高中物理竞赛培训运动学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中物理竞赛培训运动学,*,高中物理竞赛培训,运动学部分,高中物理竞赛培训运动学,一、数形结合处理竖直上抛,对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理，物理过程将大大简化，计算快速便捷。竖直上抛的统一物理公式是,位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。,高中物理竞赛培训运动学,例题,一个以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1秒抛出一球，假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（1）最多能有几个球在空中？（2）设在t=0时将第1个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？,分析：子弹同地出发，设第一颗子弹射出t后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹在空中的时间为t-n(n=1,2),方法一：位移相等法,子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得,考虑到,则n=1,2,3,4,5时所对应t的为3.5s,4s,4.5s,5,5.5s分别为第2，3，4，5，6颗子弹和第1颗子弹相遇的时刻,方法二：速率对称法,竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大小相等，方向相反,高中物理竞赛培训运动学,方法三：利用图象法,作出子弹的运动的s-t图,高中物理竞赛培训运动学,拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球，若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其它三球的高度,分析：每个球上升的最大高度都是1.25m，故各球在空中运动的时间都是1s,要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，,各球在手中停留的时间都是1/3s,高中物理竞赛培训运动学,学生练习：一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。每隔0.4s抛出一球，接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。,分析：手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。,如图，第3个球位于最高点，2、4两球等高，由于上半段平均速度小，下半段平均速度大，故2、4两球位于半高度的上方,。,每个球空中的循球周期,上升的时间为,上升的高度为,高中物理竞赛培训运动学,每隔t时间抛出一球，共有n个球,试求每个球到达的最大高度h,每个球从手中抛出后都是经过T=nt的时间落回手中，经时间t=T/2= nt/2上升到最高点，故最大高度,高中物理竞赛培训运动学,几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性,高中物理竞赛培训运动学,例题：摄制电影时，为了拍摄下落物体的特写镜头，做了一个线度为1/49实物的的模型。放电影时，走片速度为每秒24张，为了使动画逼真，拍摄时走片速度应为多大？模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？,设实物在时间t内下落的高度为h,而模型用时间t,0,下落了对应的高度h,0,则由自由落体公式应有,利用的辅助条件,可见放电影时应将模型运动时间“放大”7倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真的画面。为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7倍。,又设实物在某段时间t内以速度通过位移s，而模型与之对应的量则分别是时间t,0,、速度,0,、位移s,0,，由于有,高中物理竞赛培训运动学,最速路径：例题1,二、,最速路径问题,何谓最速路径问题？,A,B,著名的“伽利略最速路径问题”：,伽利略的答案：圆弧曲线,（错误）,伯努利兄弟的答案：滚轮曲线的一部分,（正确）,1,最速路径问题,寻找一条运动时间最短的路径,从两条路经中找出运动时间较短的一条,问题1、,如图所示，地面上有一固定的球面，,球面的斜上方P处有一小球。现要确定一条从P到,球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨,道滑行到球面所历的时间最短。,P,分析：,先凭直觉猜一猜结果？,？,？,？,高中物理竞赛培训运动学,最速路径：例题1,先讨论,预备问题、,如图，地面附近有一空心球，过顶点P有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。,P,证明：,任取一条轨道PQ，,PQ和水平面夹角为.,PQ的长为,下滑的加速度,Q,g,g,/,所以,由于,与,无关，,故对应任意轨道的时间均相同。,高中物理竞赛培训运动学,解原题：,P,Q,以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于,Q,，,则线段,PQ,即为所求的轨道。,（1）作图确定线段,PQ,：,O,R,R,O,关键是确定球心,O,过,P,点作竖直线,AB, 且使,AP,等于,R,，连接,A、O，,作,AO,的中垂线与直线,AP,相交，交点,O,即为所求的球心。,连接,O,与,O,所得交点即为,Q.,A,B,（2）证明线段,PQ,为所求：,Q,1,Q,2,略。,最速路径：例题1,题后总结,最后的作图方法较困难,本题还可以用分析法解答,高中物理竞赛培训运动学,接下来如何思考呢？,高中物理竞赛培训运动学,高中物理竞赛培训运动学,相关变换：竖直平面内建立直角坐标系xoy，x轴水平，过抛物线x,2,=2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上端A无初速释放，问滑到轨道底端B所用时间最小为多少？此时AB与水平面的夹角满足什么条件？,焦点F（0、p/2),AB的直线方程,高中物理竞赛培训运动学,渡河中的流速线性变化问题,例题：河流宽度为L，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零，河中心流速为v,0,，一小船以恒定的相对速度v,r,垂直于流速方向，从一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。,K如何定？,抛物线？,消去t,得到什么？,另一岸时，y=L,高中物理竞赛培训运动学,质点动态多边形的会聚问题,高中物理竞赛培训运动学,例题、,A,、,B,、,C,三个芭蕾舞演员同时从边长为,l,的正三角形顶点出发，以相对地的相,同的速率,v,运动，运动中始终保持着,A,朝着,B,、,B,朝着,C,、,C,朝着,A,，试问经多少时间三人相,聚？每个演员跑了多少路程？,解：,三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？,在运动过程中三位演员的位置有什么关系？,三位演员作相同的匀速率曲线运动。,三位演员任何时候的位置均构成正三角形。但诸三角形的边长越来越短。,最后三位演员在何处相遇？,三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。此时三,角形边长缩短为零。,研究三角形的边长的变化情况，设法找出,三角形边长由,l,缩短为零所用的时间！,高中物理竞赛培训运动学,将从开始到相遇的时间,t,分为,n,份小量时间,t,：,设每经过,t,的时间后三角形的边长依次缩短为：,，,如图，依据小量近似有,故有,由此得,高中物理竞赛培训运动学,另解：,设经过某一小量时间,t,后，三角形的边长,由,x,变为,x,.,如图，由余弦定理：,略去二阶小量得：,由此式来研究在,t,时间内三角形边长的缩短,量（,x,-,x,）！进而找出缩短的速率！,由此式有,三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：,高中物理竞赛培训运动学,思考题1：此类问题亦可进一步推而广之，假设有个人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动，运动中始终保持1朝着2，2朝着3，(n-1)朝着n,n朝着1,试问经过多少时间相遇？,思考题2：假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？,高中物理竞赛培训运动学,光反射定律的类比应用,某些质点的运动类似光的反射现象，若应用光的反射定律可使复杂的问题得到简单的求解。,高中物理竞赛培训运动学,例题、,如图，光滑水平面上两根刚性细杆,OM,、,ON,成15夹角交于,O,点，小球在,OM,的内侧与,O,相距,l,=20cm的,P,点处，以与,MO,成30角方向的初速朝,ON,杆运动，初速度,大小为,v,0,=10cm/s. 试问小球能否回到,P,处？若能，则须经多少时间回到,P,处？,解：,小球作的是匀速折线运动。,M,N,P,O,l,30,0,15,0,而光线经镜面反射后的行进等效,于光线沿原入射方向的行进。,因此光线在两平面镜之间的不断,反射可等效为光线沿PP直线传播。,可将小球的运动类比为光线在平,面镜,M、N,之间的反射。,由于,因此光线能够沿原路返回到,P,点。,所以小球从,P,点出发到又回到,P,点，总的路程即为,PP=2PP.,所经历的时间为,P,P,高中物理竞赛培训运动学,M,N,P,O,l,P,30,0,15,0,P,题后总结,这种解法的实质就是将折线运动等效,变为直线运动从而使问题得以简化。,本题还有另一种常规解法：,1,、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰,2,、确定在什么位置正碰,3,、算出所有折线段的总长,4,、计算时间,但这种解法需解三角形！试一试，,看能否用此法解答。,高中物理竞赛培训运动学,拓展：如图的示，MN为竖直墙，平面镜OB绕O的垂直于纸面的水平轴以恒定的角速度转动，在墙上的A点发出一水平光线投射到OB上，并被反射到墙上D点。设AOC=,AO=d,求D的速度。,D的速度方向总是向上，大小则等于OD长度的变化率,高中物理竞赛培训运动学,抛体运动中的边界和最值问题,例题：,迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为,h,的小山。迫击炮到山顶的水平距离为,a,目标到山的距离为,b,。试求为击毁目标炮弹必需具有的最小初速度以及发射角（空气阻力不计）,如何找到切入点呢？,思维的障碍在哪里？,小山？,消去t,要击中目标，满足什么条件？,说明什么？,高中物理竞赛培训运动学,当为从0到/2范围内的不同值时，得到所有的一切轨道。,接下去的转折点在哪呢？,当为/4时，标出的轨道为,在满足什么条件下这条轨道从山的上方通过？为此，求当轨道上x=a这点的高度h,1,高中物理竞赛培训运动学,例题：,从离地面上同一高度,h,，相距,L,的两处同时各抛出一个石块：一个以初速度,V1,竖直向上抛；另一石块以速度,V,2,水平抛出。求这两个石块在运动过程中它们之间的最短距离？（两个石块初速度位于同一竖直平面内）,V1,V2,-V1,d,L,高中物理竞赛培训运动学,将曲线运动分割成的无限小曲线段处理为一小段圆弧，将质点在该小段圆弧上的运动视为一段圆弧运动。就可利用处理圆运动的方法来研究一般的曲线运动。,x,y,o,p,1,p,（三）,曲率圆及曲率半径,1、,曲率圆：平面光滑曲线某处的无限小圆,弧段所属的圆称为曲线该处的曲率圆。,2、,曲率半径：上述曲率圆的半径即为曲线该处曲率半径。,曲线某处的曲率半径能反映该 处的弯,大处弯曲程度小,，,小处弯曲程度大。对一条给定的曲线，其上各处的,也是确定的。,弯曲程度：,2、,化曲为圆,高中物理竞赛培训运动学,如果知道质点轨道曲线各处的,又知道质点在轨道各处的,v,，则质点在各处的,a,心,可求出。,（四）,从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度,表示速度大小的变化快慢,表示速度方向的变化快慢,处处为零的运动为匀速率曲线运动。,x,y,o,p,1,p,v,a,切,a,心,a,高中物理竞赛培训运动学,曲率半径的物理求法（一）,让质点的运动轨迹为给定的曲线,确定质点在运动轨迹上各处的,v,和,a,心,由向心加速度公式求,在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便得到曲线各处的,v,和,a,心,1,例题、,试求椭圆 的顶点处的曲率半径.,解：,椭圆的参数方程为,x,y,0,A,B,所以可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：,在,x,方向和,y,方向的分运动为简谐振动的运动.,这样的运动在椭圆的顶点处的,v,和,a,心,是易求得的。,其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程。,高中物理竞赛培训运动学,x,y,0,A,B,在图中顶点A处：,所以,v,a,心,同理可得,于是有,题后说明,本题的解法属于物理运动学的求法。,曲率半径还有物理动力学的求法！,这将在以后研究。,高中物理竞赛培训运动学,例题、,求滚轮线的最高点的曲率半径和,1,最低点的曲率半径,2,。,解：,o,P,v,0,为方便计，设轮子做匀速的纯滚动，,设轮心,O,相对地面的速度为,v,0,.,轮边缘上的任意一点,P,相,对轮心,O,的速度为多大？,P,在最高点处相对于地面的速度大小为,P,在最低点处相对于地面的速度大小为,故,则,总是指向轮心但是否总是指,向滚轮线的曲率圆圆心？,P,P,P,o,o,o,高中物理竞赛培训运动学,o,P,v,0,滚轮线最低处的曲率半径为,P,P,P,题后总结,曲率圆上某点处的向心加速度指的是相对于静止参照系且,指向曲率圆心的加速度,;,一般而言，在数学上总是可以认为拐点处的曲率半径为零,.,在滚轮线的最高点处和最低点处，,故,o,o,o,高中物理竞赛培训运动学,曲率半径问题,例题：一条光滑的抛物线轨道，在直角坐标系中的方程为y,2,=2x,式中x、y的单位为米。有一质点从起始位置（2，2）无初速地滑下，问质点在何处离开抛物线轨道。,mg,r,分析：设质点在M（x,y)处飞离抛物线，,高中物理竞赛培训运动学,如图所示,在光滑水平面上有质量为M且均匀分布、半径为R的圆环，质量为m的质点可在环内壁做无摩擦的滑动(Mm)。开始时，圆环静止，环心在O点，质点位于（0，R）处，速度沿x方向，大小为,o,（1）试导出质点的运动方程；,（2）试求质点运动轨迹转折处的曲率半径。,x,O,y,M,m,0,高中物理竞赛培训运动学,O,y,M,m,质心的速度,m、M绕质心的角速度,高中物理竞赛培训运动学,高中物理竞赛培训运动学,求相关物体速度的一种有效方法-基点法,当刚体作平面运动时，其上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。因此我们也就有杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必有相同的沿杆、绳方向的分速度；接触物系触点速度的是相关特征是：沿接触面法向的分速度相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同。,依据物系相关速度特征，运用基点法，结合速度的合成法则、相对运动法则，这类问题便会迎刃而解。,高中物理竞赛培训运动学,【物理模型】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度为时，杆与半圆柱体的接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为，求此时竖直杆运动的速度和加速度,高中物理竞赛培训运动学,高中物理竞赛培训运动学,【物理模型】,长均为的两杆用铰链P相连，其中一根杆的自由端用铰链O固定，而另一根自由端以大小和方向均恒定的速度,0,开始运动，并且开始时刻,0,平行于此时两杆夹角2的角平分线，求开始运动后经非常短的时间。连接两杆的铰链P的加速度大小和方向。,高中物理竞赛培训运动学,例题：,图中所示为用三角形刚性细杆,AB,、,BC,、,CD,连成的平面连杆结构图。,AB杆,和,CD,杆可分别绕过,A,、,D,的垂直于纸面的固定轴转动，,A,、,D,两点位于同一水平线上。,BC,杆的两端分别与,AB,杆和,CD,杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当,AB,杆绕,A,轴以恒定的角速度,转到图中所示的位置时，,AB,杆处于竖直位置。,BC,杆与,CD,杆都与水平方向成,45,角，已知,AB,杆的长度为,，,BC,杆和,CD,杆的长度由图给定。求此时,C,点加速度,a,c,的大小和方向（用与,CD,杆之间的夹角表示）,高中物理竞赛培训运动学,高中物理竞赛培训运动学,高中物理竞赛培训运动学,用图线清晰多次碰撞（或相遇）过程,高中物理竞赛培训运动学,例：甲、乙两人在长为L=84m的水池里沿直线来回游泳，甲的速率为,1,=1.4m/s，乙的速率,2,=0.6m/s，他们同时从水池的两端出发，来回共游了t=25min时间，如果不计转向的时间，那么在这段时间内他们共相遇了几次？若他们同时从同一端出发，那么在上述时间内，他们共相遇了几次？,高中物理竞赛培训运动学,思考题,如图所示，两个质量相同的小球，在一光滑的水平直槽内运动。滑槽两端有固定的壁。两处之间及小球与壁之间的碰撞是完全弹性的。开始时，、两球分别位于将滑槽三等分的两个分点处，两球运动方向相同，但速度大小不一定相同。,（）如果两球之间的第二次碰撞是在滑槽中点迎面相碰，求两球初速的比值 。,（）如果两球之间的第次碰撞是在滑槽中点迎面相碰，求两球初速的比值 。能满足要求的解有几种？,1,高中物理竞赛培训运动学,中点,t,s,2,1,n为奇数时,n为偶数数时,k为奇数时,k为偶数数时,高中物理竞赛培训运动学,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,高中物理竞赛培训运动学,