三维转动群覆盖群

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3 三维转动群的覆盖群,SU(2),一、二维幺模幺正矩阵群,SU(2),1.,群元素,对于群中任意元素,u,，它的矩阵元素满足,二维幺模幺正矩阵（,detR=1,R,+,R=RR,+,=1,）的集合，按照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群，记作,SU(2),群,1,将复数c，d用4个实数表示出来，取,则 4个实数中只有3个是独立的,为了下面方便讨论，我们用实矢量, 的球坐标,来代替上面实参数h,i,（3个独立的量）,2,其中，, 的长度是,方向沿n(,)方向,其中引入矢量,代表3个泡利矩阵：无迹，幺正，厄米,矢量 满足所有矢量的代数关系，如矢量点乘,3,由上面式子可以证明,SO(3)群,二、群空间,与SO(3)相比较，矢量, 的变化范围即为群空间：,半径为2,的球体,球内的点与SU(2)群元素u间有一一对应的关系,外部球面上的点对应同一个元素（-1）,特点,SU(2)群的群空间是,连通的,；群中任一元素u都可以由恒元出发，在群空间连续变化得到,简单李群,4,连通度,单连通,SO(3)群空间,：只有直径两端的点对应同一元素（连线按跳跃次数的奇，偶分两组，双连通）,SU(2),群空间,：外球表面对应同一个元素（球面上的跳跃可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化，消去跳跃，因此只有一组连线，单连通）,SU(2)群是,紧致,李群 （群空间是欧氏空间的闭空间）,相同,的元素u(n,)互相共轭，构成一类,三、,SO(3),与,SU(2),同态关系,1.,无迹厄米矩阵X,泡利矩阵：无迹，厄米，幺正,泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，厄米矩阵,5,反之，任何二维无迹、厄米矩阵X，若只包含三个独立实参数，则可展开为泡利矩阵的实线性组合,现取：组合系数为三维空间任一点P的三个直角坐标，即,无迹矩阵与P点位置坐标 r 有一一对应关系，可验证,2.,同态关系的建立,设uSU(2)，是任意一个二维幺模幺正矩阵，X经过u,-1,的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵,6,且有相同的行列式 detX=detX,无迹矩阵X与 r ，则X与r 一一对应关系，即X对应空间另一点P,r 的分量可以表示为 r 的分量的线性齐次函数,因此,RO(3),显然,u取恒元时,，X=uXu,-1,相当于无变换，则r与r重合，即,R是恒元,7,u可以由恒元在SU(2)群空间连续变化得到，对应R也可由恒元在O(3)群群空间连续变化得到（但只能是在有恒元的一个连续片内），即,RSO(3),将XX，对应点变化 PP，位置矢量 rr 的变换,RSO(3),反之，若RSO(3),它将rr,对应点变化 PP，则XX；因为X是无迹厄米矩阵，且detX=detX，所以X与X必将通过幺模幺正相似变换uSU(2)相联系，即前面的 X=uXu,-1,，但这样的矩阵不唯一,设,（u,2,-1,u,1,）可于任意矩阵X对易，则它必为常数矩阵，即,8,u,2、,u,1,为幺模矩阵：,各相似变换之间差一个+1因此，即所有相似变换矩阵为 +u,_,_,将X、X按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，则,给出了SO(3)群一个元素R与SU(2)群一对元素+u间的对应关系,_,容易证明：这种对应关系对群元素乘积保持不变，即SO(3)SU(2),将,u(n,),具体表达式代入，通过直接计算可得,R,矩阵（正是前面给出的形式）,9,说 明,群元素对应关系,至此：SO(3)群空间：半径为,的球体,SU(2) ： 2,半径为,的球体内，SO(3)与SU(2)元素一一对应,SU(2)：2间圆环所对应元素，等于半径为的球体内相应元素的负值,这一对+u对应,SO(3)群同一元素,_,10,群SO(3) 双连通，SU(2) 单连通，则SU(2)是SO(3)的覆盖群，同态对应关系 2：1,SO(3) 群的真实表示，称为单值表示，却不是SU(2)群的真实表示；（D(SO,3,),SO,3,SU,2,）,SU(2)群的真实表示，严格说来不是SO(3)的表示，通常称为SO(3)群的双值表示，在物理上与自旋密切相关,只要找到了,SU(2)群的全部不等价不可约表示，也就找到了SO(3)群的全部不等价不可约单值表示和双值表示,四、群上的积分,1.,积分概念,有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群，变成群函数对群元素的积分，即对群参数的带权积分,11,权函数,权函数,：,1）,群空间中，群元素,R,对应点的邻域,dr,体积内，元素的相对密度,2）,要求权函数,(R),单值，可积，不小于零，不发散，在群空间任何一个测度不为零的区域内不恒为零,3）,要求权函数在整个群空间积分是归一化的,F(R),0,但不恒等于零,群函数在群空间对群参数的这种积分，称为群上的积分,12,2.,群上积分的特点,显然是线性运算,希望选择权函数W(R)，使群上的积分对左乘、右乘群元素都保持不变,即 (dr)W(R)不依赖与群元素R,以,为参数计算SU(2)群群上积分的积分元结果,参数,径向长度,SO(3)群径向参数变化范围缩小一半,对类积分，可将角度积掉,13,3.,紧致李群的表示理论,线性表示等价于幺正表示；两个等价的幺正表示可通过幺正的相似变换相联系,实线性表示等价于实正交表示；两个等价的实正交表示可通过实正交的相似变换相联系,可约表示一定是完全可约的；不可约表示的充要条件：找不到非常数矩阵与所有表示矩阵对易，即,不等价不可约幺正表示矩阵元、特征标满足正交关系,14,任何表示都可按不可约表示展开,对特征标的积分，可化为类上的积分，如 SU(2)群：,表示等价的充要条件：每个元素在两个表示中的特征标对应相等,表示不可约的充要条件：,15,对SU(2)群，不等价不可约表示特征标的正交关系为,当 i=j 时，上式便成为不可约表示的充要条件,自共轭的不可约幺正表示与其复共轭表示的相似变换矩阵只能是对称或反对称的,相似变换矩阵对实表示是对称的,非实 反对称,若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=X,-1,D(R)X，则称为自共轭表示,16,