非线性-无约束规划讲解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章,无约束非线性最优化方法,基本模型:用符号(s)表示非线性规划,min f(X),h(X)=0,i=1,2,m,S.g,(X)0,j=1,2,(X)0,=1,2,方向导数与梯度,1)方向导数,设M位数量场u=(M中的一点,从点M出发引,条射线l在上点M的附近取一动点M,记MM。=P,如果MM时,下列表达式的极限存在,l(M)-l(M0),则称之为M处沿着方向的方向导数记为o,当0时,表示函数a沿l是增加方向,当9)s+2a+Ox),af(X,其中AX=X-X0=x1-x,x2-x2,x-x9=,x2,Ax,f(x)=(x*)+Vf(x)(xx=)+(1/2)(x-x)V了(x*)(x-x),+ox-x,4凸集、凸函数和凸规划,1)凸函数,定义:设集合ScR为凸集,函数fSR,若x(,x(2)S,(0,均有,f(xx()+(1-4)x2)f(xm)+(1-f(x(2),则称f(x)为凸集S上的凸函数,若进一步有上面不等式以严格不等式成立,则称,fx)为凸集S上的严格凸函数。,性质:当-f(x)为凸函数(严格凸函数)时,则称,fx)为凹函数(严格凹函数)。,严格凸函数,凸函数,严格凹函数,2.2凸集、凸函数和凸规划(续),定理:f(x)为凸集S上的凸函数台S上任,意有限点的凸组合的函数值不大于各点函,数值的凸组合。,思考:设,2是凸函数,设1,20,4f1+42f2,Mf1-422是否凸函,数?,2)f(r)=maxf,(r,f2(x), g(x)=mini,(r),f2(x)是否凸函数?,凸规划=凸可行集+凸目标函数,凸函数与凹函数(续),凸函数的判定:,如果函数f(X的Hes矩阵处,处半正定,则f(X为凸函数,若f(X)正定,则f(X)为严格凸函数。,注:该命题的逆命题不成立,例题检验函数,f(X)=3X2+2X2+X2-2X1X2-2X1X3-6X1-4X2-2X3,的凸性。,无约束问题的最优性条件,1.必要条件:若X是函数f(x的局部最大点,则在该点必,有VfX+)=0以及He矩阵vx)半正定,定义:对于可微函数f(X),称使其梯度为零向量的点为,平稳点(驻点)。,2.若X*是驻点,则其为极值点的充分条件,1若H(X*半正定,X*为局部极小点,若H(X*)正定,X为孤立局部极小点,2)若H(X)半负定,X为局部极大点;,若H(X*)负定,F为孤立局部极大点;,3若H(X)不定,F为鞍点;(阅读课本的例题),