轴对称与最短路径问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,轴对称,课题学习 最短路径问题,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）,如图所示，从,A,地到,B,地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,(),两点在一条直线异侧,已知：如图，,A,，,B,在直线,L,的两侧，在,L,上求一点,P,，使得,PA+PB,最小。,P,连接,AB,线段,AB,与直线,L,的交点,P,，就是所求。,思考？,为什么这样做就能得到最短距离呢？,根据：,两点之间线段最短,.,如图，要在燃气管道,L,上修建一个泵站，分别向,A,、,B,两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点,P,可使输气管线最短,应用,A,B,l,B,/,P,点,P,的位置即为所求,.,M,作法：,作点,B,关于直线,l,的对称点,B,/,.,连接,AB,/,交直线,l,于点,P.,(),两点在一条直线同侧,已知：如图,A,、,B,在直线,L,的同一侧，在,L,上求一点，使得,PA+PB,最小,.,为什么这样做就能得到最短距离呢？,MA + MBPA+PB ,即,MA + MBPA+PB,三角形任意两边之和大于第三边,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区,A,、,B,提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从,A,、,B,到它的距离之和最短,练习,请你自己动手 试一试！,只有,A,、,C,、,B,在一直线上时，才能使,AC,+,BC,最小,作点,A,关于直线“街道”的对称点,A,，然后连接,A,B,，交“街道”于点,C,，则点,C,就是所求的点,(),一点在两相交直线内部,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,B,C,D,E,分析：当,AB,、,BC,和,AC,三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,(),一点在两相交直线内部,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,分别作点,A,关于,OM,，,ON,的对称点,A,，,A,；连接,A,，,A,，分别交,OM,，,ON,于点,B,、点,C,，则点,B,、点,C,即为所求,1.,如图，,A.B,两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥,MN,，桥造在何处才能使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,A,B,M,N,E,作法：,1.,将点,B,沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到,E,，,2.,连接,AE,交河对岸与点,M,则点,M,为建桥的位置，,MN,为所建的桥,。,证明：由平移的性质，得,BNEM,且,BN=EM, MN=CD, BD,CE, BD=CE,所以,A.B,两地的距,:,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC.CD.DB.CE,则,AB,两地的距离为：,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,所以桥的位置建在,CD,处，,AB,两地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,2.,如图，,A,、,B,是两个蓄水池，都在河流,a,的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到,A,、,B,两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。,作法：,作点,B,关于直线,a,的对称点点,C,连接,AC,交直线,a,于点,D,，则点,D,为建,抽水站的位置。,证明：在直线,a,上另外任取一点,E,，连接,AE.CE.BE.BD,点,B.C,关于直线,a,对称,点,D.E,在直线,a,上，,DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC,在,ACE,中，,AE+EC,AC,即,AE+EC,AD+DB,所以,抽水站应建在河边的点,D,处，,C,D,A,B,E,a,3.,某班举行晚会，桌子摆成两直条,(,如图中的,AO,，,BO),，,AO,桌面上摆满了桔子，,OB,桌面上摆满了糖果，坐在,C,处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？,作法：,1.,作点,C,关于直线,OA,的 对称点点,D,2.,作点,C,关于直线,OB,的对称点点,E,3,.,连接,DE,分别交直线,OA.OB,于点,M.N,，,则,CM+MN+CN,最短,A,O,B,.,.,E,D,M,N,G,H,证明：,在直线,OA,上另外任取一点,G,，连接,点,D,点,C,关于直线,OA,对称，,点,G.H,在,OA,上，,DG=CG,DM=CM,同理,NC=NE,，,HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HE,DE,（两点之间，线段最短），,即,CG+GH+HC,CM+CN+MN,即,CM+CN+MN,最短,A,O,B,.,.,E,D,M,N,G,H,4.,如图：,C,为马厩，,D,为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。,作法：,1.,作点,C,关于直线,OA,的 对称点点,F,2.,作点,D,关于直线,OB,的对称点点,E,3,.,连接,EF,分别交直线,OA.OB,于点,G.H,，,则,CG+GH+DH,最短,F,A,O,B,D,C,E,G,H,A,B,A,/,B,/,P,Q,最短路线：,A P Q B,l,M,N,证明：在直线,OA,上另外任取一点,G,，连接,点,F,点,C,关于直线,OA,对称，点,G.M,在,OA,上，,GF=GC,FM=CM,同理,HD=HE,，,ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形,EFGH,中，,FG+GH+HE,FE,（两点之间，线段最短），,即,CG+GH+HD,CM+MN+ND,即,CM+MN+ND,最短,F,A,O,B,D,C,E,M,N,G,H,再见！,