描述函数法

,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4.5 描述函数法,4.5.1 描述函数法的基本思想与条件,1.,基本思想,在非线性系统中，虽然没有受到外界周期性的振荡作用，但有时也会出现一种具有一定频率的不衰减的等幅振荡，这种振荡具有一定的稳定性，受到某种干扰后，还能自动恢复到这种振荡状态。非线性系统出现的这种振荡称为,自激振荡,。,可见，分析非线性系统的自激振荡时，可令,r(t)=0。,因此，任何只有一个非线性元件的系统均可化为如图4.17所示的基本形式。其中，,N,是非线性环节,G(S),是系统的线性部分的传递函数。,当输入正弦函数时，其,输出,x(t),中含有与输入信号频率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值分量。线性部分在,x(t),作用下产生的响应,c(t),中，也会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波特性,c(t),中的高频分量相对于基波分量要小得多。在这种情况下，可以只考虑,x(t),中基波分量的作用，用来近似分析非线性系统的特性，这就是,描述函数法的基本思想,。,2基本条件,描述函数法的,应用条件,是：,1）,非线性特性是斜对称的，这样输出中的常值分量为,零,；,2）,线性部分具有较好的低通滤波特性，以衰减高次谐,波,；,3）,非线性特性不是时间函数，因为描述函数法本质上,是频率法的推广，而频率法对时变系统不适用,；,4,）,系统中的非线性特性能简化为一个非线性环节,。,4.5.2,描述函数,1.,描述函数的定义,对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 时，输出量,x(t),一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数,(4.80),式中,(4.81,a),（4.81,b),设非线性特性是关于原点对称的，则,A,0,(t)=0，x(t),的基波分量为,(4.82),式中,（4.83,a,）,（4.83,b）,(4.84,a),1,=tg,-1,A/B,(4.84,b),类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比，定义为,该非线性环节的描述函数,，记为,N(A,j,)，,即,(4.85),2.,描述函数的求取,由描述函数的定义可以看出，求描述函数的步骤为:,1）绘制输入,输出波形图，写出输入 为时非线性 输出表达式；,2）由波形图分析,x(t),的对称性，并由式（4.83）计算,A,1,，B,1,或者由式（4.84）计算,X,1,，,1,；,3）,描述函数为,例,4.30,设非线性元件的静特性方程为 ，,求它的描述函数。,解 因为是,x(t),奇函数，所以,A,1,=0。,由式（4.83,b）,得,所以，描述函数为,非线性元件的基波分量为,3多个非线性元件组合的描述函数,（1）,非线性环节并联,非线性环节并联时，总的描述函数等于各个非线性,环节的描述函数之和,。,证明：,1）非线性特性都是单值函数：由,于这时各环节的描述函数都是,实数，所以各个环节的输出中,的基波分量分别为输入信号乘,以它们的描述函数，即,所以总的描述函数为,2）,非线性特性为非单值函数：设两个非线性特性的描,述函数为,则两个非线性特性的基波分量为,两个非线性特性并联时总的基波分量为,所以，总的描述函数为,（2）非线性环节串联,1）忽略某些非线性特性：对系统的工作条件及状态进行分析，可以忽略其中的某些非线性特性。,2）合并非线性特性为一个总的环节：如果必须同时考虑几个非线性环节的影响时，常需把几个非线性结合在一个总的非线性环节中，然后再求取这个总环节的描述函数。,例如，将如图4.19（,a）,所示的死区特性和饱和特性串联，合并为一个总的非线性环节，如图4.19（,b),所示。,4.5.3,典型非线性特性的描述函数,1.,饱和特性,(1),饱和现象,饱和特性是控制工程中经常遇到,的一种非线性特性,。例如，放大,器的输出饱和或输出限幅、具有,行程限制及功率限制的液压调节,阀、伺服电机在大控制电压情况,下运行的转速特性、流通孔径限,制等，它们的输出与输入量只在,某一范围内成线性关系（称为线,段），输入量超过这一范围后，,尽管输入量增加，但输出量变化,很小，基本保持一常值，这种现象,称为,饱和现象,，其静特性如图,4.20,（,a,）,所示。,(,),饱和特性的数学描述,理想饱和特性的静特性如图,4.20,（,b,）,所示，用数学表达式描述如下,（,4.86,a,）,或表示为,（4.86,b）,式中,（4.86,c）,(3),饱和特性的描述函数,饱和特性在正弦输入下的输出波形如图,4.21,所示。,图,4.21,饱和特性正弦输入下的输出波形,其中,A,1,=0,在,1/4,周期内，,x(t),的数学表达式为,其中， ，所以,则饱和特性的描述函数为,（,4.87,）,在分析系统稳定时，常用描述函数的负倒特性曲线，或,者称为负倒描述函数。饱和特性的负倒特性为,(4.88),可见，当,A,为定值时，,为一负实数。在复平面内绘,出饱和特性的负倒特性曲线如图4.22所示，图中箭头表,示,A,增大时，负倒特性曲线的变化方向。,2,死区特性,(,),实际系统的死区,系统的死区又称不灵敏区，是指,输入量 的一个范围，当输入量,在这个范围内时，元件或系统没,有输出。,() 死区特性的数学描述,在系统分析中，把死区特性理,想化为图4.23（,b）,所示，其数学表达式为,（4.89）,其中，,a,为死区宽度；,k,为线性输出特性的斜率。,() 常见的具有死区特性的实际系统或元件,不灵敏区在控制系统的各类元件中都存在，,只是程度不同。下面举几个常见的系统：,）测速发电机转速很低时，输出电压几乎,为0；,）伺服电机的死区电压（启动电压）；,）各种电路中的门槛值（阈值）；,）电气触头间隙；,）弹簧的预张力；,6,）气动或液压滑阀的搭接段。,（4）死区特性的描述函数,死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。,图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形,可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以,A,1,=0,在1/4周期内，,x(t),的数学表达式为,其中， ，所以,死区特性的描述函数为：,(4.90),死区特性的描述函数的负倒特性曲线如图4.25所示,3. 间隙特性,(,),实际系统中的间隙特性,在齿轮传动中，由于制造与装配中的误差，在一对啮合齿轮之间往往存在间隙，如图4.26所示。,在有间隙存在的齿轮系中，当主动轮作周期运动时，便出现如图4.27所示的特性，这种特性称为,间隙特性,。,图4.26,齿轮传动中的间隙特性,(,),间隙特性的数学描述,（,4.91,）,式中，为间隙宽度；为输出特性斜率。,() 常见的有间隙特性的实际系统,）齿轮转动系,）磁化特性,）液压传动中的油隙特性,(4) 间隙特性的描述函数,间隙特性及其正弦输入下的输出波形如图4.29所示,图,4.29,间隙特性在正弦输入下的输出波形,其中,x(t),的数学表达式为,其中， ，于是,所以，间隙特性的描述函数为,(4.92),由于在间隙特性中出现了回环，而成为非单值函数。所以其描述函数是一个复函数。绘制间隙特性的负倒特性曲线的数据如表4.1所示，其中，设,k=1。,间隙特性的负倒特性曲线如图4.30所示。,表4.1 间隙特性的负倒特性数据,10,5,1,1.05,1.14,180,186.9,193.7,2.5,2,1.66,1,1.43,1.7,2.08,206.2,212.5,219.4,270,图4.30 间隙特性的负倒特性曲线,4.,继电器特性,继电器是最常用的电器控制元件，由于继电器的吸上电压和释放电压不同，因此，输入输出特性可能包含死区、饱和、间隙等非线性特性，其静特性一般如图,4.31,a,所示，其数学表达式为,（,4.93,a,）,式中，,a,为继电器吸合电压；,m,a,为继电器释放电压；,b,为继电器饱和输出值。,当,a,m,取不同值时，有下列几种特殊情况。,（,1,）理想继电器特性；图,4.31,（,b),（,4.93,b,）,（2）具有死区的单值继电器特性图4.31*,c),（4.93,c）,（3）具有滞环的继电器特性图4.31（,d),（4.93,d）,带有滞环和死区的继电器特性及其在正弦输入下的输出波形如图4.32所示,图,4.32,继电特性正弦输入下的输出波形,因为,x(t),既不是奇函数，又不是偶函数，所以，需要分别计算,A,1,及,B,1,。,从图中看出，,A,0,=0。在半周期内，,x(t),的数学表达式为,其中， ， ，可是,所以，继电特性的描述函数为,(4.94),下面进一步讨论继电特性的几种特殊情况,（1）理想继电器特性(,a=0),将,a=0,代入,(4.94),式得理想继电特性的描述函数：,(4.95),它是一个实函数，其负倒特性为,(4.96),负倒特性曲线如图4.33,b,所示,（2）具有死区的单值继电器特性（,m=1,）,将,m=1,代入,(4.94),式得,(4.97),它也是一个实函数，其负倒特性为,(4.98),负倒特性曲线如图4.34,b,所示,（3）具有滞环的继电器特性（,m=-1,）,将,m=-1,代入 (4.94) 式得,(4.99),它是一个复函数，其负倒特性为,(4.100),可见，负倒特性的虚部是一负常数，实部是随,A,变化的负实数。负倒特性曲线如图4.35（,b）,所示,带有滞环和死区的继电器特性的负倒特性曲线如图4.36所示,图4.36 带有滞环和死区的继电特性的负倒特性曲线,4.5.4 用描述函数法分析非线性系统的自激振荡,1. 非线性系统的特征方程,非线性系统的稳定性分析包括判别系统是否稳定、是否产生自激振荡以及自激振荡是否稳定并确定自激振荡的振幅和频率。应用描述函数法，对任何阶次的非线性定常系统都可以进行近似分析。,如果系统满足描述函数法的条件，在非线性元件的输出中主要是基波分量。那么，非线性元件可以等效为一个具有描述函数,N(A,j,),或,N(A),的线性环节，如图4.37所示，因此，可以用频率法研究。,注意，图4.37中不能用传递函数表示，因为这里的分,析仅仅是在正弦输入信号下进行的。,由图4.37可得系统的特征方程为,(4.101),于是,(4.102),2奈氏图上的稳定性分析,为了研究系统的稳定性，首先在奈氏图上画出两条轨迹：,一条是频率特性,G(j,),随,变化的曲线；,一条是负倒特性随正弦信号幅值,A,变化的曲线；,则非线性系统的稳定判据叙述如下：,非线性系统的奈氏稳定判据：设系统的线性部分是最小相位的，则,1）若轨迹没有被轨迹包围，即当,由0,时轨迹始终位于轨迹之左侧，如图4.38（,a）,所示，则非线性系统是稳定的。而且，两者相距越远，系统相对稳定性越好。,2）若 轨迹被 轨迹包围，如图4.38（,b）,所示，那么，非线性系统是不稳定的。,3）若 轨迹与 轨迹相交，如图4.38（,c）,所示，那么，非线性系统存在稳定的或不稳定的自激振荡。,3自激振荡稳定性分析及其振幅和频率的确定,（1）自激振荡稳定性定义,上面介绍了分析非线性系统稳定性的方法。当 轨迹与 轨迹相交时，如图4.39所示，非线性系统存在自激振荡。自激振荡可能是稳定的，也可能是不稳定的。,假设系统处于自激振荡状态，即系统的输出是近似的正弦波。如果在干扰作用下，自激振荡的幅值和频率保持不变，则称为,稳定的自激振荡,。如果在干扰作用下，系统的输出发散或收敛，或者自激振荡的幅值和频率改变，则称为,不稳定的自激振荡,。,注意，自激振荡的稳定性与系统的稳定性，是完全不同的概念。,（2）自激振荡稳定性判别,先讨论图4。39中交点,a,处自激振荡的稳定性。设系统工作在点,a，,系统处于临界稳定状态则系统输出是振幅为 ，频率为 的正弦波。若扰动使系统输出的幅值增加，即扰动使系统的工作改变到,c,点，这时，由于 轨迹不包围,c,点，系统处于稳定状态，因此，系统输出收敛，幅值减小，系统状态又回到,a,点。反之，若扰动使系统输出的幅值减小，即扰动使系统的工作改变到,d,点，这时，由于 轨迹包围,d,点，系统,处于不稳定状态，因此，系统输出发散，幅值增加，系统状态也回到,a,点。所以，即使存在干扰，系统总是工作在,a,点。因此，,a,点是一个稳定的自激振荡。这时，系统输出一个稳定的正弦波，振幅为 ，频率为 。,讨论交点,b,处自激振荡的稳定性。设系统工作在,b,点，则系统输出振幅为 ，频率为 正弦波。若扰动使系统输出的幅值增加，即系统工作在,e,点,这时,由于 轨迹包围,e,点，系统处于不稳定状态，因此，系统输出发散，幅值增加，系统输出继续增加，直到稳定在,a,点。若扰动使系统输出的幅值减小，即系统工作在,f,点，这时，由于 轨迹不包围,f,点，系统处于稳定状态，因此，系统输出收敛，幅值继续减小，直到系统输出的幅值为0。因此，,b,点是一个不稳定的,自激振荡,。,自激振荡稳定性可以从振荡幅值增加时，负倒特性轨迹的移动方向判别。,当负倒特性轨迹从不稳定区进入稳定区时，交点处的自激振荡是,稳定的自激振荡,。反之，,当负倒特性轨迹从稳定区进入不稳定区时，交点处的自激振荡是,不稳定的自激振荡,.,（3）自激振荡振幅和频率的确定,自激振荡可以用正弦振荡近似表示，其幅值和频率分别为交点处负倒特性轨迹上的,A,值，和 轨迹上对应的值。,4.举例,例4.31 图4.40所示控制,系统，其非线性元件为理,想继电器特性，确定系统,自激振荡的振幅和频率。,解：由线性部分的传递函数,G(s),求得频率特性,G(j,),为:,则:,求奈氏曲线与实轴的交点：,令,得,:,解得奈氏曲线与实轴交点处的频率:,奈氏曲线与实轴交点坐标:,理想继电特性的负倒特性为,:,负倒特性曲线为整个负实轴，与奈氏曲线存在交点，系统存在,自激振荡,。由于负倒特性是从不稳定区进入稳定区,所以,交点处的自激振荡是,稳定的自激振荡,。,自激振荡的频率为: ;自激振荡的幅值为,: .,例4.32 设控制系统如图4.42所示,1）试计算,K,为何值时，,系统临界稳定；,2）求取,K=15,时，自激,振荡的振幅和频率。,解：1）饱和特性的负倒特性为:,欲使系统临界稳定，线性部分,G(j,),轨迹应不包围点（-0.5，,j0）。,由例4.31中的计算结果得 :,G(j,),和负实轴交点处的频率为: ，交点处的幅值为:,根据系统稳定的条件，要求,G(j,),轨迹线和负倒特性曲线不相交,即满足 ,求得,K,的临界稳定值为 ，即为使系统不产生自激振荡，,K,值最大不超过7.5。,2）当,K=15,时，根据上面的分析可知，系统必产生自激振荡，其振荡频率即为 ，其振幅求解如下:,可用各种方法求解上面超越方程，求出振幅,A,的值。这里只介绍一种求解方法。令,求的自激振荡的振幅为：,A=2.5；,振频为 。,