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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学,(,上,),总复习,第一部分,复习的重点及题型分析,第二部分,高等数学,(,上,),方法综述,第一部分,复习的重点及题型分析,复习重点,三个基本计算,极限,导数,积分,两个基本应用,导数应用,积分应用,一个基本理论,有关中值的定理及应用,一,.,三个基本计算,(,约,70 % ),1.,极限的计算,(,约,24 % ),主要题型,(1),利用基本方法求极限,函数的连续性,;,四则运算法则,;,极限存在准则,;,两个重要极限,;,等价无穷小替换,;,洛必塔法则,.,(2),利用特殊方法求极限,导数定义,;,定积分定义,;,微分中值定理,;,变限积分求导,;,讨论左右极限,.,(3),无穷小量的比较,例题分析,例,1.,计算,解,:,解,:,利用等价关系,例,2.,设,f,(,x,),处处连续,且,f,(2)=3,计算,解,:,化为指数形式,利用,例,3.,计算,解,:,例,4.,计算,例,5.,计算,解,:,令,例,6.,计算,解,:,令,例,7.,计算,解,:,利用等价无穷小,例,8.,计算,解,:,例,9.,求,解,:,令,则,原式,=,洛,例,10.,计算,解,:,直接用洛必塔法则不方便,利用等价无穷小,例,11.,计算,解,:,利用微分中值定理,例,12.,计算,解,:,洛,这是积分变量,例,13.,求,原式,=,洛,利用等价无穷小,解,:,例,14.,已知,解,:,对所给等式左边用洛必塔法则,得,再利用,可知,求,a,b,.,2.,导数和微分的计算,(,约,18%),主要题型,(1),计算,复合函数,的导数和微分,;,(2),计算,隐函数,的导数和微分,;,(3),参数方程,求一阶、二阶导数,;,(4),用导数定义求,特殊点,的导数值,;,(5),计算,n,阶导数,.,(,包括,对数微分法,),例题分析,例,1.,已知,解法,1.,等式两边对,x,求导,得,故,解法,2.,等式两边取对数,得,两边对,x,求导,得,故,例,2.,已知,解：,两边取对数，得,两边对,x,求导,例,3.,证明下述函数在,x,= 0,连续且可导,证,:,因为,又,在,x,= 0,连续且可导,.,思考,:,若函数改为,是否有同样的,结论,?,例,4.,已知,解,:,求,例,5.,设,解,:,例,6.,设,解,:,例,7.,设,求,解,:,例,8.,求,解,:,方法,1 .,利用归纳法可证,方法,2 .,利用莱布尼兹求导公式,的,n,阶导数,.,例,9.,设,求,解,:,3.,不定积分与定积分的计算,(,约,28%),主要题型,(1),利用基本积分方法计算不定积分,;,(2),利用基本积分方法及公式计算定积分,;,(3),利用简化技巧计算积分,;,(4),广义积分的计算及收敛性判别,.,例题分析,例,1.,求,解,:,令,令,例,2.,求,解,:,例,3.,求,解,:,原式,=,例,4.,求,解,:,例,5.,讨论积分,解,:,的敛散性,.,发散,可见原积分发散,.,例,6.,求,解,:,奇函数,偶函数,例,7.,已知,解,:,对所给等式两边求导,得,求,利用“,偶倍奇零,”,得,例,8,.,设,求,(P266,题,10),解,:,令,则,例,9.,已知,解,:,由已知条件得,求,例,10.,求,解,:,利用,P245,例,6(2),即,例,11.,利用递推公式计算下列广义积分,解,:,(P256,题,3),二,.,两个基本应用,(,约,24 % ),1.,导数的应用,(,约,16 % ),主要题型,(1),导数的几何应用,(2),利用导数研究函数形态,(3),求解最值问题,(4),利用导数证明恒等式,(5),利用单调性证明不等式,例,1.,设函数,在定义域内可导,的图形如右图所示,则导函数,的图形为,.,(2001,考研,),提示,:,在某区间,I,内可导,则在,I,内,是,的极值点,例题分析,例,2.,证明,在,上单调增加,.,证,:,令,在,x ,x,+1 ,上利用拉氏中值定理,故当,x, 0,时,从而,在,上单调增,.,得,(L.P95,例,4),例,3.,证明当,x, 0,时,证法,1:,设,则,故,证法,2:,当,x, 0,时,在,x ,x,+1 ,上利用拉氏中值定理,得,例,4.,证明,:,证,:,即,（,P130,例,1,）,例,5.,证明当,证,:,归结为证,即,在,(0,1),上不好判别正负号,提示,:,证明,f,(0),是,f,(,x,),在,(, 1),上的最大值,.,说明,:,若改为证明当,x, 1,时,如何证明,?,例,5.,设,证,:,设,且,比较, , ,可知,故不等式成立,.,有两个根,;,例,6.,讨论方程,有几个实根,.,解,:,设,令,得,(,最大值,),注意,因此,当,时,当,时,只有一个根；,当,时,无实根,.,(P151,题,5),例,7.,求双曲线,的曲率半径,R,并分析何处,R,最小,?,解,:,则,利用,例,8.,求内接于半径为,R,的球内的正圆锥体的最大体积,.,解,:,设锥体的底半径为,r,高为,h,如图,因,ADB,BDE,所以,圆锥体体积,为极大值点,在,(0, 2,R,),内只有唯一驻点,且为极大值点,故为最大,值点,最大值为,2.,定积分的应用,(,约,8% ),(1),利用定积分计算面积,直角坐标方程,参数方程,极坐标方程,(2),利用定积分计算弧长及旋转体体积,(3),定积分的物理应用,(4),有关定积分的证明题,主要题型,例题分析,例,1.,求曲线,解,:,设切点为,则切线方程为,令,得,与其通过原点的切线及,y,轴所围图形,的面积,.,故所求面积为,例,2.,求曲线,解,:,列表,:,绕,x,轴旋转所得,旋转体的体积,.,例,3.,求抛物线,解,:,与直线,所围的图形绕,y,轴,旋转一周所得旋转体体积,.,例,4.,求由圆,解,:,圆的方程为,围成的平面图形绕,x,轴旋转,一周形成的旋转体体积,.,利用“偶倍奇零”,例,5.,证明,提示,:,令,得,x,= 1,0,判别,x,= 1,为,f,(,x,),在,上的唯一极大点,故,则,时,例,6,.,求抛物线,在,(0,1),内的一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小,.,解,:,设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与,x , y,轴的交点分别为,所求面积,且为最小点,.,故所求切线为,得, 0 , 1,上的唯一驻点,三,.,一个基本理论,有关中值的问题,(,约,5% ),主要题型,(1),讨论函数的零点问题或方程根的问题,存在性,唯一性,常用,介值定理,;,罗尔定理,利用,单调性,;,反证法,(2),利用微分和积分,中值定理,证明等式或不等式,例,1.,叙述拉格朗日中值定理并证明之,.,提示,:,利用逆向思维设出满足,罗尔定理,的辅助函数,.,例题分析,例,2.,设常数,至少有一正根,且不超过,证,:,设,则,均为正值,证明方程,若,则,为一正根,且符合题意,.,若,则,由根的存在定理知,又,至少存在一个,使,即所给方程至少有一个不超过,的正根,.,证明方程,例,3.,已知,证,:,先证,存在性,.,使,再证,唯一性,.,在, 0, 1 ,上有唯一的根,.,则,因此,即,假设方程还有一根,则,无妨设,x,0, 0,时,F,(,x,),可导,故连续,问,a,取何值时,F,(,x,),连续,?,显然连续,
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