一维插值方法ppt课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5章 数值逼近模型,5.1节 一维插值方法,1,数值逼近,泛指数学计算问题的近似解法。,狭义的理解则专指对函数的逼近,即对于给定的较广泛的函数类F中的函数=(x),从较小的子类H中寻求在某种意义下的一个近似函数h(x)，以便于计算和处理。,切比雪夫和威尔斯特拉斯曾于19世纪中后期做了奠基性工作。,2,数值逼近,函数逼近的主要内容有，,对于某些特定的被逼近函数类F与逼近函数类H，讨论逼近的可能性，最佳逼近的存在性、特征、惟一性、误差估计以及算法等。,它是现代数值分析的基本组成部分，除自身具有独立学科分支的意义外，还可用于构造数值积分、求函数零点、解微分方程和积分方程的近似方法。,3,5.1.1 引言,4,5.1.1 引言,5,下一个数是几？,8 15 10 13 12 11 10 ( ) ( )找规律填数? 浏览次数：1190次悬赏分：10 | 解决时间：2008-2-4 17:02 | 提问者：kardon100,找规律填数,小学二年级问题,求解!问题补充： 请把规律写下吧!,8 15 10 13 12 11 10 ( 13) ( ),8+15=10+13=12+11=10+13=23,所以第1空为13,所以第2空为8,题目有误吧,后一个10应为14,第1.3.5.7.9等单数位依次加2,第2.4.6.8等双数位依次减2,6,下一个数是几？,找规律说出下一个数是什么并说明理由：,1,、,2,、,10,、,42,浏览次数：,461,次悬赏分：,5 |,提问时间：,2010-6-3 19:51 |,提问者：,_,迷糊丫頭,答案：,A,：,422 B,：,420 C 6 D 3,推荐答案 是几都对，,这种找规律的题就是垃圾题，没有讨论的价值,下面说明为啥是几都对,因为题目中已知的项一共有4个，所以,构造函数f(n)=a1 n4+a2 n3+a3 n2+a4 n+a5,a1,a2,a3,a4,a5都是待确定的常数,7,按题意带入,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=10,f(4)=42,f(5)=?问号代表A,B,C,D选项中的任意一个,然后这5个式子组成了一个5元一次方程组,解这个方程组就可以知道a1,a2,a3,a4,a5的值,对于A,B,C,D的每个选项都有一组a1,a2,a3,a4,a5和它对应,所以说A,B,C,D都对,下一个数是几？,8,5.1.1 引言,9,5.1.2 多项式插值,10,5.1.2 多项式插值,11,5.1.2 多项式插值,12,5.1.2 多项式插值,13,5.1.2 多项式插值,14,5.1.2 多项式插值,1线性插值,线性插值也叫,两点插值,，已知函数,y,=,f,(,x,)在给定互异点,x,0,x,1,上的值为,y,0,=,f,(,x,0,)，,y,1,=,f,(,x,1,)线性插值就是构造一个一次多项式,P,1,(,x,) =,ax + b,使它满足条件,P,1,(,x,0,) =,y,0,P,1,(,x,1,) =,y,1,其几何解释就是一条直线，通过已知点,A,(,x,0,y,0,)，,B,(,x,1,y,1,)。,15,1线性插值,由解析几何，过两点,A,、,B,的直线方程可写为：,（点斜式）,或改写成,（对称式）,容易验证，,P,1,(,x,)就是所求的一次多项式，称为,f,(,x,)的线性插值多项式。,16,1线性插值,再研究对称式的结构。记,则前式可写为,由于,17,1线性插值,因此，,l,0,(,x,)与,l,1,(,x,)分别是适合函数表,和,的插值多项式。这两个插值多项式称作以,x,0,x,1为结点的基本插值多项式。,上式说明，满足条件的一次插值多项式,y = P,1 (,x,)可以由两个基本插值多项式,l,0,(,x,)与,l,1,(,x,),的线性组合来表示。,18,拉格朗日插值公式,设连续函数,y,=,f,(,x,)在a, b上对给定,n,+ 1个不同结点：,x,0,x,1, ,x,n,分别取函数值,y,0,y,1, ,y,n,其中,y,i,=,f,(,x,i,),i,= 0, 1, 2,n,试构造一个次数不超过,n,的插值多项式,使之满足条件,i,= 0, 1, 2,n,19,拉格朗日插值公式,类似地，同构造线性插值的方法，先求,n,次多项式,l,k,(,x,),k,= 0, 1,n，,使,若作出这样的多项式,l,k,(,x,)，则,P,n,(,x,)的次数,n,，另外，由上式，对,i,= 0, 1, 2,n,即P,n,(x)满足插值条件。于是问题归结为具体求出基本插值多项式l,k,(x)。,20,拉格朗日插值公式,根据基性质，,x,k,以外所有的结点都是,l,k,(,x,)的根，因此令,又由,l,k,(,x,k,) = 1，得：,21,拉格朗日插值公式,所以有：,即得,P,n,(,x,)的表达式,上式称为拉格朗日插多项式。,22,5.1.2 多项式插值,23,5.1.2 多项式插值,24,5.1.2 多项式插值,25,5.1.2 多项式插值,26,图5.1 拉格朗日多项式插值的基函数,27,图5.2,28,5.1.2 多项式插值,29,5.1.2 多项式插值,30,5.1.2 多项式插值,31,5.1.2 多项式插值,32,5.1.2 多项式插值,33,5.1.2 多项式插值,34,5.1.2 多项式插值,35,5.1.2 多项式插值,演示：使用函数interpgui和rungeinterp,36,图5.3,37,图5.4,38,5.1.3 分段线性插值,39,5.1.3 分段线性插值,40,5.1.3 分段线性插值,41,图5.5 分段线性插值的基函数,42,5.1.3 分段线性插值,43,5.1.3 分段线性插值,44,5.1.3 分段线性插值,45,5.1.3 分段线性插值,46,5.1.3 分段线性插值,47,图5.5 分段线性插值的基函数,48,图5.6,49,5.1.3 分段线性插值,50,5.1.4 三次样条插值,在生产和科学实验中，对所做的插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑，即所作的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数,我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为样条插值。,51,5.1.4 三次样条插值,样条函数是在生产和科学技术实践中产生的。如用方砖砌圆井、条石筑拱桥，这些都是最初的“样条函数”。,但是现在因此得名的样条曲线并不是指折线而言，而是放样工人或绘图员借助样条（一种软木或塑料的长条）和压铁给出的那种曲线。,这种曲线，在数学上是分段三次多项式的典型代表，它具有良好的力学性质。推而广之，今天把分段多项式，甚至分段解析函数统称为样条函数。,52,5.1.4 三次样条插值,样条函数的应用领域很广，早期在汽车、轮船、飞机制造方面的应和是手工,放大样,，在计算机的发展日前广泛深入后，它广泛地应用于各种制造业的计算机辅助设计（CAD），各种图形的绘制工作、地理信息系统、实验数据的拟合、以及现在“热门”的计算机动画制作。,在样条函数中，应用最广的是三次样条函数。,53,54,55,5.1.4 三次样条插值,56,5.1.4 三次样条插值,57,5.1.4 三次样条插值,58,5.1.4 三次样条插值,59,5.1.4 三次样条插值,在考虑样条插值问题的时候，首先一个问题就是满足条件的样条函数是否存在？,令,i,= 0, 1, 2,n,根据三次样条函数的定义， 在每一个小区间,x,i,-1,x,i,i,= 1,n,上都是三次多项式，所以,S,(,x,)在 ,x,i,-1,x,i,上的表达式为：,其中,60,5.1.4 三次样条插值,将,S,(,x,),两次积分得：,其中,A,i,和,B,i,为积分常数，,61,5.1.4 三次样条插值,由插值条件,Mi需满足方程：,62,5.1.4 三次样条插值,由此解得,所以,63,5.1.4 三次样条插值,只要知道了诸Mi，S (x)的表达式也就完全确定了。微分S (x)的表达式得,而,64,5.1.4 三次样条插值,于是,由一阶导数在节点处连续 得,65,各项除以,h,i,+ h,i,+1,，并记,，,则上式可写为,n, 1个内点有,n, 1个方程，有,n +,1个未知量,M,i,。为确定,M,i,(,i =,0, 1,n,)还需加上两个端点条件（边界条件）。,66,5.1.4 三次样条插值,端点条件,端点条件形式很多，这里仅给出常用的两种。,1）给定 ，补充方程组的第一个和最后一个方程。,若取,M,0,=,M,n,=0，称为,三次自然样条,。,67,5.1.4 三次样条插值,2）给定两端点导数值,即有,整理得,68,方程组的求解,经补充后的方程组为,对端点条件（1），有,69,方程组的求解,对端点条件（2）,有,70,方程组的求解,最终得到的方程组是一个,三对角方程组,，可用,追赶法,求解，因为,i,+,i,=,1，,i, 0,i,0,0,=,i,=1，故系数矩阵,严格对角占优,，从而,存在唯一解,。,求出了,M,i,(,i,= 0, 1,n,)，也就求得了,S,(,x,)在各个小区间的表达式,S,i,(,x,)（,i,= 0, 1, 2,n,）,71,5.1.4 三次样条插值,72,5.1.4 三次样条插值,73,5.1.4 三次样条插值,74,5.1.4 三次样条插值,75,5.1.4 三次样条插值,76,77,78,5.1.4 三次样条插值,79,5.1.4 三次样条插值,80,5.1.4 三次样条插值,81,插值问题的发展,直接使用多项式基,求解系数计算困难，求到系数后求值、微分、积分方便,使用拉格朗日插值基函数,求解系数简单，插值函数的求值、微分、积分复杂,两种方法的共同缺点：高次插值多项式在非插值点误差较大，不适宜做外推,原因分析：所采用的基函数是全局的,82,插值问题的发展,解决的方法：采用分段低次插值多项式,分段线性插值多项式,构造简单,光滑性差,在每个分段使用较高次的多项式,三次样条函数,83,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,Cubic spline interpolation,84,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,85,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,clamped:夹紧的，夹持的,86,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,87,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,88,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,89,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,90,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,91,图5.7,92,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,93,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,94,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,95,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,96,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,97,图5.8,98,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,99,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,100,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,101,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,102,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,103,