3可降阶的高阶微分方程教程

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,可降阶高阶微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过,n,次积分,可得含,n,个任意常数的通解,.,型的微分方程,例,1.,解,:,例,2.,质量为,m,的质点受力,F,的作用沿,Ox,轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力,F,均匀地减,直到,t,=,T,时,F,(,T,) = 0 .,如果开始时质点在原点,解,:,据题意有,t,= 0,时,设力,F,仅是时间,t,的函数,:,F,=,F,(,t,) .,小,求质点的运动规律,.,初速度为,0,且,对方程两边积分, 得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,型的微分方程（方程不显含,y),设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,例,3.,求解,解,:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,三、,型的微分方程,(,方程不显含,x),令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例,4.,求解,代入方程得,两端积分得,(,一阶线性齐次方程,),故所求通解为,解,:,例,5.,解初值问题,解,:,令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1.,方程,如何代换求解,?,答,:,令,或,一般说,用前者方便些,.,均可,.,有时用后者方便,.,例如,2.,解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题,?,答,:,(1),一般情况,边解边定常数计算简便,.,(2),遇到开平方时,要根据题意确定正负号,.,速度,大小为,2,v,方向指向,A,提示,:,设,t,时刻,B,位于 (,x,y,),如图所示, 则有,去分母后两边对,x,求导,得,又由于,设物体,A,从点,( 0, 1 ),出发,以大小为常数,v,备用题,的速度沿,y,轴正向运动,物体,B,从,(1, 0 ),出发,试建立物体,B,的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件,.,代入,式得所求微分方程,:,其初始条件为,即,