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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,长江大学机械工程学院(HQS),*,2024/9/11,1,第八章 应用实例,例,1.,连杆机构的优化设计,例,2.,弹簧的优化设计,例,3.,标准单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计,2024/9/11,2,例,1.,连杆机构的优化设计,连杆机构运动学设计的基本问题，可以归结为实现已知,运动规律和已知运动轨迹两大类。目前，对连杆机构的运,动综合问题采用优化方法已经很普遍。,本节通过一个铰链四杆机构实现主，从动构件给定函数,关系的设计问题，来说明最优化方法在连杆机构运动学综,合方面的应用。,2024/9/11,3,设 ， 分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆,的位置角，见下图。他们是以机杆架,AD,为基线逆时针度量,的角度。,要求设计以曲柄摇杆机构，当曲柄由 转至 度时，,实现摇杆的输出角 与曲柄转角 之间的如下函数关系,并要求在给定的范围内，,机构最小传动角不得小于,许用值 ，取,求此问题最优解，做法,如下。,2024/9/11,4,一,.,建立优化问题的数学模型,1.,确定设计变量,铰链四杆机构按主从动连架杆给定的角度对应关系进行,设计时，各杆长度按同一比例缩放并不影响主，从动杆转,角的对应关系。因此可把曲柄长度作为单位长度，即令,l,1,=1,，其余三杆表示为曲柄长度的倍数，用其相对长度,l,2,，,l,3, l,4,作为变量。一般考虑，本问题与初始角 ， 也有,关系，所以变量本应为,l,2,，,l,3,，,l,4,， 和 五个。但是两,转角变量并不是独立变量，而是杆长的函数。写出如下式,2024/9/11,5,可见， 和 已由机构的相对杆长所决定，独立变量只有,l,2,，,l,3,，,l,4,三个,为了进一步缩减设计变量，还可以在这三个独立变量中,预先选定一个。根据机构在机器中的许可空间，可以适当,预选机架的长度，本题取,l,4,=5,。,最后确定该优化问题的设计变量,2024/9/11,6,2.,建立目标函数,用铰链四杆机构实现两链架杆,对应转角的函数关系，由于机构独立的参数的数目最多,为,3,个，因此近似的实现预期的运动要求。在本题中，,从动摇杆欲实现输出角的函,数关系，而机构实际上只能,实现下图虚线所示的近似关,系。,输出角函数图,2024/9/11,7,对于该机构设计问题，可以取机构输出角的平方偏差,最小为原则建立目标函数。为此，将曲柄转角为,的区间分成,n,等分，从动摇杆输出角也有相对,应的分点。若各分点标号记作,i,，以各分点输出角的偏差,平方和作为目标函数，则有,2024/9/11,8,式中的有关参数按如下步骤及公式计算,曲柄各等分点的转角,i=0,，,1,，,2,，,，,n,期望输出角,i=0,，,1,，,2,，,，,n,实际输出角,2024/9/11,9,其中，式中的角度右下图可得到,2024/9/11,10,由以上几个式子构成了一个目标函数的表达式。对应于每,一个机构设计方案,x,，即可算出输出角的偏差平方和,F(x),。,2024/9/11,11,3.,确立约束条件,本题的设计受到两个方面的限制，其一是保证铰链四杆,机构满足曲柄存在的条件，其二是在传递运动过程中的最,小传动角大于,45,度。,按传动角要求建立约束条件,由余弦定理,a,图,2024/9/11,12,整理得约束条件,同理由上页,b,图传动角最小位置写出,整理得约束条件,2024/9/11,13,按曲柄存在条件建立约束条件,写成约束条件有,2024/9/11,14,用全部约束条件画成次下图所示的平面曲线，则可见，,g,3,(x)g,7,(x),均是消极约束。而可行域,D,实际上只是由,g,1,(x),与,g,2,(x),两个约束条件围成的。综合上述分析，本题的优,化数学模型如下,ST,：,2024/9/11,15,二,.,选择优化方法及结果分析,该题维数较低，用哪一种优化方法都适宜。这里选用约束,坐标轮换法。,最优解,:,2024/9/11,16,例,2.,弹簧的优化设计,本节只介绍普通圆柱压缩螺旋弹簧的优化设计。,实例：,有一气门弹簧。已知：安装高度,h,1,=50.8mm,，初载荷,F,1,=272N,，最大工作载荷,F,2,=680N,，工作行程,h=10.16mm,弹簧工作频率,f,r,=50Hz,，弹簧丝材料为,50CrVA,，油淬回火，,喷丸处理；弹簧工作温度为,126,o,C,，弹簧中径范围：,20mmD,2,50mm,，总圈数：,4n,1,50,，支撑圈数,n,2,=1.75,旋绕比,C6,，安全系数取,1.2,，弹簧刚度相对误差不超过,0.01,试按重量最轻原则选出弹簧的参数方案。,2024/9/11,17,一,.,确立弹簧优化模型,确定设计变量,影响弹簧重量的参数有弹簧钢丝直径,d,，弹簧中径,D,2,，,弹簧总圈数,n,1,。他们都是独立的参数。故取这三个参数为,设计变量。,先按连续变量处理。,2024/9/11,18,建立目标函数,该问题是追求弹簧重量最轻为目标，因此，以弹簧重量,作为目标函数,其中， 为钢丝材料的密度，,将 具体数值代入，并用,x,1,，,x,2,，,x,3,代表设计变量，可写出,目标函数,2024/9/11,19,确立约束条件,按照弹簧的使用要求，依据对圆柱形压缩螺旋弹簧的设,计与计算公式，可列出如下各项设计约束,疲劳强度条件,按题目要求，疲劳强度安全系数,S,不小于许用的安全系,数,S,min,，即满足,取,2024/9/11,20,式中， 为弹簧材料的剪切极限，可取,为抗拉强度极限,为弹簧材料的脉动循环疲劳极限，考虑到弹簧的材料，工,作温度，可靠度，热处理等因素，确定为,为剪应力幅,2024/9/11,21,为平均剪应力,其中：,K,为曲度系数，按近似式计算有,为应力修正系数，按下式确定,2024/9/11,22,为载荷幅，,为平均载荷,将 ， ， ， 带入 ， 中，得,2024/9/11,23,经整理得约束条件,稳定性条件,防止失稳的条件是最大工作载荷,F,2,不大于压缩弹簧稳定性,的临界载荷,F,C,，即,F,2,F,C,2024/9/11,24,临界载荷按下式计算,式中，,H,0,为弹簧自由高度，它等于压并高度,H,b,与压并变,形量 之和，即,其中,取,为弹簧的最大变形量,2024/9/11,25,K,为弹簧要求具有的刚度,为弹簧的最大变形量,为长度折算系数，按一端固定，一段铰支考虑，取,D,2,位弹簧中径。,2024/9/11,26,于是有约束条件,无共振条件,弹簧在高频率变载荷的作用之下，为避免发生共振现象，,应进行共振条件的验算，设弹簧工作频率为,f,r,，一阶自振频,率为,f,，无共振的条件为,2024/9/11,27,已知， ，两端固定钢制弹簧自振频率为,于是得约束条件为,弹簧致并圈的条件,为了保证弹簧在最大工作载荷作用下不发生并圈现象，则,要求弹簧在最大载荷,F2,作用下的高度,H,2,大于压并高度,H,b,，,即,2024/9/11,28,于是有约束条件,刚度误差要求,设按弹簧的受力与变形要求，弹簧应有的刚度为,K,，而按,已选参数使计算得的弹簧实际刚度为 。题意规定其相对,误差不超过,0.01,。即,2024/9/11,29,弹簧实际刚度表示为,式中，,G,为材料剪切弹性模量，合金钢,n,为弹簧工作圈数，弹簧两端磨平，支撑圈数取,1.75,，,则,n=n,1,-1.75,得约束条件为,2024/9/11,30,旋绕比条件,设计要求旋绕比,C6,（,C=D,2,/d,）,则有约束条件,其他界限约束,弹簧中径范围,20D,2,50,，则有约束条件,弹簧总圈数限制,2024/9/11,31,二,.,选择优化方法并进行计算,该问题维数较低，可采用约束随机法。选取初始点,给定初始步长,三，计算结果,最优点,最优值,上面的最优解是连续性的，需进一步离散化处理，从略。,2024/9/11,32,例,3.,标准单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计（给定速比,u,和扭矩,T,1,）,一,.,目标函数和设计变量,以两齿轮分度圆柱体积之和建立极小化目标函数,引入齿宽系数,设计变量为,即,目标函数,2024/9/11,33,对称布置,、,软齿面时,二,.,约束条件,1.,边界约束,（,1,）,模数,（,2,）,齿数限制,（,3,）,齿宽系数限制,17,35,2024/9/11,34,2.,性能约束,（,1,）接触疲劳强度的限制,式中，,-,载荷系数,-,节点啮合系数,-,齿数比系数,-,材料系数,2024/9/11,35,-,载荷系数,-,载荷分布系数,-,动载荷系数,-,工作情况系数,取决于原动机和工作机，,1-2.25,取决于齿轮的精度、硬度和速度，,1-1.45,取决于齿轮的布置情况和齿面硬度，,1-1.3,式中，,2024/9/11,36,-,节点啮合系数,-,齿数比系数,-,材料系数,对标准齿轮，,=2.4945,钢对钢为,2024/9/11,37,（,2,）,弯曲强度的限制,式中,，,-,齿形系数,（,一般以曲线形式给出，为方便需拟合,）,对标准齿轮传动,-,齿根应力集中系数,
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