曲面及其方程课件

,*,第四讲 曲面及其方程,第四讲 曲面及其方程,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,曲面及其方程一、曲面方程的概念,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,曲面及其方程一、曲面方程的概念,如果曲面,S,与方程,F,(,x,y,z,)=,0,有下述关系,:,(1),曲面,S,上的任意点的坐标都满足此方程,;,则,F,(,x,y,z,)=0,叫做曲面,S,的方程,曲面,S,叫做方程,F,(,x,y,z,)=0,的图形,.,两个基本问题,(1),已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2),不在曲面,S,上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程,.,(2),已知方程时,研究它所表示的几何形状,(,必要时需作图,).,概念,如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1) 曲面,求动点到定点,距离为,R,的轨迹方程,例,1,例,2,求到两定点,A(1,2,3),和,B(2,-1,4),等距离的点的轨迹方程,.,例,3,研究方程,表示怎样的曲面,求动点到定点距离为R的轨迹方程例1例2求到两定点A(1,2,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,曲面及其方程一、曲面方程的概念,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,曲面及其方程一、曲面方程的概念,一条平面曲线绕其平面上,所形成的曲面,.,旋转曲线,概念,母线,定直线,轴,一条定直线旋转一周,旋转曲面的方程,给定,yoz,面上曲线,C,:,在曲线,C,上任取一点,M,1,(0,y,1,z,1,),f,(,y,1,z,1,)=0,曲线,C,绕,z,轴旋转,M,(,x,y,z,),z,坐标不变,z=,z,1,点,M,到,z,轴的距离,不变,一条平面曲线绕其平面上所形成的曲面.旋转曲线概念母线定直线轴,当曲线,C,:,f,(,y,z,)=0,绕,y,轴旋转，方程为,:,yoz,面上曲线,C,:,绕,z,轴旋转曲面方程,方程的特点,在,中,z,不变,y,变为,类似地,当曲线C:f (y,z)=0绕y轴旋转，方程为:yoz面上曲,建立顶点在原点,旋转轴为,z,轴,半顶角为,的圆锥面方程,.,例,4,例,5,注,锥面方程特征,齐次方程,求坐标面,xo,z,上的双曲线,分别绕,x,轴和,z,轴旋转一周所生成的旋转曲面方程,.,绕,x,轴旋转,绕,y,轴旋转,旋转双曲面,建立顶点在原点, 旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程. 例,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,曲面及其方程一、曲面方程的概念,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,曲面及其方程一、曲面方程的概念,方程,表示怎样的曲面,.,在,xoy,面上，,表示圆,C,在空间,过,M,1,作,平行,z,轴的直线,l,表示,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足方程,引例,分析,沿曲线,C,平行,z,轴的直线形成的曲面,方程表示怎样的曲面.在xoy面上，表示圆C, 在空间过M1,方程,表示怎样的曲面,.,在,xoy,面上，,表示圆,C,在空间,过,M,1,作,平行,z,轴的直线,l,表示,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足方程,引例,分析,沿曲线,C,平行,z,轴的直线形成的曲面,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成的轨迹,叫做柱面,.,C,叫做准线,l,叫做母线,.,概念,圆柱面,准线,:,xoy,面上的圆,母线,:,平行于,z,轴,方程表示怎样的曲面.在xoy面上，表示圆C, 在空间过M1,抛物柱面,母线平行于,z,轴,;,准线为,xoy,面上的抛物线,.,母线平行于,z,轴,方程特点,椭圆柱面,方程中缺少坐标,;,缺少哪个坐标,母线平行哪一坐标轴,;,准线为,xoy,面上的椭圆,.,平面,母线平行于,z,轴,准线为,xoy,面上的直线,.,抛物柱面母线平行于z轴;准线为xoy 面上的抛物线.母线平行,一般地,在空间,柱面,柱面,平行于,x,轴,;,平行于,y,轴,;,平行于,z,轴,;,准线,xoz,面上的曲线,l,3,.,母线,柱面,准线,xoy,面上的曲线,l,1,.,母线,准线,yoz,面上的曲线,l,2,.,母线,一般地,在空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,曲面及其方程一、曲面方程的概念,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,曲面及其方程一、曲面方程的概念,三元二次方程,研究二次曲面特性的基本方法,:,二次曲面的基本类型,:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为,二次曲面,.,(,二次项系数不全为,0 ),截痕法,三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法: 二次曲面的基本类,1.,椭圆锥面,椭圆,在平面,x,0,或,y,0,上的截痕为过原点的两直线,.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上,.,1. 椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过,2.,椭球面,(1),范围：,(2),在垂直坐标面的平面上的截痕：,椭圆,(3),当,a,b,时为旋转椭球面,;,当,a,b,c,时为球面,.,2. 椭球面(1) 范围：(2) 在垂直坐标面的平面上的截痕,3.,双曲面,(1),单叶双曲面,椭圆,.,时,截痕为,(,实轴平行于,x,轴；,虚轴平行于,z,轴）,平面,上的截痕情况,:,双曲线,:,3. 双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于,虚轴平行于,x,轴）,时,截痕为,时,截痕为,(,实轴平行于,z,轴,;,相交直线,:,双曲线,:,虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴,(2),双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别,:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,(2) 双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别,4.,抛物面,(1),椭圆抛物面,(,p,q,同号,),特别,当,p,=,q,时为绕,z,轴的旋转抛物面,.,4. 抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)特别,当,(2),双曲抛物面（鞍形曲面）,(,p , q,同号,),(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）( p , q 同号),