资源描述
第二讲,向量运算与复数运算、算法、合情推理,【,知识回顾,】,1.,平面向量,(1),两个非零向量平行、垂直的充要条件,:,若,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,a,b,a,=,b,(,b,0,R),_;,a,b,a,b,=0_.,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,x,1,x,2,+y,1,y,2,=0,(2),重要结论,:,若,a,与,b,不共线,且,a,+,b,=,0,则,=0;,已知,(,为常数,),则,A,B,C,三点共线的充要条件是,+,=1.,(3),三个性质,:,若,a,=(,x,y,),则,|,a,|= =_;,若,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则,_;,设,为,a,与,b,(,a,0,b,0,),的夹角,且,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,cos,= _.,2.,复数,(1),四则运算法则,:,(a+,b,i),(c+di,)=_(a,b,c,dR,);,(,a,+,b,i)(c+di)=_(,a,b,c,dR);,(,a,+,b,i),(c+di)=,(,a,b,c,dR,c+di0).,(,a,c,)+(,b,d)i,(,a,c-,b,d)+(,b,c+,a,d)i,(2),常用结论,:,(1,i),2,=_;,=_;,=_;,-,b,+,a,i,=i(,a,+,b,i);i,4n,=1,i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1,i,4n+3,=-i,其中,nN,*,.,2i,i,-i,【,易错提醒,】,1.,忽略复数的定义致误,:,在解决与复数概念有关的问题时,在运用复数的概念时忽略某一条件而致误,.,2.,不能准确把握循环次数致误,:,解答循环结构的程序框图,(,流程图,),问题,要注意循环次数,防止多一次或少一次的错误,.,3.,忽略特殊情况致误,:,两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于,0,不等价,;,两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于,0,不等价,.,【,考题回访,】,1.(2016,全国卷,),设,(1+i)x=1+yi,，其中,x,，,y,是实数，则,|,x+yi,|=(,),A.1 B. C. D.2,【,解析,】,选,B.,因为,(1+i)x=1+yi,，,所以,x+xi,=1+yi,，得,x=y=1,，,所以,|,x+yi,|=|1+i|= .,2.(2016,全国卷,),中国古代有计算多项,式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程,序框图,.,执行该程序框图,若输入的,x=2,n=2,依次输入的,a,为,2,2,5,则输出的,s=(,),A.7B.12C.17D.34,【,解析,】,选,C.,第一次运算,:s=0,2+2=2,k=1;,第二次运算,:s=2,2+2=6,k=2;,第三次运算,:s=6,2+5=17,k=3,结束循环,.,3.(2016,全国卷,),已知向量,a,=(1,，,m),，,b,=(3,，,-2),，且,(,a,+,b,),b,，则,m=(,),A.-8 B.-6 C.6 D.8,【,解析,】,选,D.,a,+,b,=(4,，,m-2),，因为,(,a,+,b,),b,，所以,(,a,+,b,),b,=12-2(m-2)=0,，解得,m=8.,热点考向一,平面向量的运算及应用,命题解读,:,考查向量的加法、减法及其几何意义、向量的坐标运算、向量的数量积及其综合应用,主要求向量的夹角、模、参数值或判断向量的平行、垂直关系,以选择题、填空题为主,.,【,典例,1】,(1)(2016,郑州一模,),已知点,P,为,ABC,所在,平面内一点,边,AB,的中点为,D,若,其中,R,则,P,点一定在,(,),A.AB,边所在的直线上,B.BC,边所在的直线上,C.AC,边所在的直线上,D.ABC,的内部,(2)(2016,全国卷,),设向量,a,=(m,，,1),，,b,=(1,，,2),，且,|,a,+,b,|,2,=|,a,|,2,+|,b,|,2,，则,m=_.,【,解题导引,】,(1),将,中的 转化,为,再利用,D,为,AB,的中点求解,.,(2),先求出,a,+,b,的坐标，再求出,|,a,+,b,|,2,，,|,a,|,2,，,|,b,|,2,，,再列方程求解,.,【,规范解答,】,(1),选,C.,因为,所以,因为,D,为,AB,的中点,所以,所以,P,一定在,AC,边,所在的直线上,.,(2),由已知得：,a,+,b,=(m+1,，,3),，,所以,|,a,+,b,|,2,=|,a,|,2,+|,b,|,2,(m+1),2,+3,2,=m,2,+1,2,+1,2,+2,2,，,解得,m=-2.,答案：,-2,【,规律方法,】,1.,向量模长的两种计算方法,(1),转化为向量的数量积,.,(2),把向量转化为坐标的形式,利用公式运算求解,.,2.,求解向量数量积最值问题的两种思路,(1),直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值,.,(2),建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值,.,【,题组过关,】,1.(2016,全国卷,),已知向量,则,ABC=,(,),A.30,B.45,C.60,D.120,【,解析,】,选,A.,因为,所以,cos,ABC,=,即,ABC=30,.,2.(2016,朔州一模,),点,O,为,ABC,内一点，且满足,=,0,，设,OBC,与,ABC,的面积分别为,S,1,，,S,2,，则,=(,),【,解析,】,选,B.,延长,OC,到,D,，使,OD=4OC,，延长,CO,交,AB,于,E,，,因为,O,为,ABC,内一点，且满足,所以,所以,O,为,DAB,重心，,E,为,AB,中点，,所以,ODOE=21,，所以,OCOE=12,，所以,CEOE,=32,，所以,因为,OBC,与,ABC,的面积分别为,S,1,，,S,2,，,所以,3.(2016,衡水一模,),在等腰三角形,ABC,中,A=150,AB=AC=1,则,=,(,),【,解析,】,选,A.,4.(2016,佛山一模,),已知向量,a,=(1,2),b,=(1,0),c,=(3,4),若,为实数,(,b,+,a,),c,则,的值为,_.,【,解析,】,b,+,a,=(1+,2,),因为,(,b,+,a,),c,所以,(,b,+,a,),c,=0,即,3(1+,)+8,=0,解得,=,答案,:,【,加固训练,】,1.(2015,全国卷,),设向量,a,，,b,不平行，向量,a,+,b,与,a,+2,b,平行，则实数,=_.,【,解析,】,因为向量,a,+,b,与,a,+2,b,平行，所以,a,+,b,=k(,a,+2,b,),，则,答案：,2.(2015,全国卷,),设,D,为,ABC,所在平面内一点,则,(,),【,解析,】,选,A.,由题知,3.(2016,福州一模,)AD,BE,分别是,ABC,的中线,若,AD=BE=1,且 的夹角为,120,则,=(,),【,解析,】,选,C.,由,解得,4.,在平行四边形,ABCD,中,APBD,垂足为,P,且,AP=3,则,=_.,【,解析,】,设,AC,BD=O,则,答案,:,18,5.(2016,广州一模,),已知向量,a,b,满足,|,b,|=4,a,在,b,方,向上的投影是,则,a,b,=_.,【,解析,】,设,a,与,b,的夹角为,则,a,在,b,方向上的投影为,|,a,|cos,= ,所以,a,b,=|,a,|,|,b,|,cos,=4,=2.,答案,:,2,热点考向二,复数的概念及运算,命题解读,:,主要考查复数的有关概念,纯虚数、复数相等、共轭复数等,复数的四则运算中主要考查乘除运算,以选择题、填空题为主,.,【,典例,2】,(1)(2015,全国卷,),若,a,为实数且,(2+ai)(a-2i)=-4i,，则,a=(,),A.-1,B.0,C.1,D.2,(2)(2016,朔州一模,),是复数,z,的共轭复数,若复数,满足,=1+i,则,z=_.,【,解题导引,】,(1),将,(2+ai)(a-2i)=-4i,转化为,m+ni,的形式，利用复数相等求解,.(2),直接利用复数的代数形式的混合运算，以及共轭复数的概念求解,.,【,规范解答,】,(1),选,B.,由题意得,4a+(a,2,-4)i=-4i,，所以,4a=0,，,a,2,-4=-4,，解得,a=0.,(2),因为,=1+i,所以,所以,z=,答案,:,【,规律方法,】,1.,与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题的解题思路,:,(1),变形分离出实部和虚部,把复数的非代数形式化为代数形式,.(2),根据条件,列方程,(,组,),求解,.,2.,与复数,z,的模,|z|,和共轭复数有关的问题的解题策略,(1),设出复数,z,的代数形式,z=a+,b,i(a,b,R),代入条件,.,(2),待定系数法解决,.,【,题组过关,】,1.(2015,全国卷,),设复数,z,满足,=i,，则,|z|=(,),A.1,B.,C.,D.2,【,解析,】,选,A.,因为,=i,，所以,z=,故,|z|=1.,2.(2016,蚌埠一模,) =(,),A.-i,B.i,C.1+i,D.1-i,【,解析,】,选,B.,3.(2016,广州一模,),设复数,z,1,=3+2i,z,2,=1-i,则,(,),A.2,B.3,C.4,D.5,【,解析,】,选,D.,【,加固训练,】,1.,若复数 的实部与虚部,相等,则实数,b,等于,(,),【,解析,】,选,C.,因为实部与虚部相等,所以,2,b,+1=2-,b,即,b,=,2.(2016,郑州一模,),复数,z,满足,z(1-i)=-1-i,则,|z+1|=,(,),A.0,B.1,C. D.2,【,解析,】,选,C.,因为,z(1-i)=-1-i,所以,z(1-i)(1+i)=-(1+i),2,所以,2z=-2i,所以,z=-i,所以,z+1=1-i,则,|z+1|= .,3.(2016,宝鸡二模,),已知复数,z,1,=1+ai,z,2,=3+2i,aR,i,是虚数单位,若,z,1,z,2,是实数,则,a=,(,),【,解析,】,选,A.z,1,z,2,=(1+ai)(3+2i)=3-2a+(3a+2)i,因为,z,1,z,2,是实数,所以,3a+2=0,所以,a=,热点考向三,程序框图,(,流程图,),命题解读,:,主要考查程序框图的应用及基本算法语句,特别是含有循环结构的程序框图,;,与分段函数的求值、数列求和或求积,统计等有规律的重复计算问题放在一起、有时与实际问题交汇考查,多为选择题、填空题,.,命题角度一求输入或输出值,【,典例,3】,(2015,全国卷,),执行如图所示,的程序框图,如果输入的,t=0.01,则输出的,n=,(,),A.5,B.6,C.7,D.8,【,解题导引,】,当,St,时,输出,n,的值,程序框图结束,.,【,规范解答,】,选,C.,执行第一次,t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5,m= =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是,循环,;,执行第二次,S=S-m=0.25,m= =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是,循环,;,执行第三次,S=S-m=0.125,m= =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是,循环,;,执行第四次,S=S-m=0.0625,m= =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是,循环,;,执行第五次,S=S-m=0.03125,m= =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是,循环,;,执行第六次,S=S-m=0.015625,m= =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是,循环,;,执行第七次,S=S-m=0.0078125,m= =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否,输出,n=7.,【,母题变式,】,1.,若把本例题的条件,t=0.01,变为,t=0.02,求输出的,n,值,.,【,解析,】,执行第一次,t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5,m= =0.25,n=1,S=0.5t=0.02,是,循环,;,执行第二次,S=S-m=0.25,m= =0.125,n=2,S=0.25t=0.02,是,循环,;,执行第三次,S=S-m=0.125,m= =0.0625,n=3,S=0.125t=0.02,否,输出,n=3.,2.,若把本例题的条件,t=0.01,变为,t=0.55,循环体中,交换,S=S-m,与,m= ,n=n+1,的位置,结果如何,?,【,解析,】,执行第一次,m= =0.25,n=1,S=0.75t,=0.55,是,循环,;,执行第二次,m= =0.125,n=2,S=0.625t=0.55,是,循环,;,执行第三次,m= =0.0625,n=3,S=0.5625t=0.55,是,循环,;,执行第四次,m= =0.03125,n=4,S=0.53125t=0.55,否,输出,n=4.,命题角度二完善程序框图,(,流程图,),【,典例,4】,(2016,福州一模,),执行如图所示,的程序框图,若输出的,S=88,则判断框内应,填入的条件是,(,),A.k,7?,B.k,6?,C.k,5?,D.k,4?,【,解题导引,】,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据程序框图所示的顺序可知,:,该程序的作用是累加并输出,S,的值,判断框内的语句决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案,.,【,规范解答,】,选,C.,程序在运行过程中各变量值变化,如下表,:,k,S,是否继续循环,循环前,1,0,第一次,2,2,是,第二次,3,7,是,第三次,4,18,是,第四次,5,41,是,第五次,6,88,否,故退出循环的条件应为,k5?,或,k6?.,【,规律方法,】,解答程序框图,(,流程图,),问题的关注点,(1),要读懂程序框图,熟练掌握程序框图的三种基本结构,特别是循环结构,(,在如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中,都有循环结构,).,(2),准确把握控制循环的变量,变量的初值和循环条件,弄清在哪一步结束循环,;,弄清循环体和输入条件、输出结果,.,(3),对于循环次数比较少的可逐步写出,对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果,找出规律,.,【,题组过关,】,1.(2016,全国卷,),执行如图所示的程,序框图,如果输入的,a=4,b,=6,那么输出的,n=,(,),A.3B.4C.5D.6,【,解题导引,】,注意,a,b,的变化,.,【,解析,】,选,B.,执行第一次循环的情况是,:a=2,b,=4,a=6,s=6,n=1;,执行第二次循环的情况是,:a=-2,b,=6,a=4,s=10,n=2,执行第三次循环的情况是,:a=2,b,=4,a=6,s=16,n=3,执行第四次循环的情况是,:a=-2,b,=6,a=4,s=20,n=4.,根据走出循环体的判断条件可知执行完第,四次走出循环体,输出,n,值,n,值为,4.,2.(2015,全国卷,),如图程序框图,的算法思路源于我国古代数学名著,九章算术,中的,“,更相减损术,”,.,执行该程序框图,若输入的,a,b,分别,为,14,18,则输出的,a,为,(,),A.0,B.2,C.4,D.14,【,解析,】,选,B.,程序在执行过程中,a,b,的值依次为,a=14,b,=18;,b,=4;a=10;a=6;a=2;,b,=2,此时,a=,b,=2,程序结束,输,出,a,的值为,2.,3.(2016,广州一模,),执行如图所示的,程序框图,输出的结果为,(,),A.(-2,2),B.(-4,0),C.(-4,-4),D.(0,-8),【,解析,】,选,B.,模拟程序框图的运行过程,如下,;,x=1,y=1,k=0,时,s=,x-y,=0,t=,x+y,=2;,x=s=0,y=t=2,k=1,时,s=,x-y,=-2,t=,x+y,=2;,x=s=-2,y=t=2,k=2,时,s=,x-y,=-4,t=,x+y,=0;,x=s=-4,y=t=0,k=3,时,循环终止,输出,(,x,y,),是,(-4,0).,【,加固训练,】,1.(2016,长沙二模,),执行如图的程序框图,若程序运行中输出的一组数是,(x,-12),则,x,的值为,(,),A.27,B.81,C.243,D.729,【,解析,】,选,B.,由程序框图可知,:,n,3,5,7,9,x,3,3,2,3,3,3,4,y,-3,-6,-9,-12,2.(2016,福州一模,),阅读如图所示的,程序框图,若输入,a=0.45,则输出的,k,值,是,(,),A.3B.4C.5D.6,【,解析,】,选,D.,该程序框图计算的是数列前,n,项和,其中,数列通项为,a,n,=,因为,S,n,0.45,所以,n4.5,所以,n,最小值为,5,时满足,S,n,0.45,由程序框图可得输出,的,k,值是,6.,3.(2016,石家庄一模,),执行如图的,程序框图,如果输入的,N=10,则输出,的,x=,(,),A.0.5B.0.8,C.0.9D.1,【,解析,】,选,C.,4.(2016,成都一模,),执行如图的程序框图,若输出,i,的值为,12,则,处可填入的条件,分别为,(,),A.S384?,i=i+1,B.S384?,i=i+2,C.S3840?,i=i+1 D.S3840?,i=i+2,【,解析,】,选,D.,从选项中可知处填,i+1,或,i+2.,如果处填,i+1,则,S=1,2,3,4,5,6,7,不会出现,384,或,3840,如果处填入,i=i+2,则,S=1,2,4,6,8,10 =3840.,热点考向四,合情推理,命题解读,:,主要以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理、类比推理,以填空题为主,.,【,典例,5】,(1),观察下列等式,:,据此规律,第,n,个等式可为,_.,(2)(2016,葫芦岛一模,)36,的所有正约数之和可按如下,方法得到,:,因为,36=2,2,3,2,所以,36,的所有正约数之和为,(1+3+3,2,)+(2+2,3+2,3,2,)+(2,2,+2,2,3+2,2,3,2,)=(1+2+2,2,),(1+3+3,2,)=91,参照上述方法,可求得,200,的所有正约数,之和为,_.,【,解题导引,】,(1),观察已知等式左右两侧分母的变化规律,利用归纳推理解决,.,(2),可采用类比的方法,先将,200,分解成质因数的乘积,然后依据质因数写出它所有正约数的和,.,【,规范解答,】,(1),等式左边的通项为,前,n,项,和为,等式右边的每个式子的,第一项为 共有,n,项,故为,故第,n,个等式可为,答案,:,(2),类比,36,的所有正约数之和的方法有,:200,的所有正约数之和可按如下方法得到,:,因为,200=2,3,5,2,所以,200,的所有正约数之和为,(1+2+2,2,+2,3,)(1+5+5,2,)=465,所以,200,的所有正约数之和为,465.,答案,:,465,【,规律方法,】,合情推理的解题思路,(1),在进行归纳推理时,要根据已知的部分个体,适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论,.,(2),在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性质,.,(3),归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性,.,【,题组过关,】,1.(2016,长沙二模,),已知,2,1,1=2,2,2,1,3=3,4,2,3,1,3,5=4,5,6,以此类推,第,5,个等式为,(,),A.2,4,1,3,5,7=5,6,7,8,B.2,5,1,3,5,7,9=5,6,7,8,9,C.2,4,1,3,5,7,9=6,7,8,9,10,D.2,5,1,3,5,7,9=6,7,8,9,10,【,解析,】,选,D.,因为,2,1,1=2,2,2,1,3=3,4,2,3,1,3,5=4,5,6,所以第,5,个等式为,2,5,1,3,5,7,9=6,7,8,9,10.,2.,已知,由不等式,归纳得到推广结论,:,tan,+ n+1(nN,*,),则实数,m=_.,【,解析,】,观察所给三个不等式的特点可以发现,分母,中,tan,的指数是,k,时,分子是,k,k,不等式右端为,k+1,故,所以,m=,n,n,.,答案,:,n,n,
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