,(,),32 2 20 2 2,2,+ -,(,),32 20 100,-,解法二：,我们利用,“图形经过移动，它的面积大小不会改变”,的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）,横向路面,:,如图，设路宽为,x,米，,32x,米,2,纵向路面面积为,:,20x,米,2,草坪矩形的长（横向）为,:,草坪矩形的宽（纵向,:,）为：,相等关系是：草坪长,草坪宽,=540,米,2,(20-x),米,（,32-x),米,即,化简得：,再往下的计算、格式书写与解法,1,相同。,解法二：,我们利用,“图形经过移动，它的面积大小不会改变”,的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）,横向路面,:,如图，设路宽为,x,米，,32x,米,2,纵向路面面积为,:,20x,米,2,草坪矩形的长（横向）为,:,草坪矩形的宽（纵向,:,）为：,相等关系是：草坪长,草坪宽,=540,米,2,(20-x),米,（,32-x),米,即,化简得：,再往下的计算、格式书写与解法,1,相同。,练习：,1.,如图是宽为,20,米,长为,32,米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路,(,两条纵向,一条横向,且互相垂直,),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为,550,平方米,问,:,道路宽为多少米,?,5,x,x,x,x,（,8,2x,）,（,5,2x,）,8,镜框,有多宽,?,一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为,8m,，宽为,5m,如果镜框中央长方形图案的面积为,18m,2,，则花边多宽,?,解：设镜框的宽为,xm,，则镜框中央长方形图案的长为,m,宽为,m,得,（,8,2x,）,（,5,2x,）,m,2,例,1.,宽为,m,得,(8,2x) (5,2x) = 18,镜框,有多宽,?,一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为,8m,，宽为,5m,如果镜框中央长方形图案的面积为,18m,2,，则镜框多宽,?,解：设镜框的宽为,xm,，则镜框中央长方形,图案的长为,m,（,8,-,2x,）,（,5,-,2x,）,例,1.,即,2X,2,13 X,11,0,解,得,X,1,1,，,X,2,5.5(,不合题意,),答,:,镜框的宽为,1m.,审,设,答,解,列,练习,1,：要做一个高是,8cm,底面的长比宽多,5cm,体积是,528,的长方体木箱，问底面的长和宽,各是多少？,解：设宽为,_cm,，,(x+5),8,X,(,X,5),528,X,5 X,66,0,2,长,X,宽,X,高长方体的体积,(X,6)(X,11),0,X,1,6,，,X,2,11,又,X,0,，,故,X,2,11(,舍去,),即,X,6,5cm,审,设,答,解,列,答,:,底面的长和宽分别是,11,和,6,cm.,则长为,_cm,，得,X,列一元二次方程解应题,小结,：,解决例,1,及,练习,1,这类问题的关键是掌握常见几何图形的面积体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积,昆二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，,第一次月考数学成绩是,a,分，第二次月考增长了,10%,，,第三次月考又增长了,10%,，问他第三次数学成绩是多少？,分析：,第三次,第二次,第一次,a,a,X10%,a+,aX10%,=,a,（,1+10%,）,X10%,a(1+10%)+,a(1+10%) X10%,=,a,（,1+10%,）,2,a,（,1+10%,）,例,2,：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，,2003,年的社会总产值要比,2001,年增长,21%,，求平均每年增长的百分率（提示：基数为,2001,年的社会总产值，可视为,a,）,设每年增长率为,x,，,2001,年的总产值为,a,，则,2001,年,a,2002,年,a,（,1+x),2003,年,a(1+x),2,增长,21%,a,a+21%a,a(1+x),2,=a+21%a,分析：,a (1+x),2,=1.21 a,(1+x),2,=1.21,1+x =1.1,x =0.1,解,:,设每年增长率为,x,，,2001,年的总产值为,a,，则,a(1+x),2,=a+21%a,答,:,平均每年增长的百分率为,10%,列一元二次方程解应题,练习,2,：某种手表，原来每只售价,96,元，经过连,续,2,次降价后，现在每只售价,54,元，平均每次降,价的百分率是多少？,解：设平均每次降价的百分率是,x.,得,96,(1,x),2,=54,解,得,X,1,0.25,，,X,2,1.75(,不合题意,),答,:,平均每次降价的百分率是,为,25%,列一元二次方程解应题,练习,3,：,放铅笔的,V,形槽如图，每往上一层可以多,放一支铅笔现有,190,支铅笔，则要放几层,?,解,:,要放,x,层,则每一层放,(1+x),支铅笔,.,得,x (1+x) =1902,X,X,380,0,解,得,X,1,19,，,X,2, ,20(,不合题意,),答,:,要放,19,层,.,2,列一元二次方程解应题,补充练习：,1,、（,98,年北京市崇文区中考题）如图，有一面,积是,150,平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙,（墙长,18,米），墙对面有一个,2,米宽的门，另三边,（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长,33,米求鸡,场的长和宽各多少米？,一 、数字问题,例,1,已知两个数的差是,8,，积是,209,，求这两个数,.,解：设较小的数为,x,，则较大的数为,(,x,+8),，,根据题意，得,x,(,x,8),209,x,2,8,x,16,209+16,(,x,4),2,225,x,4,15,x,1,11,x,2,19,当,x,=11,时，,x,8,19,；,当,x,19,时，,x,8,11.,都符合题意,.,答：这两个数分别,11,和,19,，或,19,和,11.,例,2,三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大,332,，求这三个连续偶数,.,1,、偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为,(,x,1),和,(,x,1).,2,、奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间一个为,x,.,如三个连续偶数，可设中间一个偶数为,x,，则其余两个偶数分别为,(,x,2),和,(,x,+2),又如三个连续自然数，可设中间一个自然数为,x,，则其余两个自然数分别为,(,x,1),和,(,x,1).,解,：设中间一个偶数为,x,，则其余两个偶数分别为,(,x,2),和,(,x,2),根据题意，得,(,x,2),2,+(,x,2),2,x,2,332,整理，得,x,2,324,x,18,当,x,18,时，,x,2,16,x,2,20,；,当,x,=,18,时，,x,2=,20,x,2,16.,答：这三个连续偶数分别为,16,、,18,和,20,，或,20,、,18,和,16.,例,3,一个两位数等于其各位数字之积的,3,倍，且其十位数字比个位数字小,2,，求这个两位数,.,解：设这个两位数的十位数字为,x,，则其个位数字为（,x,2,），,根据题意，得,10,x,(,x,2),3,x,(,x,2),整理，得,3,x,2,5,x,2,0,解得,不合题意，舍去；,x,2, 10,x,(,x,2),24.,答：这个两位数为,24.,（,1,）,十位数字为,a,，个位数字为,b,的两位数是,10,a,b,;,（,2,）百位数字为,a,，十位数字为,b,，个位数字为,c,的三,位数是,100,a,10,b,c,.,二、面积问题,例,4,有一块长,4,米，宽,3,米的长方形空地，现要在空地中央建一个长方形花坛，四周是等宽的草坪，使花坛面积是草坪面积的两倍，求花坛的长和宽,.(,精确到,0.1,米,),解：设四周的等宽草坪的宽为,x,米，,则花坛的长和宽分别为,(4,2,x,),米和,(3,2,x,),米，,根据题意，得,(4,2,x,)(3,2,x,),24,3,(4,2,x,)(3,2,x,),整理，得,2,x,2,7,x,2,0,解得 ，,.,当,x,3.19,时，,4,2,x,0,不合题意，舍去；,当,x,0.31,时，,4,2,x,3.38,3.4, 3,2,x,2.38,2.4.,符合题意,.,答：花坛的长约为,3.4,米，宽约为,2.4,米,.,例,5,学校要建一个面积为,150,平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用,18,米长的教学楼后墙，另三边利用总长为,35,米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽,.,解：,设与教学楼后墙垂直的一条边长为,x,米，则与教学,楼后墙平行的那条边长为,(35,2,x,),米，根据题意，得,x,(35,2,x,),150,解得,当 时，,35,2,x,20,18,不合题意，舍去；,当,x,10,时，,35,2,x,15.,符合题意,.,答：自行车棚的长和宽分别为,15,米和,10,米,.,例,6,如图，一块长,162,米，宽,64,米的矩形耕地，要在这块地上挖,4,横,2,纵共,6,条水渠，如果水渠的宽相等，且要保证余下的可耕地面积为,9600,平方米，求水渠的宽,.(,精确到,0.1,米,),三、增长率问题,例,7,某市市政府计划两年后实现市财政净收入翻一,番，那么这两年中市财政净收入的平均年增长率应为,多少？,(,精确到,0.1%),若记今年市财政净收入为,a,市财政净收入的平均年增,长率为,x,，则,明年（一年后）市财政净收入为,a,ax,a,(1,x,);,后年（两年后）市财政净收入为,a,(1,x,),a,(1,x,),x,a,(1,x,),2,.,解：,设今年某市市财政净收入为,1,，,这两年中市财政净收入的平均年增长率为,x,，,根据题意，得,(1,x,),2,2,符合题意,.,不合题意，舍去,.,答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为,41.4%.,例,8,某服装店原计划按每套,200,元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套,128,元,.,若两次降价折扣率相同,求每次降价率为多少？两次打折标示多少折？,（,1,）若原价为,a,元，降价率为,x,，则一次降价后标价为,a,ax,a,(1,x,),元,;,两次降价后标价为,a,(1,x,),2,元,.,（,2,）若原价为,a,元，打,y,折，则,一次打折后标价为 元,;,两次降价后标价为,元,.,降价率,x,与打,y,折的关系为,: .,解：,设每次降价率为,x,根据题意，得,200(1,x,),2,128,x,1,1,0.8,0.2,20%,符合题意，此时两次打折标示均为,8,折；,x,2,1,0.81,不合题意，舍去,.,答：每次降价率均为,20%,，两次打折标示均为,8,折,.,例,9,小明将勤工俭学得到的,500,元钱按一年定期存入银行，到期后取出,50,元用来购买学习用品，剩下的,450,元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行，到期后可得税后本息约,461,元（利息税为利息的,20%,），如果这个期间银行存款的年利率保持不变，那么这种存款的年利率大约是多少？（精确到,0.01%,）,若本金为,a,元，某种存款的年利率,x,，则,一年到期应得税后利息为,ax,(1,20%),元,应得税后本息为,a,1,x,(1,20%),元；,若没取出再存一年（自动转存），到期应得税后本息为,a,1,x,(1,20%),2,元,.,解：,设这种存款的年利率为,x,，,根据题意，得,450,500,x,(1,20%)1,x,(1,20%),461,整理，得,320,x,2,760,x,11,0,解得,符合题意,;,不合题意，舍去,.,答：这种存款的年利率大约是,1.44%.,有关面积问题：,常见的图形有下列几种：,例,1,：用以根长,22,厘米的铁丝，能否折成一个面积是,30,厘米的矩形？能否折成一个面积为,32,厘米的矩形？说明理由。,例,2,：在一块长,80,米，宽,60,米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是,1500,平方米，求这条跑道的宽度。,2.,如图，在长为,40,米，宽为,22,米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为,760,平方米，道路的宽应为多少？,40,米,22,米,例,1:,建造一个池底为正方形,深度为,2.5m,的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是,120,元,/m,2,建造池底的单价是,240,元,/m,2,总造价是,8640,元,求池底的边长,.,分析,:,池底的造,价,+,池壁的造,价,=,总造价,解,:,设,池底的边长是,xm.,根据题意得,:,解方程得,:,池底的边长不能为负数,取,x=4,答,:,池底的边长是,4m.,列一元二次方程解应用题面积与质点运动问题,有关“,动点,”,的运动问题”,1),关键,以静代动,把动的点进行转换,变为线段的长度,2),方法,时间变路程,求,“,动点的运动时间,”,可以转化为求,“,动点的运动路程,”,，也是求线段的长度,;,由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键,.,3,）,常找的,数量关系,面积，勾股定理，相似三角形等；,例,1,在矩形,ABCD,中,AB=6cm,BC=12cm,点,P,从点,A,开始以,1cm/s,的速度沿,AB,边向点,B,移动,点,Q,从点,B,开始以,2cm/s,的速度沿,BC,边向点,C,移动,如果,P,、,Q,分别从,A,、,B,同时出发，几秒后, PBQ,的面积等于,8cm,2,？,解：设,x,秒后, PBQ,的面积等于,8cm,2,根据题意，得,整理，得,解这个方程，得,所以,2,秒或,4,秒后, PBQ,的面积等于,8cm2,例,2,：等腰直角,ABC,中,AB=BC=8cm,动点,P,从,A,点出发,沿,AB,向,B,移动,通过点,P,引平行于,BC,AC,的直线与,AC,BC,分别交于,R,、,Q.,当,AP,等于多少厘米时,平行四边形,PQCR,的面积等于,16cm,2,?,例,2,：等腰直角,ABC,中,AB=BC=8cm,动点,P,从,A,点出发,沿,AB,向,B,移动,通过点,P,引平行于,BC,AC,的直线与,AC,BC,分别交于,R,、,Q.,当,AP,等于多少厘米时,平行四边形,PQCR,的面积等于,16cm,2,?,例,3,：,ABC,中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足为,D,CD=2,P,是,AB,上的一动点,(,不与,A,B,重合,),且,AP=x,过点,P,作直线,l,与,AB,垂直,.,i),设, ABC,位于直线,l,左侧部分的面积为,S,写出,S,与,x,之间的函数关系式,;,ii),当,x,为何值时,直线,l,平分, ABC,的面积,?,例,4,： 在,ABC,中, AC=50cm, CB=40cm, C=90,点,P,从点,A,开始沿,AC,边向点,C,以,2cm/s,的速度移动,同时另一点,Q,由,C,点以,3cm/s,的速度沿着,CB,边移动,几秒钟后, PCQ,的面积等于,450cm,2,?,Q,B,A,C,P,例,2,：客轮沿折线,A-B-C,从,A,出发经,B,再到,C,匀速航行,货轮从,AC,的中点,D,出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航,并同时到达折线,A-B-C,上的某点,E,处,已知,AB=BC=200,海里, ABC=90,客轮速度是货轮速度的,2,倍,.,i),选择,:,两船相遇之处,E,点,( ),A.,在线段,AB,上,;,B.,在线段,BC,上,;,C.,可以在线段,AB,上,也可以在线段,BC,上,;,B,ii),求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里,?(,结果保留根号,),解：设货轮从出发到两船相遇共航行了,x,海里，过,D,作,DF CB,，连接,DF,，则,DE=x,，,AB+BE=2x,，,DF=100,，,EF=300-2x,在,RtDEF,中，,例,5:,在直角三角形,ABC,中,AB=BC=12cm,，点,D,从点,A,开始以,2cm/s,的速度沿,AB,边向点,B,移动,过点,D,做,DE,平行于,BC,DF,平行于,AC,点,E.F,分别在,AC,BC,上,问：点,D,出发几秒后四边形,DFCE,的面积为,20cm,2,？,F,今天，我们主要通过分析几个例题，看到列一元二次方程解应用题的一般步骤及注意事项。首先，要适当地假设未知数，这一步非常关键，往往影响后面解方程的计算量；再仔细分析题意，列出方程，解方程，得到方程的解；这时一定要注意检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的解要舍去；最后答题。对于带有单位的应用题，如面积问题，在假设、答题中要带着单位，中间过程不需要单位。,