随机过程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 随机过程,信号,确定性信号：信号的大小随时间的变化具有某种规律性，可以预测,随机信号：信号的大小随时间的变化，不具有明确的变化规律性、不,可预测。只具有某些统计特征，只有用概率和统计的方法进行描述,实际信号一般都带有随机性，一般都是随机信号。如语言信,号，电视信号，生物医学信号等通常是随机信号。,说明：“随机信号”和“随机过程” ，在本课程中是通用的。,（一般书籍和文献中也是如此）,“随机过程”更具有理论色彩，属于应用数学范畴。,“随机信号”更具有实际应用色彩，属于数字信号处理范畴。,2.1 随机过程的概念及其统计特性,1、 随机过程的概念,例子：热噪声电压。（有电子元器件内部微观粒子（如电子）的随机热运动所引起的端电压。用一台高灵敏无线电接收机，观测“热噪声电压”（无信号输入），n次观测结果分别为， ， ，.， 。,如图所示。可以看出，每次观测到热噪声电压都是不同的，且在观测之前是不可预测的，即每次的观测结果是随机的。,可以看出，每次观测到热噪声电压都是不同的，且在观测之前是不可预测的，即每次的观测结果是随机的。,若用 表示所有观测记录 ，k=1，2，n的集合，则称 为一随机过程。其中记录 称为随机过程 的一个实现或者一个样本函数。,定义：设E是随机实验，S=e是它的样本空间，如果对于每一个 ，（我们）总可以依某种规则确定一时间t的函数,， ，T为t的变化范围，,则称 为随机过程，,为简便起见，常省去变量e，简记为 。,说明：.对确定的 ， 为随机过程 的一个实现或者一个样本函数。,通常记作 ， ， （n为样本函数总数，一般要求n很大）,. 所有样本函数在同一时刻的值构成一个随机变量。,如果 时，随机变量 ， ， 。,称 为随机过程 在 时的状态。,当 时，随机变量, ， ， 。,显然，当采样间隔足够小，即n足够大，则随机变量 ， ， ，可以描述随机过程 ，显然n越大越精确。,可见，可用随机变化的n个变量来表示一个随机过程。,2、 随机过程的分类,随机过程类型很多，分类方法也有许多种，这里给出三种分类方法：,根据随机过程的状态与时间是否连续分：,连续型随机过程,状态和时间都是连续的。对任意时刻 ， 都取连续值，即连续型随机变量。如接收和输出的热噪声信号，语音信号等。,离散型随机过程,时间是连续的，状态是离散的。对任意时刻 ， 都是离散型随机变量。如12伏直流电压流和示波面之间接入一个随机电键，此时示波面上显示一个随机的矩形电压波形， 只取0或12两个值。,连续型随机序列,时间是离散的，状态是连续的。在任一离散时刻的状态是连续型随机变量。对连续型随机过程进行等时间间隔采样，即设到连续随机序列。, ， ， 。,离散随机序列,状态和时间均是离散的。,将连续型随机信号经过数模转换等间隔采样后，即为离散随机序列。简称为随机序列或随机数字信号。,若采样间隔为 ： ， ， 。或记为： ， ， 。,以为时间按间隔增长，故常称离散随机序列为时间序列。这类随机信号是本课程讨论的主要对象。,根据样本函数的形式分：,不确定随机过程,任意样本函数的未来值不能由过去的观测值准确地预测。,如热噪声电压。,确定的随机过程,任意样本函数的未来值，可以由过去的观测预测。,按随机过程的分布函数（或概率密度）的不同特性分：,（1）平稳随机过程；,（2）马儿可夫（Markov）过程；,（3）独立增量过程；,（4）独立随机过程；,等等,这些过程的具体特征，以后再介绍。平稳随机过程是本课程的研究的重点。,3、随机过程的概率分布,下面用概率和统计的方法分析随机过程X(t),设随机过程X(t)的样本函数为,若样本函数有无穷多个 ，则它们为连续型随机变量。,如果采样间隔很小，即n很大，此时n个随机变量 ，则近似表示随机过程x(t)。,因此常用n维随机变量的统计模型分析随机过程，时间间隔取得越小，结果就越精确。,2.2 随机过程的数字特征,与分析随机变量一样，为了简单有效地分析随机过程，必须引入随机过程数字特征的概念。常用的数字特征有数学期望，方差和相关函数，这一点与随机变量类似，所不同的是随机过程的数字特征是时间的函数。另外随机过程有实过程和复过程。以后如无特别声明，均指实随机过程。,2.3 随机过程的特征函数,2.4 平稳随机过程,平稳随机过程：其n维概率分布函数或n维概率密度函数与时间t的初始位置无关。,即其统计特征不随时间的平移而变化。,平稳随机过程,狭义平稳过程（严平稳随机过程）,广义平稳过程（宽平稳随机过程）,以后不特别说明，平稳过程均指广义平稳过程,例1：设随机过程,式中， A，w为常数， 是在 上均匀分布的随机变量，其概率密度函数为：,试证 :,是宽平稳的。,所以（由宽平稳过程的定义知）X(t)是宽平稳随机过程。,例2：设随机过程,式中Y是随机变量。试讨论X(t)的平稳性。,所以X(t)不是平稳过程。,作业：,设X(t)与Y(t)是统计独立的平稳过程。,求证：由它们的乘积构成的随机过程,也是平稳的。,2.5 各态历经过程,1.问题的提出,前面讨论的有关随机过程的许多统计分析方法，都采用了集平均运算，即对随机过程进行统计平均。也就是在任何给定的时刻对随机过程进行诸样本函数进行抽样（样本采集），并对这些样本进行集平均运算。显然，要得到精确地统计参数，必须提供大量足够多的样本函数。这在实际应用中是很困难的，甚至是无法实现的。,可以设想，加入存在一个持续时间足够长的平稳随机过程的样本函数x(t)，在其时间历程中经历了随机过程x(t)的各种可能状态，那么这一样本函数x(t)已经包含了所有其他样本函数的可能信息，此时，即可通过研究这一样本函数代替研究整个随机过程。称这样的随机过程为“各态历经过程”，称该过程具备各态历经性或遍历性。,2.时间平均,（1）时间均值,设x(t)为样本函数，若极限,存在，则称 是x(t)的时间均值。,（2）时间自相关函数,设x(t)为样本函数，其时间自相关函数定义为：,（3）时间方差,设x(t)为样本函数，其时间方差定义为：,3.平稳过程的各态历经性,对于平稳随机过程x(t)，如果,依概率1成立，则称x(t)的均值具有各态历经性。,如果,依概率1成立，则称x(t)的自相关函数具有各态历经性。,如果平稳随机过程的均值与自相关函数均具有各态历经性，则称该随机过程为各态历经过程，或称是遍历的。（宽各态历经过程）,依概率1成立是指均方意义下成立,对于式（2-28），有,上式可等为,令 ，设,上式说明各态历经过程在T无限增大的过程中，集平均和时间平均之差在均方意义下为零。,说明：在实际应用中，通常将实际随机过程作满足各态历经性的假设，然后通过实验对假设进行检验和判断。,4.各态历经过程与平稳随机过程之间的关系,各态历经过程一定是平稳随机过程，但反之不一定成立。随机过程的平稳性仅为各态历经性的必要条件。,例、试讨论随机过程,的各态历经性。式中A和 为随机变量，两者统计独立， 在 上均匀分布，,为常数。,解：集均值：,所以，该过程为平稳随机过程。,时间均值：,时间自相关函数：,所以 该过程不具备各态历经性。,但当A是常量时，x(t)为各态历经过程。,2.6 平稳随机过程的相关函数,相关函数是研究平稳随机过程的一个特别重要的概念。相关函数不仅揭示了平稳随机过程任意两个不同时刻之间的内在联系，而且还展现随机过程的谱特性。因此，它成为随机信号处理中的有力工具。,1.自相关函数及其性质,定义：设x(t)为平稳随机过程，其集自相关函数定义为：,2.互相关函数及其性质,互相关函数的定义：,随机过程X(t)和Y(t)的集互相关函数定义为：,广义平稳随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数的定义：,X(t)和Y(t)的互相关函数定义为：,2.7 平稳过程的功率谱密度,1.功率谱密度函数,傅里叶变换：,功率谱密度函数：,对确定信号f(t)：,平均功率：P,对平稳过程X(t)：,设x(t)为X(t)的样本函数，对x(t)截短。,令,写在最后,成功的基础在于好的学习习惯,The foundation of success lies in good habits,60,结束语,当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。,When You Do Your Best, Failure Is Great, So DonT Give Up, Stick To The End,演讲人：,XXXXXX,时 间：,XX,年,XX,月,XX,日,