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第一讲,三角函数的图象与性质,【,知识回顾,】,1.,三角函数的图象及性质,函数,y=,sinx,y=,cosx,y=,tanx,图象,函数,y=,sinx,y=,cosx,y=,tanx,单调性,在,_,_,上递增,在,_,_,上递减,在,_,_,上递增,在,_,_,_,上递减,在,_,_,_,上都是,增函数,(,kZ,),(,kZ,),2k-,2k(kZ),2k,2k+,(,kZ,),(,kZ,),函数,y=,sinx,y=,cosx,y=,tanx,对称中,心坐标,_,_,_,对称轴,方程,_,_,(k,0),kZ,x=,k,kZ,2.,三角函数图象的两种变换方法,横坐标,|,|,横坐标,纵坐标,纵坐标,【,易错提醒,】,1.,忽视定义域,:,求解三角函数的单调区间、最值,(,值域,),以及作图象等问题时,要注意函数的定义域,.,2.,忽视图象变换顺序,:,在图象变换过程中,注意分清是先相位变换,还是先周期变换,.,变换只是对于其中的自变量,x,而言的,如果,x,的系数不是,1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,.,3.,忽视,A,的符号,:,在求,y=,Asin(x+,),的单调区间时,要特别注意,A,和,的符号,若,0,需先通过诱导公式将,x,的系数化为正的,.,【,考题回访,】,1.(2016,全国卷,),若将函数,y=2sin2x,的图象向左平,移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为,(,),【,解析,】,选,B.,平移后图象的解析式为,y=2sin2 ,令,得对称轴方程,:x= (,kZ,).,2.(2014,全国卷,),在函数,y=cos|2x|,y=|,cosx,|,y=,cos,y=tan,中,最小正周期为,的所有函数为,(,),A. B.,C. D.,【,解析,】,选,A.,由,y=,cosx,是偶函数可知,y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为,即正确,;y=|,cosx,|,的最小正周期也,是,即也正确,;y=,cos,最小正周期为,即,正确,;y=tan,的最小正周期为,即不正确,.,即,正确答案为,.,3.(2016,全国卷,),函数,y=,sinx,-,cosx,的图象可由,函数,y=,sinx,+,cosx,的图象至少向右平移,_,个,单位长度得到,.,【,解析,】,函数,y=,sinx,-,cosx,=2sin ,根据左加,右减原则可得只需将,y=,sinx,+,cosx,的图象向右平移,个单位即可,.,答案,:,4.(2014,全国卷,),函数,f(x,)=sin(x+,)-2sin,cosx,的最大值为,_.,【,解析,】,f(x,)=sin(x+,)-2sin,cosx,=sinxcos,+cosxsin,-2sin,cosx,=,sinxcos,-cosxsin,=sin(x-,)1,故最大值为,1.,答案,:,1,热点考向一,三角函数的定义域、值域、最值,命题解读,:,主要考查三角函数的定义域、值域、最值的求法,以及根据函数的值域和最值求参数的值,.,以选择题、填空题为主,.,【,典例,1】,(1)(2016,茂名一模,),函数,y=,lg(sinx,)+,的定义域为,_.,(2)(2016,葫芦岛一模,),已知函数,f(x,)=,cosx,sin - cos,2,x+ ,xR,则,f(x,),在闭区间,上的值域为,_.,【,解题导引,】,(1),构建不等式组,利用三角函数的图象求解,.,(2),利用三角函数的恒等变换及三角函数的单调性求解,.,【,规范解答,】,(1),要使函数有意义必须有,即,解得,(,kZ,),所以,2kx +2k,kZ,所以函数的定义域为,答案,:,答案,:,【,规律方法,】,1.,三角函数定义域的求法,求三角函数的定义域实际上是构建并解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解,.,2.,三角函数值域,(,最值,),的三种求法,(1),直接法,:,利用,sinx,cosx,的值域,.,(2),化一法,:,化为,y=,Asin(x+,)+k,的形式,限制,x+,的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域,(,最值,).,(3),换元法,:,把,sinx,或,cosx,看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域,(,最值,),问题,.,【,题组过关,】,1.(2016,济宁一模,),函数,f(x,)=,sinx,+,cosx,(x ),的值域是,_.,【,解析,】,因为,f(x,)=,sinx,+,cosx,=2sin ,又,x ,所以,所以,2sin -1,2.,答案,:,-1,2,2.(2016,大庆一模,),若,f(x,)=2sinx(00,时,由,-,x,得,-,x, ,由题意知,- - ,所以, ,当,0,时,由,- x,得,x,- ,由题意知, - ,所以,-2,综上知,(-,-2,2.(2016,长沙一模,),已知函数,f(x,)=sin ,其中,x ,若,f(x,),的值域是,则,a,的取值范围是,_.,【,解析,】,若,-,x,a,则,- 2x2a,- 2x+ 2a+ .,因为当,2x+ =-,或,2x+ =,时,所以要使,f(x,),的值域是,则有 ,2a+ ,即 ,2a,所以 ,a ,即,a,的取值范围是,.,答案,:,3.,当,x,时,函数,y=3-sinx-2cos,2,x,的最大值是,_.,【,解析,】,因为,0),满足,:,且在区间 内有最大值但没有最小值,.,给出下列,四个命题,:,p,1,:f(x),在区间,0,2,上单调递减,;,p,2,:f(x),的最小正周期是,4;,p,3,:f(x),的图象关于直线,x=,对称,;,p,4,:f(x),的图象关于点 对称,.,其中的真命题是,(,),A.p,1,p,2,B.p,1,p,3,C.p,2,p,4,D.p,3,p,4,(3)(2016,全国卷,),已知函数,f(x,)=,sin(x+,),x=-,为,f(x,),的零点,x=,为,y=,f(x,),图象,的对称轴,且,f(x,),在 上单调,则,的最大值,为,(,),A.11 B.9 C.7 D.5,【,解题导引,】,(1),由周期求得,利用特殊点求得,进而求出函数的单调区间,.,(2),利用,确定函数的对称轴,然后根据给出的命题,利用三角函数的性质逐一判断,.,(3),根据,x=-,为,f(x,),的零点,x=,为,y=,f(x,),图象的对称轴能得到,w,的取值范围,再根据,f(x,),的单调性结合选项从大到小验证得答案,.,【,规范解答,】,(1),选,D.,由五点作图知,解得,=,= ,所以,f(x,)=,cos(x,+ ),令,2k,x,+ 2k+,kZ,解得,2k- x2k+ ,kZ,故,f(x,),的单调递减区间为,(2k,2k+ )(,kZ,).,(2),选,C.,由题意得,当,时,f(x,),取得最大值,则,cos,=1,又易知,T= =2,00),的单调区间时,令,x+,=z,则,y=,Asinz,(,或,y=,Acosz,),然后由复合函数的单调性,求得,.,图象法,:,画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间,.,(2),判断对称中心与对称轴,:,利用函数,y=,Asin(x+,),的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质,通过检验,f(x,0,),的值进行判断,.,(3),三角函数的周期的求法,:,定义法,;,公式法,:y=,Asin(x+,),和,y=,Acos(x+,),的最小正周期为,y=,tan(x+,),的最小正周期为,.,利用图象,.,【,题组过关,】,1.,下列函数中,最小正周期为,且图象关于原点对称的函数是,(,),A.y=cos B.y=sin,C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx,【,解析,】,选,A.,采用验证法,.,由,y=,cos,=-sin2x,可知该函数的最小正周期为,且为奇函数,.,2.(2016,洛阳一模,),若函数,y=,cos,(,N,*,),图象的一个对称中心是,则,的最小值为,(,),A.1 B.2 C.4 D.8,【,解析,】,选,B. (,k,Z,),得,=6k+2(k,Z),又,N,*,所以,min,=2,故选,B.,3.(2016,日照一模,),已知函数,f(x,)=,sin(x+,),的最小正周期是,若将其图象向右,平移 个单位后得到的图象关于原点对称,则函数,f(x,),的图象,(,),A.,关于直线,x=,对称,B.,关于直线,x=,对称,C.,关于点 对称,D.,关于点 对称,【,解析,】,选,B.,因为,f(x,),的最小正周期为,所以,=,=2,所以,f(x,),的图象向右平移 个单位后得到,的图象,又,g(x,),的图象关于原点对称,所以,- +,=,k,kZ,= +,k,kZ,又,所以,k=-1,=- ,所以,f(x,)=sin ,当,x=,时,2x- =- ,所以,A,C,错误,当,x=,时,2x- = ,所以,B,正确,D,错误,.,【,加固训练,】,1.,已知函数,f(x,)=,Acos(x+,)(A,0,0,R),则,“,f(x,),是奇函数,”,是,“,=,”,的,(,),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充分必要条件,D.,既不充分也不必要条件,【,解析,】,选,B.,若,f(x,),是奇函数,则,f(0)=0,所以,cos,=0,所以,= +,k(kZ,),故,=,不成立,;,若,= ,则,f(x,)=,Acos,=-,Asinx,f(x,),是奇函数,.,所以,f(x,),是奇函数是,=,的必要不充分条件,.,2.(2016,大庆一模,),已知函数,y=,sinx+cosx,y=2,sinxcosx,则下列结论正确的是,(,),A.,两个函数的图象均关于点 成中心对称图形,B.,两个函数的图象均关于直线,x=-,成轴对称图形,C.,两个函数在区间 上都是单调递增函数,D.,两个函数的最小正周期相同,【,解析,】,选,C.,令,f(x,)=,sinx+cosx,= sin ,g(x,)=2,sinxcosx,= sin2x.,对于,A,B,f,=0,g =-,0,所以,A,B,都不正确,.,对于,C,由,- +2kx+ +2k(kZ),得,f(x,),的单调递增区间为,(,kZ,),又由,- +2k2x +2k(kZ),得,g(x,),的单调递,增区间为,(,kZ,),易知,C,正确,.,对于,D,f(x,),的最小正周期为,2,g(x),的最小正周期为,D,不正确,.,3.(2016,石家庄二模,),已知函数,f(x,)=,sinx+cosx,(0),xR.,若函数,f(x,),在区间,(-,),内单调递增,且函数,y=,f(x,),的图象关于直线,x=,对称,则,的值为,_.,【,解析,】,f(x,)=,sin,x+cos,x,= sin ,因为,f(x,),在区间,(-,),内单调递增,且函数图象关于直线,x=,对称,所以,f(,),必为一个周期上的最大值,所以有,+ =2k+ ,kZ,所以,2,= +2k,kZ.,又,-(-,) ,即,2, ,所以,2,= ,所以,= .,答案,:,热点考向三,三角函数的图象及应用,命题解读,:,主要考查三角函数的图象变换,或根据图象求解析式或参数,三种题型都有可能出现,如果是解答题,一般考查综合应用,.,命题角度一三角函数的图象及其变换,【,典例,3】,(1)(2016,临沂一模,),函数,f(x,)=,sin(x+,),的图象如图所示,为了得到,g(x,)=,sinx,的图象,只需把,y=,f(x,),的图象上所有点,(,),A.,向右平移 个单位长度,B.,向右平移 个单位长度,C.,向左平移 个单位长度,D.,向左平移 个单位长度,(2)(2016,安康二模,),已知函数,f(x,)=,Asin(x,+,)(A,是常数,A0,0,0,),的部分图象如图所示,其中,M,N,两点之间的距离为,5,则,f(6)=_.,【,解题导引,】,(1),先求出,f(x),g(x,),的解析式,再判断平移情况,.,(2),设,M(x,1,2),N(x,2,-2),利用两点间的距离求出,|,x,1,-x,2,|,确定函数的周期,利用周期性求解,.,【,规范解答,】,(1),选,A.,由图象知,:,所以,T=.,又,= ,所以,=2.,由,f =0,得,:2,+,=,k(kZ,),即,=,k,- (,kZ,).,因为,|,|0),的最小正,周期为,.,(1),求函数,f(x,),的单调增区间,.,(2),将函数,f(x,),的图象向左平移 个单位,再向上平移,1,个单位,得到函数,y=,g(x,),的图象,若,y=,g(x,),在,0,b(b0),上至少含有,10,个零点,求,b,的最小值,.,【,题目拆解,】,解答本题第,(2),问,可拆解成三个小题,:,求,g(x,),的解析式,;,求方程,g(x,)=0,的解,;,求,b,的最小值,.,【,规范解答,】,(1),由题意得,f(x,)=2sinxcosx+,2 sin,2,x- =sin2x- cos2x=2sin ,由最小正周期为,得,=1,所以,f(x,)=2sin ,由,2k- 2x- 2k+ ,kZ,整理得,k,- ,xk,+ ,kZ,所以函数,f(x,),的单调增区间是,kZ,.,(2),将函数,f(x,),的图象向左平移 个单位,再向上平移,1,个单位,得到,y=2sin2x+1,的图象,所以,g(x,)=2sin2x+1.,令,g(x,)=0,得,x=,k,+,或,x=,k,+ (,kZ,),所以在,0,上恰好有两个零点,若,y=,g(x,),在,0,b,上,有,10,个零点,则,b,不小于第,10,个零点的横坐标即可,即,b,的最小值为,【,规律方法,】,1.,函数表达式,y=,Asin(x+,)+B,的确定方法,字母,确定途径,说明,A,由最值确定,A=,B,由最值确定,B=,字母,确定途径,说明,由函数的,周期确定,相邻的最高点与最低点的横坐标,之差的绝对值为半个周期,最高点,(,或最低点,),的横坐标与相邻零点,差的绝对值为 个周期,由图象上的,特殊点确定,一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个,零点的位置,.,利用待定系数法并,结合图象列方程或方程组求解,2.,三角函数图象平移问题处理策略,(1),看平移要求,:,首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数,这是判断移动方向的关键点,.,(2),看移动方向,:,移动的方向一般记为,“,正向左,负向右,”,看,y=,Asin(x+,),中,的正负和它的平移要求,.,(3),看移动单位,:,在函数,y=,Asin(x+,),中,周期变换和,相位变换都是沿,x,轴方向的,所以,和,之间有一定的关,系,是初相,再经过,的压缩,最后移动的单位是,.,【,题组过关,】,1.(2016,保定一模,),为得到函数,y=sin,的图象,可将函数,y=,sinx,的图象向左平移,m,个单位长度,或向,右平移,n,个单位长度,(,m,n,均为正数,),则,|,m-n,|,的最小值,是,(,),【,解析,】,选,B.,由题意可知,m= +2k,1,k,1,为非负整数,n=- +2k,2,k,2,为正整数,所以,|,m-n,|= ,所以当,k,1,=k,2,时,|,m-n|,min,= .,2.(2016,九江一模,),将函数,f(x,)=sin(2x+,)(|,|),的图象向左平移 个单位后得到函数,g(x,)=,cos,的图象,则,的值为,(,),【,解析,】,选,C.,由题意得,g(x,)=,又,g(x,)=,cos,=sin ,所以,+,=2k+ ,kZ,即,=2k+ ,kZ,因为,|,|,所以,= .,3.(2016,南昌二模,),函数,f(x,)=,Asin(x+,),的部分图象如图所示,若,x,1,x,2,且,f(x,1,)=f(x,2,),则,f(x,1,+x,2,)=,(,),【,解析,】,选,D.,观察图象可知,A=1,T=,所以,=2,f(x)=sin(2x+,).,将 代入上式得,sin =0,由,|,| ,得,= ,则,f(x,)=sin .,函数图象的对称轴为,x=,又,x,1,x,2,且,f(x,1,)=f(x,2,),所以,所以,x,1,+x,2,= ,所以,f(x,1,+x,2,)=,【,加固训练,】,1.(2016,武汉一模,),已知函数,f(x,)=sin(2x+ )(,xR,),把函数,f(x,),的图象向右平移 个单位长度得函数,g(x,),的图象,则下列结论错误的是,(,),A.,函数,g(x,),在区间 上为增函数,B.,函数,g(x,),为偶函数,C.,函数,g(x,),的最小正周期为,D.,函数,g(x,),的图象关于直线,x=,对称,【,解析,】,选,D.,因为,f(x,)=sin (,x,R,),所以,g(x,)=sin =-cos2x,故函数,g(x,),的最小正,周期,T= =,函数,g(x,),为偶函数,且,故函数,g(x,),的图象不关于直线,x=,对称,当,0x,时,02x,则函数,g(x,),在区间 上为增函数,故选,D.,2.(2016,秦皇岛一模,),已知函数,f(x,)=,cos(x+,- ),的部分图象如图所示,则,取得最,小值时,x,的取值集合为,(,),【,解析,】,选,B.,因为,f(x,)=,cos,=,sin(,x+,),由题图可知,又由题图得,sin,即,2,+,=2k+ ,kZ,所以,=2k- ,kZ,又,|,|0,0,|,| ),的部分图象如图所示,则,f(x,),的递增区间为,(,),【,解析,】,选,B.,由图象可知,A=,所以,T=,故,=2.,由五点法作图可得,2,+,=0,求得,=- ,所以,f(x,)=2sin ,由,2x- (,kZ,),得,x,(,kZ,),所以,f(x,),的单调递增区间是,(,kZ,).,
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