电磁场与电磁波（恒定磁场）课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 恒定磁场,4.1,恒定磁场的实验定律与磁感应强度,4.2,恒定磁场的基本方程,4.3,矢量磁位,4.4,磁偶极子,4.5,磁介质中的安培环路定律,4.6,恒定磁场的边界条件,4.7,电感,4.8,磁场能量和能量密度,第四章 恒定磁场 4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度,4.1,恒定磁场的实验定律与磁感应强度,图,4.1.1,回路 与回路 间的安培力,1820,年法国物理学家,A.M.,安培通过实验总结出：两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。,1.,安培力定律,4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度图4.1.1 回路,安培定律指出,：,在真空中载有电流,I,1,的回路,上的电流元 对载流回路 的电流元 的作用力表示为,l,2,真空中的磁导率,d,l,1,0,z,y,x,d,l,2,l,2,l,1,I,2,I,1,r,2,-,r,1,r,2,r,1,安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路,整个载流回路 对电流元 的作用力,载流回路 对载流回路 的作用力,整个载流回路 对电流元 的作用力载流,2.,磁感应强度,载流回路之间的相互作用是通过磁场来进行的。,载流回路 对电流元 的作用力，可以认为是载流回路 上的电流在空间激励的磁场 ，而磁场 对电流元 施加作用力,将载流回路 在空间中激励的磁场表示为,2. 磁感应强度载流回路之间的相互作用是通过磁场来进行的。,运动电荷在磁场中受的力为：,空间电流,I,在,R,处激励的磁场的大小描述：,毕奥,-,萨伐尔定律,理论上可将电流回路的磁感应强度，视为电流回路上各电流元激励的磁感应强度的叠加，则电流元 的磁感应强度为：,运动电荷在磁场中受的力为：空间电流I在R处激励的磁场的大小描,对于体电流和面电流分布，分别用体电流元 和面电流元 代替上式中，积分得,体电流：,面电流：,图,4.1.2,空间线电流的磁场,磁感应强度在空间以磁感应线（磁力线）的形式来描述，磁感应线的方程与电力线的方程相似，即,对于体电流和面电流分布，分别用体电流元 和面电流,例,4.1.1,求载流,I,的有限长直导线,(,参见图,4.1.3),外任一点的磁场。,图,4.1.3,直导线的磁感应强度,解：,取直导线的中心为坐标原点，导线和,z,轴重合，在圆柱坐标中计算。,例 4.1.1 求载流I的有限长直导线(参,从对称关系能够看出磁场与坐标,无关。不失一般性，将场点取在,=0,， 即场点坐标为,(,r, 0,z,),， 源点坐标为,(0,，,0,，,z,),。,从对称关系能够看出磁场与坐标无关。不失一般性，将场点取在,所以,所以,式中：,对于无限长直导线,(,l,),，,1,=/2,2,=-/2,，其产生的磁场为,式中： 对于无限长直导线(l)，1=/2, 2=-,例,4.1.2,计算图,4. 4,所示真空中一圆形载流回路轴线上的磁感应强度。回路半径为,a,，电流为,I,。,解：在圆柱坐标系中，原点位于圆形回路中心，场点,P,在,Z,轴上，则：,例4.1.2 计算图4. 4所示真空中一圆形载流回路轴线上的,由对称性得：,在,z=0,处，,由对称性得：在z=0处，,4.2,恒定磁场的基本方程,1.,磁通连续性原理,磁感应强度在有向曲面上的通量简称为,磁通量,(,或磁通,),，单位是,Wb(,韦伯,),，用,表示：,如,S,是一个闭曲面， 则,就是磁通量的面,密度，又称为磁通密度,图,4.2.1,磁通量计算,4.2 恒定磁场的基本方程 1. 磁通连续性原理,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,两端对场点,坐标取散度,由于,所以,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,对于在区域 中连续分布的体电流密度,应用矢量恒等式：,则有：,因为 ，第二项中 不是场点坐标,的函数，则,于是有,应用矢量恒等式：则有：因为,恒定磁场中没有发散源，恒定磁场是一种旋涡场。,应用高斯散度定理，可得：,磁通连续性定理的微分形式和积分形式：,恒定磁场中通过任意闭合曲面,S,的磁通量恒等于零,图,4.2.2,磁通的连续性,恒定磁场中没有发散源，恒定磁场是一种旋涡场。应用高斯散度定理,2.,真空中的安培环路定律,真空中一无限长载流导线在周围激励磁场，磁感应强度为,线在垂直于,I,的平面内，呈同心圆状。,图,4.2.3,无限长载流导线周围的磁场,若在垂直于,I,的平面上以,I,穿过平面的点,o,为圆心，以,R,为半么作一圆，则 在这个,圆上的线积分为：,2. 真空中的安培环路定律 线在垂,若在平面上取任意围绕,I,的闭合环路,C,，设环路,C,上的线元 到,I,点,的距离为,r,， 对,I,点的张角为 ， 与 的夹角是,如图,4.2.4(a),，则有,图,4.2.4,任意闭合环路与电流的关系,若在平面上取任意围绕I的闭合环路C，设环路C上的线元,若积分的闭合环路不绕过,I,，如图,4.2.4(b),所示，则上式的积分变成,安培提出：磁感应强度在空间任意闭合环路上的积分（即环流）,等于与此闭合环路交链的所有电流之和与 的乘积。即,安培环路定律,I,为,C,围成的面上穿过的总电流强度，且电流,的方向与回路,C,的环绕方向符合右手螺旋法则。,闭合回路，当绕行一周后， 因此,若积分的闭合环路不绕过I，如图4.2.4(b)所示，则上式的,例,4.2.1,计算图,4.2.9,所示真空中半径为,R,的长直圆柱形载流铜导线的磁场。,解：在圆柱坐标系中，令导线的轴线与,z,轴重合。,由真空中安培环路定律，在,rR,处有：,得：,例4.2.1 计算图4.2.9所示真空中半径为R的长直圆柱,例,4.2.2,在无限长柱形区域,1mr3m,中，沿纵向流动的电流，其电流密度为： 其他地方电流密度为,0,，求各区域中的磁感应强度。,解：在圆柱坐标系中，若将圆柱的轴线与,z,轴重合，则电流关于,z,轴对称，若选圆形路径作为积分回路，利用安培环路定律有：,其中,I,为回路,c,围成的面积上穿过的电流强度,当,r1m,时，,I=0,，,当,1mr3m,时,例4.2.2 在无限长柱形区域1mr=3m,时，,当r=3m时，,4.3,矢 量 磁 位,可以令,:,矢量磁位,(,简称磁矢位,),，单位,:T,m(,特斯拉,米,),或,Wb/m(,韦伯,/,米,),是一个辅助量。上式仅仅规定了磁矢位,的旋度，而,的散度可以任意假定。因为若 ，另一矢量 ，其中,是一个任意标量函数，则,4.3 矢 量 磁 位 可以令 :矢量磁位,使用矢量恒等式,上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区,(,J,=0),，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即,使用矢量恒等式 上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松,电磁场与电磁波（恒定磁场）课件,4.4,磁 偶 极 子,真空中的磁偶极子，即一个,任意形状的小平面载流回路,的磁场。,4.4 磁 偶 极 子真空中的磁偶极子，即一个,下面通过矢量磁位,来求磁感应强度 ：,现在取两个电流元，它们与 平面成的角分别为 和 ，则它们在场点的矢量磁位 相加后得到的 只有 分量，且 ，故有,下面通过矢量磁位 , 来求磁感应强度 ：现在取两,因为 ，故得,（,4.4.1,）,（,4.4.2,）,因为 ，故得（4.4.1）（4.4.2）,将式（,4.4.2,）代入式（,4.4.1,）得：,即,（,4.4.3,）,上式中,S,是圆环的面积，然后代入球坐系中的旋度公式求 ：,结论：磁偶极子的磁感应强度与距离的三次方成反比。,将式（4.4.2）代入式（4.4.1）得：即（4.4.3）上,磁偶极子场的另外表示式：,结论：磁偶极子的电流回路形状不同时，只要面积,S,对场点所张的的立体角相同，则在同一点的 是相同的。,磁偶极子场的另外表示式：结论：磁偶极子的电流回路形状不同时，,图,4.4.3,磁偶极子的场图,图4.4.3 磁偶极子的场图,矢量磁位又可写成：,磁偶极子的磁感应强度为：,是常矢量，,矢量磁位又可写成：磁偶极子的磁感应强度为： 是常矢量,考虑到 时有 ， ，故有,令 ，则磁感应强度可表示为,可表示为一标量函数的梯度，将标量函数 称为恒定磁场的,标量磁位,在无源区域：,标量函数满足的边界条件：,考虑到 时有,4.5,磁介质中的安培环路定律,磁化现象：,磁介质材料中电子的自旋和电子绕原子核的旋转形成围观电流，称为分子电流或束缚电流，每个分子电流可以视为一个磁偶极子。,束缚电流：,在外磁场作用下，材料中各单元磁矩的取向趋于一致，对外呈现宏观的磁效应，影响磁场分布，这种现象称为磁化现象。,4.5 磁介质中的安培环路定律 磁化现象： 磁介质,4.5,磁介质中的安培环路定律,1,、 磁化强度矢量,为包围点,P,的一小体积元， 为体积内分子电流磁偶极矩的矢量和， 为点,P,单位体积中的磁矩矢量和，单位为安,/,米（,A/m,）,4.5 磁介质中的安培环路定律 1、 磁化强度矢量,由：,2,、 磁化电流,设单位体积内分子数为,N,，则：,又因为,注：,由： 2、 磁化电流 设单位体积内分子数为N，则： 又因为注,所以,又因为,所以,束缚体电流密度,所以又因为所以束缚体电流密度,所以,磁介质中的束缚体电流密度为：,磁介质中的束缚面电流密度为：,所以磁介质中的束缚体电流密度为： 磁介质中的束缚面电流密度为,例 半径为,a,、高为,L,的磁化介质柱,(,如图 所示,),，磁化强度为,M,0,(,M,0,为常矢量，且与圆柱的轴线平行,),，求磁化电流 和磁化面电流,。,图,3 15,例,3 - 7,用图,解：取圆柱坐标系的,z,轴和磁介质柱的中轴线重合,磁介质的下底面位于,z,=0,处，上底面位于,z,=,L,处。此时,，磁化电流为,在界面,z,=0,上，,在界面,z,=,L,上，,，,在界面,r,=,a,上，,例 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 所示,3,、磁场强度,在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流,I,m,。 磁化电流,I,m,和外加的电流,I,都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：,3、磁场强度 在外磁场的作用下，磁介质内部有,令,其中,称为磁场强度矢量，单位是,A/m(,安培,/,米,),。于是有,相应的微分形式是,这就是,磁介质中的安培环路定律,令 其中 称为磁场强度矢量，单位是A/m(安培/米,4,、磁导率,式中,m,是一个无量纲常数，称为磁化率。,式中，,r,=1+,m,，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；,=,0,r,，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为,H/m(,亨,/,米,),。,铁磁材料的,和 的关系是非线性的，并且 不是 的单值函数， 会出现磁滞现象，其磁化率,m,的变化范围很大，可以达到,10,6,量级。,4 、磁导率 式中m是一个无量纲常数，称为磁化,5,、磁介质中恒定磁场基本方程,微分形式,积分形式,磁介质的本构方程,5、磁介质中恒定磁场基本方程 微分形式,例,4.5.1,同轴线的内导体半径为,a,，外导体的内半径为,b,，外半径为,c,，如图 所示。设内、外导体分别流过反向的电流,I,， 两导体之间介质的磁导率为,，求各区域的 。,图,3-16,同轴线示意图,例4.5.1 同轴线的内导体半径为a，外,解： 以后如无特别声明，对良导体,(,不包括铁等磁性物质,),一般取其磁导率为,0,。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化,.,当,r,a,时， 电流,I,在导体内均匀分布，且流向,+,z,方向。由安培环路定律得,考虑这一区域的磁导率为,0,，可得,(,r,a,),(,r,a,),解： 以后如无特别声明，对良导体(不包括铁,当,a,r,b,时，与积分回路交链的电流为,I,，该区磁导率为,，可得,(,a,r,b,),当arb时，与积分回路交链的电流为I，,当,b,c,时，这一区域的 为零。,当bh,和铁心的磁导率, 0,，磁环上绕有,N,匝线圈，通以电流为,I,。试计算环中的,B,、,H,和,。,解：在忽略环外漏磁的条件下， 由安培环路定律有：,解得：,例4.6.1如图所示，铁心磁环的内半径为a，轴线半径 r0，,当磁环上开一很小的切口，即在磁路上有一个小空气隙时，根据磁通连续方程，近似认为磁感线穿过空气隙仍均匀分布在截面上，由边界条件知：,当,2,个区域磁场强度不同时有：,由边界条件得,:,当磁环上开一很小的切口，即在磁路上有一个小空气隙时，,4.7,电感,电感定义,:,电感是一种储存磁场能量的元件，通常由,N,匝导线绕制而成。当线圈通电时，将在空间中激励磁场，穿过一匝线圈的磁通为,，穿过线圈的总磁通称为磁链，用,表示。,假定,N,匝导线紧密绕制，可以近似认为处于同一位置，则：,在线性介质中，磁感应强度与电流成正比，,故,：,L,称为电感的,自感系数,，简称,自感,，单位为,H,（亨利）。自感取决于线圈的大小、形状、匝数和填充的媒质。,4.7 电感电感定义: 电感是一种储存磁场能量的元件,对于两个线圈构成的互感系统，若回路,1,载有电流,I,1,，在空间产生磁感应强度,B,1,，回路,2,面积为,S,2,，则,B,1,穿过回路,2,的磁通量为,1,、,12,称为回路,1,产生的磁场在回路,2,上的互磁通。若回路,2,有,n,圈,，则互感磁链为,12,=n,2,12,。,2,、同理,21,=n,1,21,。,3,、 在线性媒质中，互磁链正比于 电流即：,12,=M,12,I,1,同理，,21,=M,21,I,2,d,l,1,0,z,y,x,d,l,2,l,2,l,1,I,2,I,1,r,2,-,r,1,r,2,r,1,对于两个线圈构成的互感系统，若回路1载有电流I1，在,即互感：,线圈间的互感取决于回路的,形状、大小、匝数、,两线圈的,相对位置和磁介质的磁导率,。,互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值,。,与回路电流,I,1,交链的,磁通链,是由两部分磁通形成的，其一是,I,1,本身,产生的磁通形成的磁通链,11,，另一是电流,I,2,在回路,l,1,中产生的磁通形成的磁通链,21,。,d,l,1,0,z,y,x,d,l,2,l,2,l,1,I,2,I,1,r,2,-,r,1,r,2,r,1,那么，与电流,l,1,交链的磁通链,1,为,即互感： 线圈间的互感取决于回路的形状、大小、匝数、两,电感计算,:,由于实际导线的截面积不能忽略。因此，磁链将分为内外两部分。穿过导线内部的磁链称为内磁链,i,，对应的自感称为,内自感,L,i,，导线外部的磁链称为外磁链,o,对应的自感称为,外自感,L,o,。,由于,穿过以,l,为边界的面积上的磁链为：,所以，线圈的外自感为（,自感的诺伊曼公式,）,n,匝密绕时，则乘以匝数,n,电感计算: 由于实际导线的截面积不能忽略。因此，磁链将,对于内自感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且导线横截面为圆形，则导线内部的磁场可近似地认为同无限长直圆柱导体内部的场相同。若导线截面半径为,a,，磁导率为,，如图所示。则导线内的磁场为,穿过导线中长为,l,，宽为,dr,的截面的磁通为,对于内自感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且,故长度为,l,的一段圆截面导线的,内自感,为,d,仅与电流的一部分（即半径为,r,的圆截面内的电流）相交链，因而在计算与,I,相交链的磁链时要乘以一个比值 ，即它交链的电流占总电流的百分比，即,故,内磁链,为：,故长度为l的一段圆截面导线的内自感为 d仅与电流的一,对于两单匝互感线圈，回路,1,通过的电流在回路,2,上的磁链为,同理有：,可见：,上式为,互感的诺伊曼公式,对于两单匝互感线圈，回路1通过的电流在回路2上的磁链为 同理,例 如图所示，求无限长平行双导线单位长度外自感。,解：设导线中电流为,I,，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为,磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为,所以单位长外自感为,例 如图所示，求无限长平行双导线单位长度外自感。 解,4.8,磁场的能量和能量密度,磁场系统所具有的磁场能量是在建立此恒定磁场系统过程中，由其它形式的能量转换成磁能的。如磁场系统是由一个或几个恒定电流回路所产生的，那么磁场的能量就一定是在这些恒定电流的建立过程中，由外电源提供的。,假定回路的形状、位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，回路的电流分别为,i,1,(,t,),、,i,2,(,t,) ,i,n,(,t,),，最初，,i,1,=0,，,i,2,=0,i,n,=0,，最终，,i,1,=,I,1,i,2,=,I,2,，,i,n,=,I,n,。 在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。,4.8 磁场的能量和能量密度 磁场系统所具有的磁场,根据电路理论可知，回路,j,有：,dt,时间内与回路,j,相连的电源所做的功为：,因此，整个系统在,dt,时间内增加的磁能为：,回路,j,的磁链为 ：,将此式代入上式可得 ：,根据电路理论可知，回路j有：dt时间内与回路 j 相连的电源,系统的建立过程对应于,从,0,到,1,的变化过程，即,则：,于是：,整个磁场系统的总磁场能为 ：,若,N,=1,时，即,单一回路,组成的电感，,M,11,=,L,，,则：,系统的建立过程对应于从0到1的变化过程，即 则：于是：整,若,N,=2,，即,双线圈,时，,M,11,=,L,1,，,M,22,=,L,2,，,M,12,=,M,21,=,M,，,则：,同时,故，对于,分布电流,若N=2，即双线圈时，M11=L1， M22=L2， M12,若将式中积分体积扩大到无穷大，此时闭合面可视为一无穷大的球面，因此，,R,， ， ，,故第二项面积分为零。于是磁场的总储能为：,磁场的,能量密度,为：,在各向同性，线性磁介质中：,故：,若将式中积分体积扩大到无穷大，此时闭合面可视为一无穷,例,1,同轴线的内导体半径为,a,，外导体内半径为,b,，外导体的厚度忽略不 计。设同轴线所用材料的磁导率都等于,0,，今将同轴线内、外导体在两端闭合形成回路，并通有恒定电流,I,，试计算同轴线单位长度储存的磁场能。,解：同轴线内、外导体在两端短路后可视为一闭合回路，而同轴线的单位长度的电感为,因此，同轴线的单位长度储存的磁场能量为,例 1 同轴线的内导体半径为a，外导体内半径为b，外导体的厚,在回路的电流从零到,I,1,的过程中，电源作功为,计算当回路,1,的电流,I,1,保持不变时，使回路,2,的电流从零增到,I,2,，电源作的功,W,2,。若在,d,t,时间内，电流,i,2,有增量,d,i,2,，这时回路,1,中感应电势为,E,1,=-d,21,/d,t,，回路,2,中的感应电势为,E,2,=-d,22,/d,t,。 为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在,d,t,时间内，电源作功为,d,W,2,=,M,21,I,1,d,i,2,+,L,2,i,2,d,i,2,在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为,积分得回路,1,电流保持不变时， 电源作功总量为,电源对整个电流回路系统所作的总功为,积分得回路 1 电流保持不变时， 电源作功总量为 电源对整个,推广到,N,个电流回路系统， 其磁能为,式中：,代入后得：,对于分布电流，用,I,i,d,l,i,=,J,d,V,代入上式，得,推广到N个电流回路系统， 其磁能为 式中： 代入后得： 对于,注意，上式中当积分区域,V,趋于无穷时，面积分项为零,(,理由同静电场能量里的类似,),。于是得到,磁场能量密度为,类似于静电场的能量可以用电场矢量,D,和,E,表示，磁场能量也可用磁场矢量,B,和,H,表示，并由此得出磁通密度的概念。将,H,=,J,代入上式，得,注意，上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由同静电,例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。,解：设导体半径为,a,，通过的电流为,I,，则距离轴心,r,处的磁感应强度为,单位长度的磁场能量为,单位长度的内自感为,例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。,