资源描述
第一讲,集合、常用逻辑用语,【,知识回顾,】,1.,集合的概念、关系及运算,(1),集合元素的特性,:,确定性、,_,、无序性,.,(2),集合与集合之间的关系,:AB,BC_.,(3),空集是任何集合的子集,.,互异性,A,C,(4),含有,n,个元素的集合的子集有,_,个,真子集有,_,个,非空真子集有,_,个,.,(5),重要结论,:,AB=A_,AB=A_.,2,n,2,n,-1,2,n,-2,A,B,B,A,2.,四种命题之间的关系,(1),两个命题互为,逆否命题,它们有,_,的真假性,;,两,个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性,_.,(2),一个命题的逆命题与它的否命题同真同假,.,相同,没有关系,3.,充要条件,设集合,A=,x|x,满足条件,p,B,=,x|x,满足条件,q,则有,从逻辑观点看,从集合观点看,p,是,q,的充分不必要条件,(,pq,q,p),_,p,是,q,的必要不充分条件,(,qp,p,q),_,p,是,q,的充要条件,(,pq,),_,p,是,q,的既不充分也不必要条件,(p,q,q,p),A,与,B,互不包含,A,B,B,A,A=B,4.,简单的逻辑联结词,(1),命题,pq,只要,p,q,有一真,即为真,;,命题,pq,只有,p,q,均为真,才为真,;,p,和,p,为真假对立的命题,.,(2),命题,pq,的,否定是,_;,命题,pq,的否定是,_.,(,p)(,q,),(,p)(,q,),5.,全,(,特,),称命题及其否定,(1),全称命题,p:xM,p(x,).,它的否定为,p:,_,.,(2),特称命题,p:x,0,M,p(x,0,).,它的否定为,p:,_,.,x,0,M,p(x,0,),xM,p(x,),【,易错提醒,】,1.,忽略集合元素互异性致误,:,在求解与集合有关的参数问题时,一定要注意集合元素的互异性,否则容易产生增根,.,2.,忽略空集致误,:,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在分类讨论时要注意,“,空集优先,”,的原则,.,3.,混淆命题的否定与否命题致误,:,在求解命题的否定与否命题时,一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定,而否命题既对命题的条件进行否定,又对命题的结论进行否定,否则容易致误,.,4.,注意问题的表达方式,:,“,A,的充分不必要条件是,B,”,是指,B,能推出,A,但,A,不能推出,B;,“,A,是,B,的充分不必要条件,”,是指,A,能推出,B,但,B,不能推出,A.,【,考题回访,】,1.(2016,全国卷,),已知集合,A=1,，,2,，,3,，,B=x|(x+1)(x-2)0,，,xZ,，则,AB=(,),A.1 B.1,，,2,C.0,，,1,，,2,，,3 D.-1,，,0,，,1,，,2,，,3,【,解析,】,选,C.B=x|(x+1)(x-2)0,，,x,Z,=,x|-1x2,n,B.,n,0,N,，,C.,nN,，,n,2,2,n,D.,n,0,N,，,【,解析,】,选,C. p,：,n,N,，,n,2,2,n,.,3.(2016,全国卷,),设集合,S=x|(x-2)(x-3)0,，,T=,x|x,0,，则,ST=(,),A.2,，,3 B.(-,，,23,，,+),C.3,，,+) D.(0,，,23,，,+),【,解析,】,选,D.,在集合,S,中,(,x,2)(x,3),0,，解得,x,3,或,x,2,，所以,S,T=,x|0x2,或,x3.,4.(2014,全国卷,),甲、乙、丙三位同学被问到是否去过,A,B,C,三个城市时,甲说,:,我去过的城市比乙多,但没去过,B,城市,;,乙说,:,我没去过,C,城市,;,丙说,:,我们三人去过同一个城市,.,由此可判断乙去过的城市为,_.,【,解析,】,由丙可知,乙至少去过一个城市,由甲可知甲去过,A,C,且比乙多,故乙只去过一个城市,且没有去过,C,城市,故乙只去过,A,城市,.,答案,:,A,热点考向一,集合的概念及运算,命题解读,:,主要考查集合的交集、并集的运算,有时也会考查补集、集合之间的关系,四年来只出现选择题题型,.,【,典例,1】,(1)(2016,全国卷,),设集合,A=,x|x,2,-4x+30,，则,AB=(,),(2)(2016,福州一模,),已知集合,A=,x|y,=ln(1-2x),B=x|x,2,x,全集,U=AB,则,U,(AB)=,(,),【,解题导引,】,(1),先依据,A,，,B,的意义，求出各自的解集，再求交集,.,(2),先化简,A,，,B,两个集合，再求出它们的并集，最后求出它们的补集,.,【,规范解答,】,(1),选,D.A=x|x,2,-4x+30=x|1x0=,所以,AB=,(2),选,C.,对于,A= B=0,1,AB=,U=(-,1,U,(AB)=(-,0),命题角度二集合间的关系的判断,【,典例,2】,(1)(2016,蚌埠二模,),已知集合,M=1,4,7,MN=M,则集合,N,不可能是,(,),A.,B.1,4C.MD.2,7,(2)(2016,佛山二模,),自主招生联盟成形于,2009,年清华大学等五校联考,主要包括,“,北约,”,联盟,“,华约,”,联盟,“,卓越,”,联盟和,“,京派,”,联盟,.,在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时,得到如下结果,:,报考,“,北约,”,联盟的学生,都没报考,“,华约,”,联盟,;,报考,“,华约,”,联盟的学生,也报考了,“,京派,”,联盟,;,报考,“,卓越,”,联盟的学生,都没报考,“,京派,”,联盟,;,不报考,“,卓越,”,联盟的学生,就报考,“,华约,”,联盟,.,根据上述调查结果,下列结论错误的是,(,),A.,没有同时报考,“,华约,”,和,“,卓越,”,联盟的学生,B.,报考,“,华约,”,和,“,京派,”,联盟的考生一样多,C.,报考,“,北约,”,联盟的考生也报考了,“,卓越,”,联盟,D.,报考,“,京派,”,联盟的考生也报考了,“,北约,”,联盟,【,解题导引,】,(1),由,MN=M,得,NM,根据集合关系进行判断即可,.(2),将各个联盟看成集合,画出韦恩图即可得出结果,.,【,规范解答,】,(1),选,D.,因为,MN=M,所以,NM,所以集合,N,不可能是,2,7.,(2),选,D.,集合,A,表示报考,“,北约,”,联盟的学生,集合,B,表示报考,“,华约,”,联盟的学生,集合,C,表示报考,“,京派,”,联盟的学生,集合,D,表示报考,“,卓越,”,联盟的学生,由题意得 所以 选项,A.BD=,正确,;,选项,B.B=C,正确,;,选项,C.AD,正确,.,【,规律方法,】,1.,解答集合问题的策略,(1),正确理解各个集合的含义,弄清集合元素的属性,.,(2),依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解,.,2.,一般策略,(1),若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解,.,(2),若给定的集合是点集,用图象法求解,.,(3),若给定的集合是抽象集合,常用,Venn,图求解,.,【,题组过关,】,1.(2015,全国卷,),已知集合,A=-2,，,-1,，,0,，,1,，,2,，,B=x|(x-1)(x+2)0,，则,AB=(,),A.-1,，,0,B.0,，,1,C.-1,，,0,，,1 D.0,，,1,，,2,【,解析,】,选,A.,由已知得,B=x|-2x1,，故,A,B=-1,，,0.,2.(2016,朔州二模,),已知集合,A=1,2,3,4,B=x,Z|x|1,则,A(,Z,B)=,(,),A.,B.4,C.3,4D.2,3,4,【,解析,】,选,D.,因为集合,A=1,2,3,4,B=x,Z|x|,1,=-1,0,1,所以,A,(,Z,B)=2,3,4.,3.(2016,江南十校一模,),已知集合,P=x|-1x,b,bN,Q=x|x,2,-3x0,xZ,若,PQ,则,b,的最小值等于,(,),A.0,B.1,C.2,D.3,【,解析,】,选,C.,集合,P=x|-1x,b,b,N,Q,=x|x,2,-3x0,则,AB=1,2.,3.(2016,蚌埠二模,),若全集,U=0,1,2,4,且,U,A=1,2,则集合,A=,(,),A.1,4,B.0,4,C.2,4,D.0,2,【,解析,】,选,B.,全集,U=0,1,2,4,且,U,A=1,2,则集合,A=0,4.,4.(2016,佛山二模,),已知,U=R,函数,y=ln(1-x),的定义域为,M,集合,N=x|x,2,-x0,解得,x1,故函数,y=ln(1-x),的定义域为,M=(-,1),由,x,2,-x0,解得,0x1,故集合,N=x|x,2,-x0=(0,1),所以,M,N=N.,5.(2016,长沙二模,),已知集合,A=x|-3x3,B=x|x(x-4)0,则,AB=,(,),A.(0,4),B.(-3,4)C.(0,3),D.(3,4),【,解析,】,选,B.,因为集合,A=x|-3x3,B=x|x(x-4)0=x|0x4,所以,AB=x|-3x4=(-3,4).,热点考向二,命题及逻辑联结词,命题解读,:,主要考查全,(,特,),称命题的否定、四种命题之间的关系以及命题的否定,以选择题、填空题的形式出现,.,【,典例,3】,(1)(2016,黄冈二模,),下列命题中的假命题是,(,),A.x,0,R,lnx,0,x+1,C.x,0,5,x,3,x,D.x,0,(0,+),x,0,0.,则下面结论正确的是,(,),A.pq,是真命题,B.pq,是假命题,C.,p,是真命题,D.p,是假命题,【,解题导引,】,(1),根据对数函数以及指数函数的性质分,别判断各个选项即可,.(2)p:,取,0,=,则,cos(-,0,),=cos,0,即可判断出真假,;,命题,q:,利用实数的性质可得,q,的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出,.,【,规范解答,】,(1),选,D.,对于,A:,比如,x,0,=,时,ln,=-1,是,真命题,;,对于,B:,令,f(x,)=e,x,-x-1,f(x)=e,x,-1f(0)=0,是真命题,;,对于,C:,因为当,0,时,y=,x,在第一象限为增函数,所以,5,x,3,x,是真命题,;,对于,D:,令,g(x,)=,x-sinx,g(x,)=1-cosx0,g(x),递增,所以,g(x,)g(0)=0,是假命题,.,(2),选,A.,对于,p:,取,0,=,则,cos(-,0,)=cos,0,因此,正确,;,对于命题,q:xR,x,2,+10,正确,.,由上可得,:,pq,是真命题,.,【,规律方法,】,1.,命题真假的判定方法,(1),一般命题,p,的真假由涉及的相关知识辨别,.,(2),四种命题真假的判断,:,一个命题和它的逆否命题同真假,而其他两个命题的真假无此规律,.,(3),形如,pq,pq,p,命题的真假根据,p,q,的真假与联结词的含义判定,.,2.,全称命题与特称命题真假的判定,(1),全称命题,:,要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合,M,中的每一个元素,x,验证,p(x,),成立,要判定其为假命题时,只需举出一个反例即可,.,(2),特称命题,:,要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合,M,中至少能找到一个元素,x,0,使得,p(x,0,),成立即可,;,否则,这一特称命题就是假命题,.,3.,常见词语及否定,词语,是,都是,至少,有一个,至多,有一个,大于,xA,使,p(x,),真,否定,不是,不都是,一个,也没有,至少,有两个,小于,或等于,x,0,A,使,p(x,0,),假,【,题组过关,】,1.(2016,太原一模,),命题,“,xR,函数,y=,x,”,是增函数的否定是,(,),A.,“,xR,函数,y=,x,0,”,是减函数,B.,“,xR,函数,y=,x,0,”,不是增函数,C.,“,x,0,R,函数,y=,x,0,”,不是增函数,D.,“,x,0,R,函数,y=,x,0,”,是减函数,【,解析,】,选,C.,因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题,“,x,R,函数,y=,x,”,是增函数的否定是,:,“,x,0,R,函数,y=,x,0,”,不是增函数,.,2.(2016,广州一模,),已知命题,p:xN,*,命题,q:x,0,R,则下列命题中为真命,题的是,(,),A.pq,B.(,p)q,C.p(,q,),D.(,p)(,q,),【,解析,】,选,A.,由,得,x,0,故命题,p,为真命题,.,因为,所以,所以,所以,( ),2,=0,所以,x,0,= ,故命题,q,为真命题,.,所以,pq,为真命题,.,3.,下列说法中正确的是,(,),A.,命题,“,若,x,2,=1,则,x=1,”,的否命题为,:,“,若,x,2,=1,则,x1,”,B.,已知,a1,f(x)=,则,f(x,)1,成立的充要条件为,-2x0,C.,命题,“,存在,x,0,R,使得,x,0,2,+x,0,+10,”,的否定是,:,“,对,任意,xR,均有,x,2,+x+10,”,D.,命题,“,角,的终边在第一象限,则,是锐角,”,的逆,否命题为真命题,【,解析,】,选,B.,对于,A,命题,“,若,x,2,=1,则,x=1,”,的否命题,为,:,“,若,x,2,=1,则,x,1,”,不满足否命题的定义,所以,A,不,正确,;,对于,B,f(x,)1,成立的充要条件是,1,所以,x,2,+2x0,所以,-2x0,正确,;,对于,C,命题,“,存,在,x,0,R,使得,x,0,2,+x,0,+10,”,的否定是,:,“,对任意,x,R,均,有,x,2,+x+10,”,不满足命题的否定形式,所以不正确,;,对,于,D,命题,“,角,的终边在第一象限,则,是锐角,”,是假命题,所以其逆否命题也为假命题,所以,D,不正确,.,4.(2014,全国卷,),不等式组 的解集记为,D.,有下面四个命题：,p,1,：,(x,，,y)D,，,x+2y-2,；,p,2,：,(x,0,，,y,0,)D,，,x,0,+2y,0,2,；,p,3,：,(x,，,y)D,，,x+2y3,；,p,4,：,(x,0,，,y,0,)D,，,x,0,+2y,0,-1.,其中真命题是,(,),A.p,2,，,p,3,B.p,1,，,p,4,C.p,1,，,p,2,D.p,1,，,p,3,【,解析,】,选,C.,画出可行域如图所示，,设,x+2y=z,，则,y=- x+,，当直线经过点,A(2,，,-1),时,z,取得最小值，,z,min,=2+2,(-1)=0,，即,z0,，所以命题,p,1,，,p,2,是真命题,.,【,加固训练,】,1.,已知命题,p:,“,xR,x+10,”,的否定是,“,xR,x+10,”,的否定是,“,xR,x,2,+x+20160,”,B.,命题,p:,函数,f(x,)=x,2,-2,x,仅有两个零点,则命题,p,是真,命题,C.,函数,f(x,)=,在其定义域上是减函数,D.,给定命题,p,q,若,“,p,且,q,”,是真命题,则,p,是假命题,【,解析,】,选,D.A,错误,正确应为,“,x,R,x,2,+x+2016,0,”,;B,错误,作出,f(x,)=x,2,f(x)=2,x,图象可知有三个,交点,;C,错误,函数,f(x,)=,在其定义域上不是减函数,;,D,正确,.,3.,已知下列命题,:,“,若,x,2,-x=0,则,x=0,或,x=1,”,的逆否命题为,“,若,x0,且,x1,则,x,2,-x0,”,;,“,x1,”,是,“,x3,”,的充分不必要条件,;,命题,p:,存在,x,0,R,使得,sinx,0,0,则,p:,任意,xR,都有,sinx0;,若,p,且,q,为假命题,则,p,q,均为假命题,.,其中真命题个数为,(,),A.1,B.2,C.3,D.4,【,解析,】,选,C.,由题可知,正确,正确,;,特称命题的否定为全称命题,所以显然正确,;,若,p,且,q,为假命题,则,p,q,至少有一个是假命题,所以的推断不正确,.,热点考向三,充要条件的判断,命题解读,:,主要考查充要条件的判断、依据充要条件求参数,以选择题、填空题为主,.,【,典例,4】,(1),若集合,A=x|x,2,-x-20,B=x|-2x-2B.a-2,C.a,-1D.a-1,(2),设,a,b,都是不等于,1,的正数,则,“,3,a,3,b,3,”,是,“,log,a,33,b,3,看能否推出,log,a,3log,b,3;,再看由,log,a,33,b,3.,【,规范解答,】,(1),选,C.,由,x,2,-x-20,知,-1x2,即,A=x|-1x2.,又因为,B=x|-2x-1.,(2),选,B.,由,3,a,3,b,3,知,ab1,所以,log,3,alog,3,b0,所以,即,log,a,33,b,3,”,是,“,log,a,3log,b,3,”,的充分条件,;,但是取,a= b=3,也满足,log,a,3b1,所以,“,3,a,3,b,3,”,是,“,log,a,3,log,b,3,”,的不必要条件,.,【,母题变式,】,1.,若本例,(1),中条件不变,则,AB=,的充要条件是,_.,【,解析,】,由题意知,A,=x|-1x-1,，,B=x|x1,，则,“,xA,且,x,B,”,成立的充要条件,是,(,),A.-1-1 D.-1x-1,，,B=x|x,1,，,又因为,“,xA,且,x,B,”,，所以,-1x1.,当,-1x0,若,f(x,)=1,则,x,2,-1=1,则,x=,即若,f(f(a,)=1,则,f(a,)=0,或,若,a0,则由,f(a,)=0,或 得,a,2,-1=0,或,a,2,-1= ,即,a,2,=1,或,a,2,= +1,解得,a=1,或,a=,若,a0,则由,f(a,)=0,或 得,2a+1=0,或,2a+1= ,即,a=,或,a= (,不合题意,舍去,),此时充分性,不成立,即,“,f(f(a,)=1,“,是,“,a=1,”,的必要不充分条件,.,3.(2016,衡阳一模,),“,x1,”,是,“,lnx,0,”,的,(,),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,【,解析,】,选,B.,因为由,lnx,0,得,0x1,所以,x|x,1x|0x1,所以,“,x1,”,是,“,lnx,1,则,a,2,1,”,的否命题是,“,若,a1,则,a,2,1,”,B.a,n,为等比数列,则,“,a,1,a,2,a,3,”,是,“,a,4,a,5,”,的既,不充分也不必要条件,C.x,0,(-,0),使,成立,D.,“,若,tan,则,”,是真命题,【,解析,】,选,D.,因为否命题是对命题的条件进行否定做条件,对命题的结论进行否定做结论,所以选项,A,错误,;,因为在等比数列中,若,“,a,1,a,2,0,q1,或,a,1,0,0q1,进而得出,a,4,a,5,但,a,4,a,5,公比可正可负,因此,a,1,a,2,a,3,的大小顺序不确定,所以选项,B,错误,;,因为当,x4,x,所以选项,C,错误,;,显然选项,D,正确,.,
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