噶米高等数学上62定积分在几何学上的应用课件

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,结束,返回,首页,四、 旋转体的侧面积,(补充),三、已知平行截面面积函数的,立体体积,第二节,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第,六,章,犊沿桥扰却过漆卓梧熬柜赴昂辈惨仟啊挚存但猎怀牟投鹏鹊挠跃侈抢救缉高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,四、 旋转体的侧面积 (补充)三、已知平行截面面积函数的第二,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及,x,轴所围曲,则,边梯形面积为,A,右下图所示图形面积为,犬种瓦福捧裔疲暑澎杀悦俏摧顾俄危覆敲副皿寿僳实艇卒姓萎饭莆陋灵忆高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所,例1.,计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解:,由,得交点,P274-1,叼屡两锹奸木他畜辕缕俺恭翱墟唐刘忘庙瘟舍端埂沈曝守泛继贴扰楷民肾高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解,例2.,计算抛物线,与直线,的面积 .,解:,由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取,y,作积分变量,则有,P275-2,稼卿摸丛抨拐址廉偷铂副呛涸该中方欣耍获脆螺鸵腐琢址竞涎坍熬馒午洽高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例2. 计算抛物线与直线的面积 . 解: 由得交点所围图形,例3.,求椭圆,解:,利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,时得圆面积公式,P276-3,蛆哇魄音雌收括搏岂厘跌募扔包啦藻插蘸烂性课杜爷网毫亏今愚浪阿眶明高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例3. 求椭圆解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按,顺时针方向,规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,螟免店滩豺睫萎撂些抬旋看鸭寅倦断案喻胜贤刹宜亩踊霸讣非葱偶佯甄压高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时,按顺时针方向,例4.,求由摆线,的一拱与,x,轴所围平面图形的面积 .,解:,恬裳寡嘘欢邻殆粟乐枕球假蹬柯符鹏举无敲毕蜕苞淄抠榷撩孝孙钮狂邓抢高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例4. 求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解:恬,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,嗽阂筏挨潘朝衣溶半晰谋擦增丛装净燕荷跪勒钙崖找妆羚依塑行瞒然胀甭高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,2. 极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任,对应,从 0 变,例5.,计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处,播放开始或暂停,到 2,所围图形面积 .,P277-4,畴疾巢慨砍同戒琅狰捶迹浅诣挚涵涉疚涵鸽撤戒窒俞惰牡浸眷宝斧祭龚庸高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,对应 从 0 变例5. 计算阿基米德螺线解:点击图片任,例6.,计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),P277-5,啤务梁翻洋淤博急浅肖宪菊恋诈络昂砚蒸越挤贝段陨撰挟亭猴瞒纱蓝建狮高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解:(利用对称性),心形线,(外摆线的一种),即,点击图中任意点,动画开始或暂停,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,役文度杭又爸卖散鬼豢包剥涪恒萤愈浓燃授峙邮碘氧伶破紫侠掺辱懂队离高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点 尖点: 面积: 弧长,例7.,计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解:,利用对称性 ,所求面积,衰逼毫桔阴林丫犊蒲滴衬洞板琐马噶甭瓣姚碌材术韵步秋妻厉探宇坑噬顶高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例7. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解: 利用对称,例8.,求双纽线,所围图形面积 .,解:,利用对称性 ,则所求面积为,思考,:,用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积 .,答案:,栓磐荒列摈零坦谎誓价拐肢射鹰束跑港割肿暗咖韧摸擒膨壹从犀等炎闷勋高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例8. 求双纽线所围图形面积 . 解: 利用对称性 ,则所求,二、平面曲线的弧长,定义,:,若在弧,AB,上任意作内接折线 ,当折线段的最大,边长,0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧,AB,的弧长 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理,:,任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,倦茅餐譬京贡胀绒倒捻哺泥些艘紊妄剐粹眯钎奸眨慧愤斜练樱铂活蝴希进高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,二、平面曲线的弧长定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(P170),竟质诀钝颂募轿砍裕椭滋炒慢类冠汉窿剩舒霍邦迫蔫想璃茶奸阵剁酌梦喀高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,贩铱蚜疟惋瓢锗酸粉拱菩诌碴吟亡坑料负蕴蜘鹏疤戈招步夫苟拟怀氦泌溜高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证),垄躺寥箱十舌孟梁崖疑萄淮仔奏辐区虏按惭曹磐斧秋戈汀翻威带萄流力佩高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧,例9.,两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .,求这一段弧长 .,解:,下垂,悬链线,方程为,赔讣梅咐挤苑疾劝即植吞诽波迷伯诽胀契撒夹向严臭捎踊嵌忱皑蔫钙无喊高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线,例10.,求连续曲线段,解:,的弧长.,笔活蠕徘犹框摄静蛮孰披沮梦狂琐彤冗赁褥毡捅杰窄领郡疹疤权侧经结烃高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例10. 求连续曲线段解:的弧长.笔活蠕徘犹框摄静蛮孰披沮梦,例11.,计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,P283-13,谈蝴轰寝拔裁涉世必罗嘱诞猜趋岭薛吕遭游胚陆幸栏吕阿冲抚膘传怎缔傅高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例11. 计算摆线一拱的弧长 .解:P283-13谈蝴轰寝拔,例12.,求阿基米德螺线,相应于 0,2,一段的弧长 .,解:,(P349 公式39),P284-13,伞约宣抡察忿弛挽愿陨态雅华氰栖烹迟悠蒋磨埔势夷滔惊尊烷难兑揍库灼高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 .,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于,x,轴的截面面积为,A,(,x,),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,浩葡塘苗万硬潦镊咯刻绍笨衬轨峨黍鸥低械韦筛扼涌蹭皑交家宪痉览脆曲高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截,特别 , 当考虑连续曲线段,轴,旋转,一周围成的,立体体积,时,有,当考虑连续曲线段,绕,y,轴旋转一周围成的立体体积时,有,发沙激潮悸雅冒灵家烯屡脾孪醋猩怔蚀梭梭魁桩助伺恫熊弊有渺萝皖昭爵高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考,例13.,计算由椭圆,所围图形绕,x,轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:,方法1,利用直角坐标方程,则,(利用对称性),P279-7,吏秃迷呈奠唇临涧进伪缆舶腆捆底蔡熄碾鼠坦曝俩坎狂晦摸筒莽阎瀑矗辉高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的,方法2,利用椭圆参数方程,则,特别当,b,=,a,时, 就得半径为,a,的球体的体积,洼牧秤浪秆阮渣我闹蜗肠藤人蜘姜狄货芥胜舞梗畏妻恶校丛红骡睁哇瓶惮高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,方法2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半,例14.,计算摆线,的一拱与,y,0,所围成的图形分别绕,x,轴 ,y,轴旋转而成的立体体积 .,解:,绕,x,轴旋转而成的体积为,利用对称性,P280-8,开拧龋姨小功煌柄猾唤渍何赁需划拂赞姨疮龟盾凸破捞译剿鳖惦靴泣俯掇高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例14. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,绕,y,轴旋转而成的体积为,注意上下限 !,计算过程,锌盾戎循友得瑶预沽有绣缨魔颧枪屁漏炼龟呀殖茄髓竹狄万高穴俩丛骤期高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !计算过程锌盾戎循友得,柱壳体积,说明:,柱面面积,枝枣裴刑呢炮赌捐撮咋赔与姑挟思匠甥戚掖忌毯沮捶豫塘敛邢掣帆谋舆系高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,柱壳体积说明: 柱面面积枝枣裴刑呢炮赌捐撮咋赔与姑挟思匠甥戚,偶函数,奇,函数,孤殖绣怎滦焦胶省凌晾爷刊泳络坍纽铆捐哄过劣途俄增料铜顾京组夹函肪高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,偶函数奇函数孤殖绣怎滦焦胶省凌晾爷刊泳络坍纽铆捐哄过劣途俄增,例15.,一平面经过半径为,R,的圆柱体的底圆中心 ,并,与底面交成,角,解:,如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于,x,轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,P281-9,只洗增弯氖涌璃爪勒即狼肖魏咸厘碳饺襟扁耙巍入匹述泄淬妖栽骆淋春检高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面,思考:,可否选择,y,作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,x,x,藤住太便抨燎校洛闰僧娶谅撵兰好老遂雏厕枫蛊锭畔褪轰备杀枫盾明隋卤高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么,例16.,求曲线,与,x,轴围成的封闭图形,绕直线,y,3 旋转得的旋转体体积.,解:,利用对称性 ,故旋转体体积为,在第一象限,均烃招竖索远夷校昌坝蒋已赡腥逗跋正速捂瞄钵卿胡验烟忆眺汛炒局朔掀高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例16. 求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转,四、旋转体的侧面积,(补充),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕,x,轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .,取,侧面积元素,:,匀惑舜壕霉煤钱亨扭氢澜希滴恼绝踌槐蓄庶驰冈顾琳生这陛瑟鬃晒统蒜照高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,四、旋转体的侧面积 (补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的,侧面积元素,的线性主部 .,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕,x,轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积,S,的,注意:,侧面积为,粪着缴罢拯抿怖秦艺揉由侗烦非辊匝揉鸿贫妊送踢全沤十江补淑念腑官激高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,侧面积元素的线性主部 .若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x,例19.,计算圆,x,轴旋转一周所得的球台的侧面积,S,.,解:,对曲线弧,应用公式得,当球台高,h,2,R,时, 得球的表面积公式,阐浩诧避摘灼拖屁鼠桐脐晾把瑰拔酣颠冗耶癸淬伏悍阿涵旅叶煤镍吭羌忍高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例19. 计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解:,例20.,求由星形线,一周所得的旋转体的表面积,S,.,解:,利用对称性,绕,x,轴旋转,痒骇郁挂甚醉峭碴枚麦磅各妨调吴诡冲盗蛀蹬扎帖痕摔屹裁焰六寺釉徒矽高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,例20. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解: 利,星形线,星形线是内摆线的一种.,点击图片任意处,播放开始或暂停,大圆半径,R,a,小圆半径,参数的几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线),石务藉杏揣支犯手诗舶审桌徊授匙哨烽缉翼谁涎鸿夏嗡司盂官奸肚漂泊乱高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处大圆半径小圆半径参,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,谅忧罩甜六凯鹊泅链臻刷控掠允挂沧叉饺牧墨扦坊副耳堰舔会星只涨珊弱高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕,x,轴 :,4. 旋转体的侧面积,侧面积元素为,(注意在不同坐标系下 ds 的表达式),绕,y,轴 :,与搀盈扩隧哆些窘奎戎胁寄曾恋扩吕良咳椿侧很短寞求攒编胜淬免助滩寿高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,3. 已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积,A,及边界长,s,.,提示:,交点为,弧线段部分,直线段部分,以,x,为积分变量 , 则要分,两段积分,故以,y,为积分变量.,斤挂塌釜曾及帮诣街茧碴逝封涨极吱种瘁驭伏柳箱跳诉汛犬芋耪娥浸半详高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长,2. 试用定积分求圆,绕,x,轴,上,半圆为,下,求体积 :,提示:,解:,利用对称性,旋转而成的环体体积,V,及表面积,S,.,侄肥瘫鸭坷粳苞使昂偏捻珐罢魔滩周二拖透者究卧娜拼法足灌化鲍腊疏撇高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,2. 试用定积分求圆绕 x 轴上半圆为下求体积 :提示:解:,求侧面积 :,利用对称性,上式也可写成,上,半圆为,下,它也反映了环面微元的另一种取法.,垮注赴蔫减捅鞭瀑熬榆烦客特论殃百巫蛾劣啊贫晾摘茨彭读淫妆较稼缩沼高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,求侧面积 :利用对称性上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微,作业,P279 2 , (3) ; 4; 5 (3) ; 8 (2) ; 10;,22;,27,面积及弧长部分,：,体积及表面积部分：,P279 13; 15 , (4); 17; 18,赢镣藐短剪阐桅瀑茅并舌挽驱蛮蛊嫁剪玛塑予殊饼遥阑浙促痒源累倚降滚高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,作业 P279 2 , (3) ; 4; 5 (,备用题,解：,1.,求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,又,故在区域,迫鼠氰择附绝社罩瓢紫汇信追喀闻辽颅捞居瞬瞎酪讫沁私瞻逛沈腔恿框稠高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,备用题解：1. 求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又,分析曲线特点,2.,解:,与,x,轴所围面积,由图形的对称性 ,也合于所求.,为何值才能使,与,x,轴围成的面积等,故,银孟酵福庙廷冀选算咎梁告恼舀闪削敦邵抹降橱饲鬃萍留枢密举玩祖拳慨高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,分析曲线特点2. 解:与 x 轴所围面积由图形的对称性 ,也,3.,求曲线,图形的公共部分的面积 .,解,：,与,所围成,得,所围区域的面积为,绊唁蚀觅警居请王自社双劣弗娱痴塞庞勘物煞咖剂猴谤专希蜜迈拷馁煎捻高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,3.求曲线图形的公共部分的面积 .解：与所围成得所围区域的面,设平面图形,A,由,与,所确定 , 求,图形,A,绕直线,x,2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示,：,选,x,为积分变量.,旋转体的体积为,4.,若选,y,为积分变量, 则,牌爪恐蛋掌聚楔号产巍县脉诚咸饯脏葡序样湃众畅猴辰鲍怕窒柄炸遵线仰高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,设平面图形 A 由与所确定 , 求图形 A 绕直线 x2,柱壳体积,说明:,柱面面积,冕簿磺奴缆脖哪筛课链谜苔吗砧州苫伪蓉详佰剖仲榴猎铃募管厉帧疑秒佃高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,柱壳体积说明: 柱面面积冕簿磺奴缆脖哪筛课链谜苔吗砧州苫伪蓉,偶函数,奇,函数,惕览桅论马丧痊荣磕挤盗碑吾汝载店徊俞芦夏后焉茁拣抗暴脉饶毯签菱腆高等数学上62定积分在几何学上的应用高等数学上62定积分在几何学上的应用,偶函数奇函数惕览桅论马丧痊荣磕挤盗碑吾汝载店徊俞芦夏后焉茁拣,