随机变量及其概率分布课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,*,工程数学,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/9/14,#,第,5,章 随机变量及其概率分布,本章主要内容,随机变量、随机变量的分布函数、离散型随机变量、离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量、连续型随机变量的概率密度、随机变量的函数等概念,随机变量分布函数的性质，离散型随机变量概率分布的基本性质，连续型随机变量概率密度的基本性质,9/8/2024,1,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,第,5,章 （续）,本章主要内容（续）,二项分布、泊松分布的概念和他们的分布函数,均匀分布、正态分布的概念和他们的概率密度,随机变量函数的分布,9/8/2024,2,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.1,随机变量,在随机试验中，试验的每一种可能结果都可以用一个数来表示，它是随着试验结果的不同而变化的变量。这种取值带有随机性，但具有概率规律的变量就是随机变量。,实例5-1,某电话机在一天中接到的呼叫次数,X,是一个随机变量。如果这一天没有接到呼叫，则,X,0；如果这一天接到1次呼叫，则,X,1；如果这一天接到2次呼叫，则,X,2；这里,X,可取任何一个自然数，但事先不能确定取哪个值。,9/8/2024,3,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.1,随机变量（续一）,实例5-2,掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上。如果令,X,1,表示正面朝上，,X,0,表示反面朝上，即,（正面朝上）,（反面朝上）,这样变量,X,的取值就与试验的结果一一对应了。,X,按正面朝上和反面朝上分别取值,1,和,0,，但事先不能确定取哪个值。,9/8/2024,4,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.1,随机变量（续二）,实例5-1代表了这样一类随机试验：其结果就是数量。,实例5-2代表了另一类随机试验：其结果与数量无关，但可以把试验结果数量化。,9/8/2024,5,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.1,随机变量（续三）,定义5-1,设试验,E,的样本空间为,，如果对于每一个样本点 ，都有一个实数,X,(,),与之对应，则称,X,(,),为,随机变量,，简记为,X,。,随机变量通常用大写字母,X,、,Y,、,Z,、表示。,随机变量可取的具体数值通常用小写字母,x,、,y,、,z,、表示。,9/8/2024,6,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.1,随机变量（续四）,引入随机变量的目的是把随机事件数字化。这样一来，不仅可以避免诸如“,10,件产品中有,1,件次品”、“掷一枚硬币正面朝上”的文字叙述，更重要的是可以直接运用数学工具来研究概率问题。,9/8/2024,7,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.1,随机变量（续五）,实例5-3,在10张光盘中有7张是正版，3张是盗版。从中任取2张，则“取得盗版光盘的数目”,X,是一个随机变量，它只能在0、1、2这3个数中取值。,实例5-4,某人连续向同一个目标射击10次，则“击中目标的次数”,X,是一个随机变量，它可以取0到10之间的任何自然数。,实例5-5,某人连续向同一个目标射击，直到击中目标才停止射击，则“射击次数”,X,是一个随机变量，它可以取不包括0的任何自然数。,9/8/2024,8,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.1,随机变量（续六）,实例5-6,在人群中进行血型调查。如果用1、2、3、4分别代表,A,型、,B,型、,AB,型和,O,型，则“查看到的血型”,X,是一个随机变量，它可以取1、2、3、4这4个数中的任何一个。,实例5-7,某路公共汽车每隔10分钟发一辆车，旅客等车时间（以分钟数计）,X,是一个随机变量，它可以取区间(0,10)中的任一实数。事件,X,3的实际意义是：等车时间超过3分钟。事件1,X,5的实际意义是：等车时间在1分钟到5分钟之间（包括1分钟和5分钟）。,9/8/2024,9,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.1,随机变量（续七）,实例5-8,某电子元件的使用寿命（以小时数计）,X,是一个随机变量，理论上它可以取任何正实数。事件,X,1 000的实际意义是：使用寿命超过1 000小时。,在上述几个实例中，随机变量的取值有两种不同的情况。如果随机变量可以逐个列出，这样的随机变量是离散型随机变量。如果随机变量可以在一个区间内任意取值，这样的随机变量是连续型随机变量。,9/8/2024,10,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.2,随机变量的分布函数,定义5-2,设,X,为随机变量，,x,是任意实数，则称函数,(5-1),为随机变量,X,的,分布函数,。,还可得,(5-2),(5-3),9/8/2024,11,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.2,（续一）,说明,式(5-1)至(5-3)中以及以后的有关数学表达式中的不等号是针对离散型随机变量定义的，不能改变；将这些公式应用于连续型随机变量的情形，用“”或“”以及用“”或“”是一样的，理由见定义5-8后面的说明。,9/8/2024,12,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.2,（续二）,例5-1,掷一枚硬币，观察正面朝上还是反面朝上。令,（正面朝上）,（反面朝上）,试求：,（1）,X,的分布函数,F,(,x,),；,（2）概率,P,0,X,1,；,（3）概率,P,X,2,。,9/8/2024,13,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.2,（续三）,解,（1）,X,的所有可能的取值为,0,和,1,，且知 ， 。, 当,x,0,时，, 当,0,x,1,时，, 当,x,1,时，,9/8/2024,14,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.2,（续四）,续解,所以，,X,的分布函数为,分布函数,F,(,x,),的图形如右图所示。,9/8/2024,15,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.2,（续五）,分布函数,F,(,x,),具有如下性质：,（1） ；,（2）,F,(,x,),是,x,的单调不减函数,；,（3） ， ；,（4）,F,(,x,),左连续,。,9/8/2024,16,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,离散型随机变量及其典型分布,本节内容,5.3.1 二项分布,5.3.2 泊松分布,9/8/2024,17,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续一）,例5-3,某班级共有,50,名同学。在举办的中秋晚会上，设一等奖,3,名，各奖价值,20,元奖品一份；二等奖,10,名，各奖价值,5,元奖品一份；三等奖,20,名，各奖价值2元奖品一份。列出各奖项的获奖概率。,解,随机变量,X,的样本空间是,20,5,2,0,。,X,20,、,X,5,、,X,2,和,X,0,分别表示,4,个事件：获一等奖、获二等奖、获三等奖、没有获奖。,9/8/2024,18,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续二）,续解,下表给出了所有可能的取值及相应的概率。,奖品金额,20,5,2,0,概率,0.06,0.2,0.4,0.34,9/8/2024,19,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续三）,定义5-3,如果随机变量,X,所有可能的取值可以一一列举，即所有可能的取值为有限个或无穷可列个，则称,X,为,离散型随机变量,。,定义5-4,设离散型随机变量,X,的所有可能取值为,a,1,a,2,，且取这些值的概率为,P,X,a,k,p,k,(,k,1,2,) (5-4),则称式,(5-4),为离散型随机变量,X,的,概率分布,或,分布律,或,概率函数,。,9/8/2024,20,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续四）,离散型随机变量的概率分布有两个要素，一个是它的所有可能取值，另一个是取这些值的概率。这两个要素结合在一起（缺一不可）构成了离散型随机变量的概率分布。,概率分布表,其中,0,p,k,1,(,k,=1,2,),且 。,X,a,1,a,2,a,k,P,p,1,p,2,p,k,9/8/2024,21,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续五）,离散型随机变量的概率分布具有下列基本性质：,（1）0,p,k,1 (,k,1,2,),（2）,离散型随机变量在某范围内取值的概率，等于它在这个范围内一切可能取值对应的概率之和,。,当一个离散型随机变量的概率分布确定后，就知道了这个随机变量可取的各个可能值以及取这些值或者在某个范围内取值的概率。所以离散型随机变量的概率分布完整地描述了相应的随机事件。,9/8/2024,22,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续六）,例5-4,掷一颗骰子，随机变量,X,表示朝上一面的点数。,（1）写出,X,的分布律；,（2）求,P,1,X,3。,解,（1）1点6点每一面朝上是等可能的，因此分布律如下页表所示。,9/8/2024,23,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续七）,续解,（2）,P,1,X,3,P,X,2,P,X,3,X,1,2,3,4,5,6,P,9/8/2024,24,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续八）,例5-5,一商场销售某种产品，其中一等品、二等品和次品分别占75%、20%和5%。销售一件一等品赢利20元，销售一件二等品赢利15元，销售一件次品亏损30元。随机变量,X,表示销售产品的不同等级，写出,X,的概率分布表。,9/8/2024,25,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续九）,解,X,20表示销售一件一等品赢利20元；,X,15表示销售一件二等品赢利15元；,X,30表示销售一件次品亏损30元。所以，,P,X,200.75，,P,X,150.2，,P,X,300.05。所以，,X,的概率分布如下表所示。,X,20,15,30,P,0.75,0.2,0.05,9/8/2024,26,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续十）,例5-6,某运动员射击50米远处的目标，命中率为0.8。如果他连续射击，直到命中目标为止。随机变量,X,表示直到射中目标为止的射击次数，（1）写出,X,的概率分布表；（2）该运动员射击3次之内命中目标的概率。,9/8/2024,27,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续十一）,解,（1）,X,1表示第1次命中目标；,X,2表示第1次没有命中目标，第2次命中目标；一般地，,X,n,表示前,n,1次没有命中目标，第,n,次命中目标。 所以，,P,X,10.8，,P,X,2(10.8)0.80.16，。因此概率分布表如下表所示。,（2）,X,1,2,3,n,P,0.8,0.20.8,0.2,2,0.8,0.2,n,1,0.8,9/8/2024,28,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续十二）,定义5-5,已知离散型随机变量,X,、,Y,的概率分布分别为,P,X,x,k, (,k,1,2,),P,Y,y,l, (,l,1,2,),若它们中一个变量取任何可能取值的可能性都不受另外一个变量任意取值的影响，即条件概率,P,X,x,k,|,Y,y,l,P,X,x,k,(,k,1,2,;,l,1,2,),9/8/2024,29,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3,（续十三）,并且,P,Y,y,l,|,X,x,k,P,Y,y,l,(,k,1,2,;,l,1,2,),则称离散型随机变量,X,与,Y,相互独立,。,离散型随机变量相互独立与随机事件相互独立是一致的。离散型随机变量相互独立等价于下列关于概率的等式成立：,P,X,x,k,且,Y,y,l,P,X,x,k,P,Y,y,l,(,k,1,2,;,l,1,2,),9/8/2024,30,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.1,二项分布,定义5-6,如果随机变量,X,的所有可能取值为,0,1,2,n,，其概率分布为,(5-5),其中,q,=1,p,(0,p,1),，则称,X,服从参数为,n,、,p,的,二项分布,，记为,X,B,(,n,p,),。,在二项分布中，如果,n,=1,，则有,P,X,1,p,，,P,X,0,q,这样的分布称为,两点分布,，记为,X,(01),9/8/2024,31,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.1,二项分布（续一）,二项分布的分布函数为,(5-6),当,n,比较大时，按上式计算二项分布的概率比较麻烦，这里不加证明地介绍一个近似公式：当,n,很大、且,p,很小时，有,(5-7),其中， 。,9/8/2024,32,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.1,二项分布（续二）,二项分布的特点是：每次试验的可能结果只有两种，相同的试验可以重复独立进行,n,次，某事件发生,k,次。,二项分布的应用很广。例如，一名运动员多次射击命中目标的次数；一批种子中能发芽的种子数；产品检验中抽得的次品数等均符合二项分布。,9/8/2024,33,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.1,二项分布（续三）,例5-7,某运动员射击50米远处的目标，命中率为0.8。如果他连续射击5次。随机变量,X,表示射中目标的次数，写出,X,的概率分布表。,解,设,X,表示这5次射击中射中目标的次数，则,X,B,(5,0.8)，则有,(,k,0,1,2,3,4,5),因此，,X,的概率分布表如下表所示。,k,0,1,2,3,4,5,P,0.00032,0.0064,0.0512,0.2048,0.4096,0.32768,9/8/2024,34,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.1,二项分布（续四）,这里将上页表用右上图表示。这样的图通常称为离散型随机变量的,概率分布图,。,例5-7的分布函数如下：,9/8/2024,35,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.1,二项分布（续五）,例5-8,设一批同种商品的不合格率为,p,=0.1,，如果购买,50,件这样的商品，求其中恰有,3,件不合格的概率。,解 设,X,表示这,50,件商品的不合格数，则,X,B,(50,0.1),，而事件恰有,3,件不合格即,X,=3,。因此有,9/8/2024,36,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.2,泊松分布,定义5-7,如果随机变量,X,可以取无穷个值,0,1,2,其概率分布为,(5-8),则称,X,服从参数为 的,泊松分布,记为,9/8/2024,37,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.2,泊松分布（续一）,泊松分布的分布函数为,(5-9),泊松分布主要应用于所谓稠密性的问题中。如一个网站在一段时间内接到访问的次数；一个汽车站内候车的旅客人数；在电脑中输入一篇文章的输入错误数等均符合泊松分布。,9/8/2024,38,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.2,泊松分布（续二）,例5-10,某网站在一分钟内接到访问次数 。,（1）试写出每分钟接到访问次数的分布律；,（2）求一分钟内接到访问不超过,5,次的概率。,9/8/2024,39,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.2,泊松分布（续三）,解,（1）根据公式有,列出,X,的分布律如下表所示。,X,0,1,2,3,4,5,P,0.05,0.149,0.224,0.224,0.168,0.101,X,6,7,8,9,10,11,P,0.05,0.022,0.008,0.003,0.001,0,9/8/2024,40,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.3.2,泊松分布（续四）,续解,（2）,0.050.1490.2240.224,0.1680.101,0.916,由上页表可以看出，对于本例，每分钟接到访问次数以,2,、,3,次的可能性最大，访问次数越多（或越少）的可能性越小。这是泊松分布具有的普遍规律。,9/8/2024,41,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,连续型随机变量及其典型分布,本节内容,5.4.1 均匀分布,5.4.2 正态分布,9/8/2024,42,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续一）,定义5-8,对于随机变量,X,，若存在非负可积函数 ，使得对于任意,a,、,b,（,a,b,）都有,(5-10),则称,X,为,连续型随机变量,，并称函数 为,X,的,概率密度,（或,分布密度,或,密度,）,9/8/2024,43,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续二）,概率密度 的图形称为密度曲线。,由定义5-8知，连续型随机变量,X,在区间(,a,b,上取值的概率等于其概率密度曲线下曲边梯形的面积，如下图所示。,连续型随机变量,X,的概率密度 具有下列基本性质：,（1）,（2）,9/8/2024,44,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续三）,在式(5-10)中令,a,b,c,，则有,这说明，连续型随机变量,X,取任一实数的概率等于0。因此，连续型随机变量,X,在任意一个区间上取值的概率与是否含区间端点无关，即有,换句话说，在式(5-10)和性质（1）中以及以后的有关数学表达式中，用“”或“”以及用“”或“”是一样的。,9/8/2024,45,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续四）,三个重要等式：,（1） (5-11),（2）,P,a,X,b,F,(,b,),F,(,a,) (5-12),（3）,P,X,a,1,F,(,a,) (5-13),证明,根据式(5-1)和式(5-10),（1）,（2）,P,a,X,b,P,X,b,P,X,a,F,(,b,),F,(,a,),（3）,P,X,a,1,P,X,a,1,F,(,a,),9/8/2024,46,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续五）,式(5-11)可以作为连续型随机变量,X,的定义的另一种方式。根据微积分的知识，由式(5-11)知，连续型随机变量的密度函数是其分布函数的导数，即有下面的重要等式：,(5-14),由式(5-11)知，连续型随机变量,X,的分布函数,F,(,x,)是处处连续的。,9/8/2024,47,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续六）,已知连续型随机变量,X,、,Y,的概率密度分别为,若它们中一个变量取任何可能取值的可能性都不受另外一个变量取任何可能取值的影响，即对于实数,x,1,、,x,2,、,y,1,、,y,2,（,x,1,x,2,，,y,1,y,2,），都有条件概率,P,x,1,X,x,2,|,y,1,Y,y,2,P,x,1,X,x,2,并且,9/8/2024,48,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续七）,P,y,1,Y,y,2,|,x,1,X,x,2,P,y,1,Y,y,2,则称连续型随机变量,X,与,Y,相互独立。,连续型随机变量相互独立与随机事件相互独立是一致的。连续型随机变量相互独立等价于下列关于概率的等式成立：,P,x,1,X,x,2,且,y,1,Y,y,2,P,x,1,X,x,2,P,y,1,Y,y,2,其中，,x,1,x,2,，,y,1,y,2,。,9/8/2024,49,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续八）,例5-11,设随机变量,X,的概率密度为,（,1,）试确定常数,A,；,（,2,）求,X,在区间,(1,1.5),上的概率。,解,（,1,）,9/8/2024,50,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续九）,续解,所以,A,1.2,（2）,9/8/2024,51,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续十）,例5-12,某学校每天用电量,X,万度是连续型随机变量，其密度函数为,若每天供电量为0.9万度，求供电量不够的概率。,9/8/2024,52,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4,（续十一）,例5-13,验证函数,是一个连续型随机变量的密度函数，并计算当,k,0.01时的,P,X,100。,9/8/2024,53,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.1,均匀分布,定义5-10,如果随机变量,X,的概率密度为,(5-15),则称,X,在区间(,a,b,)上服从参数为,a,和,b,的均匀分布，记为,X,U,(,a,b,)。的图形，即均匀分布的密度函数曲线如下图所示。,9/8/2024,54,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.1,均匀分布（续一）,对于区间(,a,b,)中任一子区间(,c,d,)，有,这表明，均匀分布在区间(,a,b,)中任一子区间内的概率与该子区间的长度成正比。换句话说，,X,取区间(,a,b,)任何值的可能性是相同的。,9/8/2024,55,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.1,均匀分布（续二）,均匀分布是连续型随机变量中最基本的一种分布，其应用比较广，现实中凡不具有特殊性的随机数据都服从均匀分布。,例如，数值计算中的误差估计，如由于“四舍五入”最后一位数字引起的误差服从均匀分布；乘客到达车站的时间是任意的，他等候乘公共汽车的时间服从均匀分布。,另外，计算机编程中的随机数，计算机仿真中用到的服从某种分布的数据集，往往是在先生成均匀分布数据的基础上实现的。,9/8/2024,56,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.1,均匀分布（续三）,例5-14,某路公共汽车每隔10分钟发一辆，乘客在任何时刻到达车站是等可能的。若记乘客候车时间为,X,（分钟），求乘客候车时间在1分钟到4分钟之间的概率。,解,因为,所以,9/8/2024,57,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布,定义5-11,如果随机变量,X,的概率密度为,(5-16),其中 ， 为常数，且 ，则称,X,服从参数为 和 的,正态分布,，记为,正态分布变量的概率密度曲线（如下页图所示）称为,正态分布曲线,。,9/8/2024,58,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续一）,正态分布曲线,9/8/2024,59,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续二）,正态分布曲线具有下列性质：,（1）是关于直线 为对称的钟形曲线,（2）当 时， 取得最大值 。,（3）如果 不变， 取不同的值，则概率密度曲线为形状相同、左右排列的关系（如下页左图所示）。,9/8/2024,60,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续三）,（4）如果 不变， 取不同的值，则概率密度曲线为对称线相同、形状不相同的关系（如右图所示）。,越小，曲线越陡峭，,X,落在 附近的概率越大； 越大，曲线越平缓，,X,落在 附近的概率越小。,9/8/2024,61,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续四）,正态分布是连续型随机变量中最重要的一种分布，其应用非常广。测量的误差，人的身高、体重，农作物的产量，学生的考试成绩等都近似服从正态分布。,9/8/2024,62,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续五）,在正态分布密度函数中，如果 ，,，即随机变量,X,的概率密度为,(5-17),则称,X,服从参数为,0,和,1,的,标准正态分布,，记为,X,N,(0,1),。,标准正态分布密度函数曲线是关于,y,轴对称的。,9/8/2024,63,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续六）,标准正态分布密度函数曲线是关于,y,轴对称的，如下图所示。,在高等数学中证明了：标准正态分布密度函数和正态分布密度函数在区间上的积分都是1，即,9/8/2024,64,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续八）,5.5,节将证明，如果随机变量 则 。这样，一般正态分布的计算都可以转化为标准正态分布的计算。,对于标准正态分布变量,X,，其分布函数用专门的函数符号,(,x,),表示。因而有,(5-18),9/8/2024,65,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续九）,对任意的,b,1,0,时，,(5-20),9/8/2024,66,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续十）,用式(5-19)计算标准正态分布的分布函数值很困难。解答正态分布问题通常用本书末的附录B：标准正态分布表。,例5-15,设随机变量,X,N,(0,1)，求：,P,(1,x,2)，,P,(,x,2)，,P,(|,x,|1)。,解,利用标准正态分布表可求得,9/8/2024,67,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.4.2,正态分布（续十一）,例5-16,已知一批零件的尺寸与标准尺寸的误差,X,N,(0,4)，如果误差不超过2.5mm就算合格，求：这批零件的合格率。,解,令 ，相对于,X,N,(0,4)，有,Y,N,(0,1)，且|,x,|2.5相当于|,y,|1.25。因而所求的概率为,9/8/2024,68,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.5,随机变量函数的分布,有一些试验，所需要的随机变量不能直接观测，但它却是另一个或多个能够直接观测的随机变量的函数。因此，需要讨论随机变量的函数及其分布。,设,f,(,x,)是一个函数，所谓随机变量,X,的函数,f,(,X,)就是这样一个随机变量,Y,：当随机变量,X,取值,x,时，随机变量,Y,取值,y,f,(,x,)，并引用记号,Y,f,(,X,)。,9/8/2024,69,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.5,（续一）,例5-17,设随机变量,X,B,(3,0.4)，求随机变量函数,Y,4,X,X,2,的概率分布。,解,随机变量函数,X,的概率分布为,求得的具体概率如下表所示。同时，在表中列出了,Y,的值。,X,(,k,),0,1,2,3,P,X,k,0.216,0.432,0.288,0.1,Y,4,X,X,2,1,3,4,3,9/8/2024,70,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.5,（续二）,续解,由于当,x,1和,x,3时，都有,Y,3。所以，计算随机变量函数,Y,的概率分布时，要按,Y,的相同值合并计算。下表就是随机变量函数,Y,的概率分布。,Y,(,l,),1,3,4,P,Y,l,0.216,0.496,0.288,9/8/2024,71,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,5.5,（续三）,例5-18,已知随机变量，求随机变量函数的概率密度。,解,设,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,)，于是根据分布函数的定义有,F,Y,(,y,),P,Y,y,即,9/8/2024,72,第5章 随机变量及其概率分布 周忠荣 编,结束语,当,你尽了自己的最大努力,时,，,失败,也是伟大,的，所以不要放弃，坚持就是正确的。,When You Do Your Best, Failure Is Great, So DonT Give Up, Stick To The,End,感谢聆听,不足之处请大家批评指导,Please Criticize And Guide The,Shortcomings,演讲人：,XXXXXX,时 间：,XX,年,XX,月,XX,日,