正弦定理和余弦定理课件

,第七节,正弦定理和余弦定理,【,知识梳理,】,1.,必会知识 教材回扣填一填,(1),正弦定理,:,=_=_=2R(R,是,ABC,外接圆的半径,),(2),余弦定理,:,在,ABC,中,有,a,2,=_;,b,2,=_;,c,2,=_.,在,ABC,中,有,:cosA=_;,cosB=,_,;,cosC=,_,.,b,2,+c,2,-2bccosA,c,2,+a,2,-2cacosB,a,2,+b,2,-2abcosC,(3),在,ABC,中,已知,a,b,和,A,时,三角形解的情况,:,A,为锐角,A,为钝角或直角,图形,关系式,a=bsinA,bsinAab,ab,解的,个数,_,_,_,_,_,一解,两解,一解,一解,无解,2.,必备结论 教材提炼记一记,(1),三角形的内角和定理,:,在,ABC,中,A+B+C=_,其变式有,:,A+B=_, =_,等,.,(2),三角形中的三角函数关系,:sin(A+B)=_;,cos(A+B)=_;,sin =_;,cos =_.,-C,sinC,-cosC,(3),正弦定理的公式变形,:,a=_,b=_,c=_;,sinAsinBsinC=_;,sinA= ,sinB=_,sinC=_;,2RsinA,2RsinB,2RsinC,abc,3.,必用技法 核心总结 看一看,(1),常用方法：代入法、边角转化法,.,(2),数学思想,:,数形结合、分类讨论,.,【,小题快练,】,1.,思考辨析 静心思考判一判,(1),正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立,.(,),(2),三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等,.(,),(3),已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理,.(,),(4),在,ABC,的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素,.(,),(5),在,ABC,中,若,sinAsinB,则,AB.(,),【,解析,】,(1),正确,.,由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立,.,(2),错误,.,由正弦定理可知该结论错误,.,(3),正确,.,由余弦定理可知该结论正确,.,(4),错误,.,当已知三个角时不能求三边,.,(5),正确,.,由正弦定理知,sinA= ,sinB= ,由,sinAsinB,得,ab,即,AB.,答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),2.,教材改编 链接教材练一练,(1)(,必修,5P8T2(1),改编,),在,ABC,中,已知,a=5,b=7,c=8,则,A+C=(,),A.90,B.120,C.135,D.150,【,解析,】,选,B.,先求,B.,cosB=,因为,0,B180,所以,B=60,故,A+C=120,.,(2)(,必修,5P4T1(2),改编,),在,ABC,中,已知,A=60,B=75,c=20,则,a=,.,【,解析,】,C=180,-(A+B)=180,-(60,+75,)=45,.,由正弦定理,得,答案,:,10,3.,真题小试 感悟考题试一试,(1)(2014,湖北高考,),在,ABC,中,角,A,B,C,所对的边分别为,a,b,c.,已知,A= ,a=1,b= ,则,B=,.,【,解析,】,依题意,由正弦定理知 得出,sinB=,由于,0Ba,所以,B=60,或,120,.,故满足条件的三角形有两个,.,(2),由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinB,所以,sin(B+C)=2sinB,sin(-A)=2sinB,即,sinA=2sinB,再由正弦定理得,a=2b,所以,=2.,答案,:,2,(3),过点,A,作,AEBC,，垂足为,E,，则在,RtABE,中，,在,ABD,中，,ADB=180,-ADC=180,-75,=105,.,由正弦定理得,AD=,答案：,【,一题多解,】,解答本例,(1),(2),你还有其他方法吗,?,(1),选,B.,数形结合法,:,如图,CD=,sin45,= ,又,a=2,b= ,所以,CDa2 B.x2,C.2x2 D.2x2,且,xsin 45,2,，,所以,2x2 .,【,加固训练,】,1.,在,ABC,中，,a=10,，,B=60,C=45,则,c,等于,( ),A.10+ B.10(,1),C. +1 D.10,【,解析,】,选,B.A=180,(B,C)=180,(60,+45,)=75,.,由正弦定理，得,2.(2015,绵阳模拟,),在锐角,ABC,中,角,A,B,所对的边分别为,a,b,若,2asinB= b,则角,A=,.,【,解析,】,由正弦定理得,2sinA,sinB= sinB,又,sinB0,故,sinA= ,又,0,A90,所以,A=60,.,答案,:,60,3.(2015,黄山模拟,),若,ABC,的三内角,A,B,C,满足,A+C=2B,且最大边为最小边的,2,倍,则三角形三内角之比为,.,【,解析,】,因为,A+C=2B,，不妨设,A=B-,C=B+.,因为,A+B+C=,所以,B-+B+B+=,所以,B=,再设最小边为,a,则最大边为,2a.,由正弦定理得,即,sin cos +cos sin =2(sin cos -cos sin ),所以,tan = ,=,所以三内角分别为 它们的比为,123.,答案：,123,考点,2,余弦定理的应用,【,典例,2】,(1)(2015,青岛模拟,),已知锐角三角形的边长分别为,1,3,x,则,x,的取值范围是,(,),A.8x10 B.2 x,C.2 x10 D. xc,已知,=2,cosB= ,b=3,求,:a,和,c,的值,;cos(B-C),的值,.,【,解题提示,】,(1),使大边的对角是锐角,其余弦值大于,0,列不等式组求解,.,(2),已知三边的关系求角用余弦定理,.,(3),利用向量运算及余弦定理找等量关系求解,;,利用已知条件求,sinB,cosC,sinC,代入公式求值,.,【,规范解答,】,(1),选,B.,因为,31,所以只需使边长为,3,及,x,的对角都为锐角即可,故,又因为,x0,所以,2024/9/11,32,(2),因为,(a+b+c)(a-b-c)+bc=a,2,-(b+c),2,+bc,=a,2,-b,2,-c,2,-bc=0,所以,a,2,=b,2,+c,2,+bc,cosA=,又,A(0,),所以,A= .,答案,:,(3),由,=cacos B=2,，所以,ac=6.,又由,b=3,及余弦定理得,b,2,=a,2,+c,2,-2accos B,，,所以,a,2,+c,2,=13,，因为,ac,，解得,a=3,c=2.,由,a=3,b=3,c=2,得,cos C=,sin C=,由,cos B=,得,sin B=,所以,cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=,【,互动探究,】,对于本例,(2),若,ABC,的三边,a,b,c,满足,a,2,=b,2,+c,2,-,则,A=_.,【,解析,】,由余弦定理，得,cos A=,因为,A(0,),所以,A= .,答案：,【,规律方法,】,1.,利用余弦定理解三角形的步骤,2.,利用余弦定理判断三角形的形状,在,ABC,中,c,是最大的边,若,c,2,a,2,+b,2,则,ABC,是钝角三角形,.,提醒,:,已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形,可用正弦定理,也可用余弦定理,用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数,.,【,变式训练,】,(2015,合肥模拟,),设,ABC,的内角,A,B,C,所对边的长分,别为,a,b,c.,若,b+c=2a,3sinA=5sinB,则角,C=(,),【,解析,】,选,B.,因为,3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得,3a=5b,所以,a=,因为,b+c=2a,所以,c=,所以,cosC=,因为,C(0,),所以,C=,【,加固训练,】,1.,在,ABC,中,若,abc=357,则这个三角形中最大内角为,(,),A.60 B.90 C.120D.150,【,解析,】,选,C.,令,a=3x,b=5x,c=7x(x0),则,c,为最大边,角,C,为三角形中最大内角,由余弦定理,得,cosC=,所以,C=120,.,2.,在,ABC,中,C=60,a,b,c,分别为角,A,B,C,的对边,则,=,.,【,解析,】,因为,C=60,所以,a,2,+b,2,-c,2,=ab,所以,a,2,+b,2,=ab+c,2,等式两边都加上,ac+bc,整理得,(a,2,+ac)+(b,2,+bc)=(b+c)(a+c),所以,答案,:,1,考点,3,正、余弦定理的综合应用,知,考情,利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高考的重要考向,常与三角恒等变换相结合,以选择题、填空题、解答题的形式出现,以后两种题型为主,.,明,角度,命题角度,1:,综合利用正、余弦定理求角,(,或其正、余弦值,),【,典例,3】,(2014,天津高考,),在,ABC,中,内角,A,B,C,所对的边分别是,a,b,c.,已知,b-c= a,2sinB=3sinC,则,cosA,的值为,.,【,解题提示,】,利用正弦定理化角为边,解方程组得边的关系,然后利用余弦定理求,cosA,的值,.,【,规范解答,】,因为,2sin B=3sin C,，所以,2b=3c,，,又,b-c= a,解得,b= a=2c.,所以,cos A=,答案：,命题角度,2:,判断三角形的形状,【,典例,4】,(2013,陕西高考改编,),设,ABC,的内角,A,B,C,所对的边,分别为,a,b,c,若,bcosC+ccosB=asinA,且,sin,2,B=sin,2,C,则,ABC,的形,状为,(,),A.,等腰三角形,B.,锐角三角形,C.,直角三角形,D.,等腰直角三角形,【,解题提示,】,由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断,.,【,规范解答,】,选,D.,因为,bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=sin,2,A,所以,sin(B+C)=sin,2,A,sinA=sin,2,A,sinA=1,即,A= ,又因为,sin,2,B=sin,2,C,所以由正弦定理得,b,2,=c,2,即,b=c,故,ABC,为等腰直角三角形,.,命题角度,3:,综合利用正、余弦定理求边长,【,典例,5】,(2014,湖南高考,),如图,在平面四边形,ABCD,中,AD=1,CD=2,AC= .,(1),求,cosCAD,的值,.,(2),若,cosBAD= ,sinCBA=,求,BC,的长,.,【,解题提示,】,利用余弦定理和正弦定理求解,.,【,规范解答,】,(1),在,ADC,中，由余弦定理，,得,cosCAD=,(2),设,BAC=,则,=BAD,CAD.,因为,cosCAD= ,cosBAD=,所以,sinCAD=,悟,技法,1.,综合利用正、余弦定理求边和角的步骤,(1),根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出,.,(2),结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解,.,提醒,:,在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用,.,2.,判断三角形形状的方法,若已知条件中有边又有角,则,(1),化边,:,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状,.,(2),化角,:,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,.,此时要注意应用,A+B+C=,这个结论,.,通,一类,1.(2013,山东高考,)ABC,的内角,A,B,C,的对边分别是,a,b,c,若,B=2A,a=1,b= ,则,c=(,),A.2 B.2 C. D.1,【,解析,】,选,B.,由,B=2A,则,sinB=sin2A,由正弦定理知,即 所以,cosA=,所以,A=,B=2A=,所以,C=-B-A= ,所以,c,2,=a,2,+b,2,=1+3=4,故,c=2.,2.(2015,锦州模拟,),在,ABC,中,cos,2,(a,b,c,分别为角,A,B,C,的对边,),则,ABC,的形状为,(,),A.,等边三角形,B.,直角三角形,C.,等腰三角形或直角三角形,D.,等腰直角三角形,【,解析,】,选,B.,因为,cos,2,所以,2cos,2,所以,cosB= ,所以 所以,c,2,=a,2,+b,2,.,所以,ABC,为直角三角形,.,3.(2015,开封模拟,),如图,ABC,中，已知点,D,在,BC,边上，满足,=0,，,sinBAC=,AB=3 ,BD=,(1),求,AD,的长,.,(2),求,cos C.,【,解析,】,(1),因为,所以,ADAC,所以,sinBAC=sin( +BAD)=cosBAD,因为,sinBAC=,所以,cosBAD=,在,ABD,中，由余弦定理可知,BD,2,=AB,2,+AD,2,-2AB,ADcosBAD,即,AD,2,-8AD+15=0,解之得,AD=5,或,AD=3.,由于,AB,AD,所以,AD=3.,(2),在,ABD,中，由正弦定理可知,又由,cosBAD=,可知,sinBAD=,所以,sinADB=,因为,ADB=DAC+C,DAC= ,所以,cos C=,规范解答,4,正、余弦定理在三角形计算中的应用,【,典例,】,(12,分,)(2014,天津高考,),在,ABC,中，内角,A,，,B,，,C,所对,的边分别为,a,b,c,，已知,a,c= b,，,sin B= sin C.,(1),求,cos A,的值,.,(2),求,cos(2A,),的值,.,解题导思,研读信息快速破题,规范解答,阅卷标准 体会规范,(1),在,ABC,中，由 及,sin B= sin C,可得,b= c,2,分,又由,a-c= b,有,a=2c.,4,分,所以,cos A=,7,分,(2),在,ABC,中，由,cos A=,可得,sin A=,8,分,于是，,cos 2A=2cos,2,A-1=,9,分,sin 2A=2sin A,cos A=,10,分,所以，,高考状元,满分心得,把握规则 争取满分,1.,认真审题,把握变形的方向,认真审题,弄清已知条件和要求的值的关系,确定条件的变形方向是解答三角函数、解三角形问题的关键,如本题第,(1),问求,cosA,的值,自然想到用余弦定理,由此确定化角为边,找出边的关系,.,2.,大胆书写,争取多得分,解答题不同于选择、填空题,它是按步给分,故要善于把已知条件变形,在变形中探究解题思路,即使不能把问题全部解答完整,也要争取多得几分,.,3.,计算准确,争取得满分,(1),公式运用要准确,这是算对的前提,.,(2),算数要准确无误,尤其注意正、负号的选择,计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程,简单了就不易算错,要是算错了结果,扣分是很重的,.,2024/9/11,63,