《结构动力学》-第十章-随机振动激励响应关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章随机振动激励与响应关系,10-1,线性时不变系统动态特性的频域与时域描述,对于振动系统，不管是已知激励求响应或是已知响应求激励，都必须知道系统的动态特性。,动态特性：指系统随频率、惯性、刚度和阻尼而变化的特性,系统动态特性用,H(,),和,h(t,),来描述,a),频域内的“频率响应函数”,H(,),b),时域内的“脉冲响应函数”,h(t,),1,、 频率响应函数,(,复频响应函数或简称频响函数,),单度线性系统在激励,y(t,),y,0,sin,t,作用下，其稳态响应必定是,x(t,),x,0,sin(,t-,),振幅比,x,0,/y,0,和相位差,确定了系统在固定的激励频率,下的传递特性或传递函数。,若不断改变,，那么传递函数作为,的函数将形成一条曲线，这条曲线就确定了系统的动态特性。,振幅比,x,0,/y,0,和相位差,用复函数,H(,),来表示：,|,H(,)|,称为频响函数的模，又称为系统的增益因子，起放大作用；,(,),称为频响函数的相角或系统的相位因子。,H(,),的具体求法：,由此可得求,H(,),的具体步骤如下：,建立系统运动微分方程，明确什么是输入，什么是输出, 将,y(t,),和,x(t,),及其导数代入运动微分方程，即可得到系统对应于激励,y(t,),和响应,x(t,),的频响函数。,注意,：,y(t,),和,x(t,),可以是力、压力、位移、速度和加速度等，故同一系统可有多个频响函数,(,取决于输入输出是什么,),例,已知：,m,，,k,，,c,，无重板，受位移激扰,y(t,),，系统输出为位移,x(t,),，求相应的频响函数,H(,),。,解：运动微分方程,例,(,纽兰,P58),已知：,k,，,c,，无质量小车，激励是力,y(t,),，响应是位移,x(t,),，求相应的频率响应函数,H(,),。,解：运动微分方程,x(t,),y(t,),k,C,例,图示系统，杆重不计，已知：,m,，,k,，,c,及力激励,F(t,),f,0,sin,t,，响应是,AB,杆转角,，用频率响应函数方法求响应,(t),。,解：运动微分方程,A,k,B,a,a,a,c,F(t,),A,k3a,F(t,),2,、脉冲响应函数,稳态的静止系统在受到单位脉冲,(t),激励后产生的响应称为系统的脉冲响应函数，记为,h(t,),。,(1),单位脉冲,(t)(,狄拉克,函数,),(2),函数,的傅里叶变换,(a),时域,函数,的傅里叶变换,时移性：,(b),频域,函数,的傅里叶逆变换,故：,(3),脉冲响应函数,实际上，在第四章瞬态振动一章已经求过,h(t,),。,求,h(t,),的步骤如下：,建立系统运动微分方程,用,脉冲响应函数,(t),代替,微分方程中的激励，并对方程两边从,0,-,到,0,+,进行积分，得到等效的初始条件, 求满足,初始条件的齐次微分方程的解，即为,h(t,),例,已知：,m,，,k,，,c,及力激励,F(t,),，响应是位移,x(t,),，求,h(t,),。,解,：,(1),运动微分方程为,(2),令,F(t,),(t),x(t,),h(t,),(,比较求,H(,),是令,F(t,),e,i,t,x(t,),H(,),e,i,t,),积分常数,A,和,B,由初始条件确定,对,(*),式两边从,0,-,到,0,+,积分两次,代入通解表达式可得：,3,、频率响应函数与脉冲响应函数之间的关系,可以证明：,H(,),与,(t),是互为傅里叶变换的关系，即,对任意激励,y(t,),和响应,x,(t,),，都有,实际上对,x(t,),H(,),y(t,),两边进行傅里叶变换，有,例,已知：,k,，,c,，无质量小车，激励是力,y(t,),，响应是位移,x(t,),，验证脉冲响应函数和频率响应函数为傅里叶变换对。,x(t,),y(t,),k,C,解：运动微分方程,由留数定理，有,实际上，当,t0,时，有,10-2,系统对任意输入的响应褶积及其傅里叶变换,1,、系统对任意输入的响应褶积积分,设任意激励,y(t,),满足绝对可积，即,一般地，上述积分难以求解，很少采用。,下面采用脉冲响应方法求,x(t,),在,处作用的脉冲,y(,),的响应为：,所有,脉冲,引起的时刻,t,的总响应为：,此式也可以由上页的,(*),式推出：,此式也可以由上页的,(*),式推出：,2,、褶积的傅里叶变换,若,10-3,单输入单输出线性系统的随机振动,设同时进行着无限个实验，每个实验系统是线性且动态特性相同，脉冲响应函数为,h(t,),，频响函数为,H(,),，激励是,y(t,),，响应是,x(t,),。我们的目的是找出激励、响应的统计特性与系统的动态特性,H(,),或,h(t,),之间的关系。,yi(t,),xi(t,),h(t,),H(,),xi(t,),yi(t,),t,t,i=1,2,3,1,、响应的均值和自相关函数,均值,x,对任意激励,y(t,),，响应,x(t,),为,若激励,y(t,),是一平稳随机过程，则平均值,Ey,与采样时刻,(t-,),无关，于是有：,自相关,Rx(,),对平稳过程，有：,若系统动态特性和激励的自相关函数已知，则可由上式求出响应的自相关函数，并且可知，若输入是平稳过程，则输出也是平稳过程。特别，当,0,时，可得响应均方值：,2,、响应的自谱,响应的自谱,S,x,(,),H,*,(,),是,H (,),的共轭复数,用响应的自谱求响应的自相关和均方值,一般地，用这两个式子求自相关和均方值比上节直接从脉冲响应函数出发的积分形式求要方便些。,若输入为白噪声，即,S,y,(,),S,0,常数，则,关于广义积分的詹姆斯,(James),公式,James,公式参见有关参考书，如庄表中、,D.E.,纽兰等,例,(P.138,例,4-1),已知：,m,，,k,，,c,及力激励,y(t,),的,Sy,(,),S0,，求：位移响应,x(t,),的自相关函数、均方值和自功率谱密度函数。,解,：思路：求,H(,),Sx,(,) Rx(,),2,x,系统运动微分方程为：,Sx,(,),在上半平面内只有,1,和,2,两个奇点，由留数定理可得,2,1,*,1,*,2,R,e,I,m,求,Sx,(,),及,2,x,例,已知：,m,，,k,，,c,及输入位移,y(t,),，输出位移,x(t,),，输入谱密度函数为：,解：系统运动微分方程为：,讨论,若用下式计算则,2,x,有不同答案，为什么？,存在，仅当,H(,),分母的各个根都位于,平面的上半平面时，积分才存在。,而,(i,-,0,),i(,+i,0,),的根是,(-i,0,),，位于,平面的下半平面，故不正确。,例已知：,L,，,EI,，抗弯截面模量为,W,的悬臂梁，质量不计，小球质量,m,，阻尼,c,，激励是地面水平加速度,a(t,),，其自谱,Sa(,),S,0,，求：悬臂梁根部最大正应力的均方根值。,由材料力学，对悬臂梁有,解,：思路：,图示系统可看作高大建筑物,(,如烟筒、楼房、水塔、路灯等,),的粗糙模型在地震中的响应问题。,EI,c,m,L,a(t,),x,ma,X,为重物相对于地面的水平位移，若,x,的统计特性知道，则最大正应力的统计特性也知道了。,给重物加惯性力,ma,，则相对运动微分方程：,x,ma,响应,x(t,),的均方值为：,3,、输入输出的互相关函数与互谱密度函数,自学，不作介绍,