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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 统计案例,1.1回归分析的基本思想及其初步应用,第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用,对 比,数学,3,中“回归”增加的内容,数学,统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修,-,统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,对 比数学3中“回归”增加的内容数学统计选修-,问题,1,：,正方形的面积,y,与正方形的边长,x,之间,的,函数关系,是,y = x,2,确定性关系,问题,2,：,某水田水稻产量,y,与施肥量,x,之间是否,-,有一个确定性的关系？,例如：,在,7,块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：,施化肥量,x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量,y,330 345 365 405 445 450 455,复习,:,变量之间的两种关系,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间y = x2确定,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做,相关关系,。,1,、定义：,1,）：相关关系是一种不确定性关系；,注,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫,回归分析,。,2,）：,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的,2,、,现实生活中存在着大量的相关关系。,如：人的身高与年龄；,产品的成本与生产数量；,商品的销售额与广告费；,家庭的支出与收入。等等,探索,1,：水稻产量,y,与施肥量,x,之间大致有何规律？,2、现实生活中存在着大量的相关关系。探索1：水稻产量y与施肥,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索,2,：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表,x,与,y,之间的关系呢？,x,y,施化肥量,水稻产量,施化肥量,x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量,y,330 345 365 405 445 450 455,散点图,10 20 30 40 50500,1.,最小二乘法：,称为样本点的中心,1.最小二乘法：称为样本点的中心,3,、对两个变量进行的线性分析叫做,线性回归分析,。,2,、回归直线方程：,2.,相应的直线叫做,回归直线,。,1,、所求直线方程 叫做,回归直,-,线方程,；其中,3、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。2、回归直线方,3.,求出线性相关方程后，如何描述斜率估计值,与变化增量值之间相关关系的强弱？通过什么,量来说明？,1.,用相关系数,r,来衡量,2.,公式：,3.,性质：,、当 时，,x,与,y,为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。,、当 时，表示,x,与,y,存在着一定的线性相关，,r,的绝对值越大，越接近于,1,，表示,x,与,y,直线相关程度越高，反之越低。,3.求出线性相关方程后，如何描述斜率估计值1.用相关系数 r,相关关系的测度,（相关系数取值及其意义）,-1.0,+1.0,0,-0.5,+0.5,完全负相关,无线性相关,完全正相关,负相关程度增加,r,正相关程度增加,相关关系的测度（相关系数取值及其意义）-1.0+1.00-,练,:,某种产品的广告费支出,x,与销售额,y,之间有如表所示数据,:,(1),求,x,y,之间的相关系数,;,(2),求线性回归方程,;,练:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:(1,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数,a,和,b,的最好估计，,制表,7 8,合计,6,5,4,3,2,1,i,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数,a,和,b,的最好估计，,于是有,b=,所以回归方程是,所以，对于身高为,172cm,的女大学生，由回归方程可以预报其体重为,探究,P4,：,身高为,172cm,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生，其身高和体重数据如表,1-1,所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,：女大学生的身高与体重,解：,1,、选取身高为自变量,x,，体重为因变量,y,，作散点图：,2,、由散点图知道身高和体重有比较好的,线性相关关系，因此可以用线性回归方程,刻画它们之间的关系。,3,、从散点图还看到，样本点散布在某一条,直线的附近，而不是在一条直线上，所以,不能用一次函数,y=bx+a,描述它们关系。,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示：,y=bx+a+e,，其中,a,和,b,为模型的未知参数，,e,称为随机误差,。,思考,P3,产生随机误差项,e,的原因是什么？,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1,思考,P3,产生随机误差项,e,的原因是什么？,随机误差,e,的来源,(,可以推广到一般）：,1,、其它因素的影响：影响身高,y,的因素不只是体重,x,，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；,2,、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；,3,、身高,y,的观测误差。,思考P3随机误差e的来源(可以推广到一般）：,对函数模型回归模型进行比较,对函数模型回归模型进行比较,问题一,.,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,可以提供,选择模型的准则,问题一.函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：可以,问题一：函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,函数模型中，因变量,y,完全由自变量,x,确定。,线性回归模型,y=bx+a+e,中增加了随机误差项,e,，因变量,y,的值由自变量,x,和,随机误差项,e,共同确定，即,自变量,x,只能解析部分,y,的变化,。,在统计中，我们也把自变量,x,称为解析变量，因变量,y,称为预报变量。,问题一：函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：函数,对残差的理解,对残差的理解,ljzh.2001,问题二：,在线性回归模型中，,e,是用,bx+a,预报真实值,y,的随机误差，,它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,结合例,1,除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种方法获取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所包含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模型的评价极为有用，因此在此我们引入残差概念。,ljzh.2001163.co,对回归模型进行统计检验,对回归模型进行统计检验,表,1-4,列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，,是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始,数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本,编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,；,对于远离横轴的点，要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第,6,个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,残差图的制作及作用。身高与体重残差图异常点 错误数据,思考,P6,：,如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上,与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？,问题三：,如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？,假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相,同。,在体重不受任何变量影响的假设下，设,8,名女大学生的体重都是她们的平均值，,即,8,个人的体重都为,54.5kg,。,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,54.5kg,在散点图中，所有的点应该落在同一条,水平直线上，但是观测到的数据并非如,此。,这就意味着,预报变量（体重）的值,受解析变量（身高）或随机误差的影响,。,思考P6：问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,例如，编号为,6,的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为,61kg,。解析,变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从,54.5kg“,推”到了,61kg,，相差,6.5kg,，,所以,6.5kg,是解析变量和随机误差的,组合效应,。,编号为,3,的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为,50kg,。解析,变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从,50kg“,推”到了,54.5kg,，相差,-4.5kg,，,这时解析变量和随机误差的组合效应为,-4.5kg,。,用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。,数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用,表示总的效应，称为,总偏差平方和,。,在例,1,中，总偏差平方和为,354,。,5943616454505748体重/kg170155165,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？,有多少来自于随机误差？,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图,中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归,直线上。,这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上,“推”开了,。,在例,1,中，残差平方和约为,128.361,。,因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，,称 为,残差,。,例如，编号为,6,的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：,对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号,称为,残差平方和,，,它代表了随机误差的效应。,表示为：,5943616454505748体重/kg170155165,由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为,354,，而随机误差的效应为,128.361,，所以解析变量的效应为,解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）,=,解析变量的效应（回归平方和）,+,随机误差的效应（残差平方和）,354-128.361=225.639,这个值称为,回归平方和。,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为3,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,显然，,R,2,的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，,R,2,表示解析变量对预报变量变化的贡献率,。,R,2,越接近,1,，表示回归的效果越好（因为,R,2,越接近,1,，表示解析变量和预报变量的,线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较,R,2,的值,来做出选择，即,选取,R,2,较大的模型作为这组数据的模型,。,总的来说：,相关指数,R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它,代表自变量刻画预报变量的能力,。,我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是显然，R,我们可以用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,1,354,总计,0.36,128.361,残差变量,0.64,225.639,随机误差,比例,平方和,来源,表,1-3,从表,3-1,中可以看出，解析变量对总效应约贡献了,64%,，即,R,2,0.64,，可以叙述为,“身高解析了,64%,的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的,36%,。,所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是1354,小结,小结,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（,1,）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（,2,）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系,（如是否存在线性关系等）。,（,3,）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性,回归方程,y=bx+a,）,.,（,4,）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（,5,）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现,不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是,否合适等。,一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪,ljzh.2001,y=,c,1,x,2,+,c,2,变换,y=,c,1,t+,c,2,非线性关系 线性关系,问题,选用,y=c,1,x,2,+c,2,，还是,y=c,1,x,2,+cx+c,2,？,问题,3,产卵数,气温,问题,2,如何求,c,1,、,c,2,？,t,=x,2,方法二，二元函数模型,问题六：,若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例,2,）,ljzh.2001163.co,ljzh.2001,平方变换,：,令,t=x,2,，产卵数,y,和温度,x,之间二次函数模型,y=bx,2,+a,就转化为产卵数,y,和温度的平方,t,之间线性回归模型,y=bt+a,温度,21,23,25,27,29,32,35,温度的平方,t,441,529,625,729,841,1024,1225,产卵数,y,/,个,7,11,21,24,66,115,325,作散点图，并由计算器得：,y,和,t,之间的线性回归方程为,y=,0.367,t,-202.54,，相关指数,R,2,=,r,2,0.896,2,=0.802,将,t=x,2,代入线性回归方程得：,y=,0.367,x,2,-202.54,当,x,=28,时,，,y,=0.36728,2,-202.5485,，且,R,2,=0.802,，,所以，二次函数模型中温度解,释了,80.2%,的产卵数变化。,t,问题六：,若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例,2,）,ljzh.2001163.co,ljzh.2001,产卵数,气温,变换,y=bx+a,非线性关系 线性关系,对数,问题六：,若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例,2,）,方法三：指数函数模型,ljzh.2001163.co,ljzh.2001,温度,x,o,C,21,23,25,27,29,32,35,z=lgy,0.85,1.04,1.32,1.38,1.82,2.06,2.51,产卵数,y,/,个,7,11,21,24,66,115,325,x,z,当,x=28,o,C,时，,y 44,，指数回归模型中温度解释了,98%,的产卵数的变化,由计算器得：,z,关于,x,的线性回归方程,为,z=0.272,x,-3.849,，,相关指数,R,2,=,r,2,0.9925,2,=0.98,对数变换：在 中两边取自然对数得,令 ，则,就转换为,z,=bx+a,问题六：,若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例,2,）,ljzh.2001163.co,ljzh.2001,最好的模型是哪个,?,显然，指数函数模型最好！,问题六：,若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例,2,）,ljzh.2001163.co,ljzh.2001,课堂知识延伸,我们知道，刑警如果能在案发现场提取到罪犯的脚印，即将获得一条重要的破,案线索，其原因之一是人类的脚掌长度和身高存在着相关关系，可以根据一个人的,脚掌长度来来预测他的身高,我们还知道，在统计史上，很早就有人收集过人们的身高、前臂长度等数据，,试图寻找这些数据之间的规律,在上述两个小故事的启发下，全班同学请分成一些小组，每组,4-6,名同学，在老,师的指导下，开展一次数学建模活动，来亲自体验回归分析的思想方法，提高自己的,实践能力。,数学建模的题目是：收集一些周围人们的脚掌长度、前臂长度中的一个数据及其,身高，来作为两个变量画散点图，如果这两个变量之间具有线性相关关系，就求出回,归直线方程，另选一个人的这两个变量的数据，作一次预测，并分析预测结果。,最后以小组写出数学建模报告，报告要求过程清晰，结论明确，有关数学论述准,确，以下两个问题需要注意：,（,1,）如果脚掌长度不方便，可改量脚印的长度。,（,2,）数据尽量取得分散一些。,ljzh.2001163.co,
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