材料有限元分析ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 非线性问题的有限元法,4.1. 概述,线弹性体系的基本特点：,应变和位移关系是线性的（几何方程)；,应力和应变关系是线性的（本构方程)；,变形前应力和体力关系是线性的（平衡方程 ),线弹性体系成立的前提：,结点位移无限小；,材料的应力和应变关系满足虎克定律；,加载时边界条件保持不变。,第四章 非线性问题的有限元法,1,材料非线性,：,材料自身的应力和应变关系是非线性的。如，纯金属及其绝大多数合金材料、高分子材料等。,应变,屈服点,.,.,材料极限,塑性应变,材料非线性：应变屈服点.材料极限塑性应变,2,几何非线性,：,结构的位移造成体系受力状态发生显著变化。如，金属构件的塑性变形和蠕变等。,大位移小应变（如，塑料的热成形）；,大位移大应变（如，金属的压力加工）。,A,B,几何非线性：AB,3,边界非线性,：,边界条件非线性变化。例如模锻毛坯的接触问题,边界非线性：,4,4.2. 材料非线性,共同特点：材料特性随温度和时间变化。,（1）弹塑性问题,加载后，如果载荷恒定，则材料的变形不随时间变化; 但另一方面，当载荷增加到某个值时，材料的变形会出现屈服现象。,（2）粘弹性和粘塑性问题,加载后，材料的变形随时间变化。,蠕变,应力恒定，应变随时间增加；,松弛,应变恒定，应力随时间减小。,4.2. 材料非线性,5,t =,hour,l,t = 0,Creep,l,1,l,2,l,1,=,l,2,t = 0,t =,hour,Stress,Relaxation,t = hourlt = 0 Creep l1 ,6,4.2.1. 非线性方程组的求解,离散化的非线性方程组一般可表示为,返回到P1,3,4.2.1. 非线性方程组的求解返回到P13,7,(1) 直接迭代法,直接迭代法求解非线性方程组的局限：只适用于求解与变形历史无关的非线性问题（例如，弹塑性问题）。,(1) 直接迭代法 直接迭代法求解非线性方程组,8,直接迭代法收敛的几何含义（图中的, 为标量，非线性系统是单自由度的）,直接迭代法收敛的几何含义（图中的 为标量,9,(2) NewtonRaphson迭代法,目的：进一步提高近似解的精度和解的收敛速度。,回到P14,(2) NewtonRaphson迭代法回到P14,10,N-R法中的初始近似解 ，可简单的设为 ；这样，的初值在非线性问题中就是弹性刚度矩阵。,N-R法求解过程的几何表示,N-R法中的初始近似解 ，可简单的设为,11,(3) 修正的NewtonRaphson法,目的：克服每迭代一次都需重新生成并求逆切线矩阵的麻烦。,思路之一：,式(4-10)是以牺牲收敛速度为代价来换取计算量的减少。,思路之二：,迭代若干次（例如 m 次）后，更新 为 ，再进行以后的迭代。,(3) 修正的NewtonRaphson法 式,12,(4) 增量法,如果初始状态下，解向量, 和载荷向量 f 均为定值，则用增量法求解非线性方程组可以得到较好的收敛解。,令式(,4-2,)中的载荷项 ，得增量方程,(4) 增量法,13,解得(4-14)中的 ，再用“修正的”欧拉公式改进之，即,按(4-14)或(4-15)计算出来的 （如图）一般会导致解的漂移。为克服解的漂移现象，可以将N-R法或mN-R法用于每一增量步。,解得(4-14)中的 ，再用“修正的”欧拉公式,14,例如，用(,4-8,)修正(4-14)，得,由上式解出,回到14,，,17,，,40,例如，用(4-8)修正(4-14)，得由上式解出回到14，1,15,为缩减(4-17)的计算量，采用修正的NewtonRaphson方法，此时,为缩减(4-17)的计算量，采用修正的Newton,16,(,4-17,)和(4-20)被称为考虑平衡校正后的迭代算法，其几何意义如图所示,变斜率切线,对应(4-17),恒斜率直线,对应(4-20),(4-17)和(4-20)被称为考虑平衡校正后,17,(5) 加速收敛的方法（以Aitken法为例）,考查单自由度非线性系统，无Aitken加速的mN-R迭代和有Aitken加速的mN-R迭代求解示意图如(a)、(b)所示：,特点：切线和割线交替出现,(5) 加速收敛的方法（以Aitken法为例）特点：切线和割,18,当经过迭代12次后，从(b)图得到的两次迭代之差值为,当经过迭代12次后，从(b)图得到的两次迭代之差值为,19,于是，增量法公式,(4-18),可改写成,公式(4-24)表明，Aitken加速收敛法的特点是：迭代和加速交叉进行。,于是，增量法公式(4-18)可改写成 公式(4,20,将(4-24)推广到N个自由度的系统,为避免因上式分母项 的值很小时，计算量剧增的情况出现，特对(4-25)进行修正，用标量代替(4-25)中的对角矩阵,将(4-24)推广到N个自由度的系统 为避免因,21,4.2.2. 材料非线性本构关系,4.2.2.1. 材料的弹塑性行为,单调加载,理想弹塑性,硬化塑性,非线性弹性和塑性,4.2.2. 材料非线性本构关系理想弹塑性硬化塑性非线性弹性,22,当材料发生应变硬化（加工硬化）时，有,即：加载过程中，材料的下一步屈服与前一步应变有关。,当材料发生应变硬化（加工硬化）时，有即：加载过程中，材料的下,23,反向加载,针对硬化材料，如果在一个方向加载进入塑性后，卸载并在反方向加载，直至进入新的塑性。,反向加载,24,循环加载,一次循环,循环松弛,循环硬化,循环蠕变（棘轮效应）,循环加载一次循环循环松弛循环硬化循环蠕变（棘轮效应）,25,通常，循环加载条件与材料特性的关系,循环加载条件材料特性,等幅应变控制 循环硬（软）化,不等幅应变控制循环松弛,不等幅应力控制 循环蠕变（棘轮效应）,通常，循环加载条件与材料特性的关系,26,4.2.2.2. 塑性力学的基本法则,屈服条件,对于初始各向同性材料，其开始进入塑性流动的条件为,式中,k,“硬化”参数，, 应力向量阵列，Y(,k,) 单向屈服应力,(2) 流动法则,假设 塑性应变增量与塑性势（能）有关,则,式中塑性应变增量 ；, 与材料硬化法则有关的参数；,Q 塑性势函数,返回到26,，,33,，,35,，,38,4.2.2.2. 塑性力学的基本法则(2) 流动法则返,27,对于稳定的应变硬化材料，如果存在关联塑性，即,Q,=,F,其中 F 后继屈服函数（后继加载函数或加载曲面，即与加载历史有关的屈服函数）,此时，公式(4-28)变成,(3) 硬化法则,公式(4-29)中，后继屈服函数的一般表达式,对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，所以后继屈服函数应与初始屈服函数 F(,),一致，即,对于稳定的应变硬化材料，如果存在关联塑性，即(3) 硬化,28,对于硬化材料,各向同性硬化法则,各向同性硬化特点,材料进入塑性变形后，加载屈服面（后继屈服面）在各方向上均匀向外扩张，其形状、中心和方位保持不变。,例如，当 时，初始屈服轨迹与后继屈服轨迹之间的关系,加载屈服面,初始屈服面,对于硬化材料加载屈服面初始屈服面,29,根据Von.Mises流动法则(,4-28,)，各向同性硬化后继屈服函数（加载屈服面）的通式为,根据Von.Mises流动法则(4-28)，各向同性硬化后,30,式(4-32)中的 是加载时的后继屈服应力，它是等效塑性应变 的函数。其中,的值可由材料单轴拉伸试验的曲线获得，定义,为材料的塑性模量（硬化系数），它与弹性模量,E,和切线模量 之间存在关系,各向同性硬化法则适用的材料,单调加载，且 。,式(4-32)中的 是加载时的后继屈服,31,运动硬化法则,运动硬化法则特点,材料进入塑性后，加载屈服面在应力空间作刚性移动，其形状、大小和方位均保持不变。,此时的后继屈服函数可表示,为,F(, , ) = 0 (4-37),式中 是加载曲面中心在应,力空间的移动张量(法向量），与,材料的硬化特性和变形历史有关。,运动硬化法则适用的材料,单调加载时， ；,卸载时， 。,初始屈服面,加载屈服面,运动硬化法则初始屈服面加载屈服面,32,混合硬化法则,混合硬化的后继屈服函数,混合硬化法则适用的材料,并且主要用于反向加载和循环加载的场合。,混合硬化法则混合硬化法则适用的材料,33,加载、卸载准则,由于材料变形过程中，其应力状态是在变化的，因此，用加载、卸载准则来判断材料从当前状态出发，下一步是继续加载还是弹性卸载，并以此确定后继计算是采用弹塑性本构方程还是采用弹性本构方程。由(,427,)知,则 对于理想弹塑性材料，继续塑性加载；对于硬化材料：中性变载（即仍保持塑性状态，但不发生新的塑性流动）,加载、卸载准则则 对于理想弹塑性材料，继续塑性加载；对于硬,34,4.2.2.3. 应力应变关系（本构关系）,当应力产生无穷小增量时，假设应变由弹性应变和塑性应变两部分组成，即,因 弹性应变,塑性应变,返回到32,4.2.2.3. 应力应变关系（本构关系）返回到32,35,当材料发生塑性屈服时，应力状态处在式,(4-27),所表示的屈服面上，对(4-27)微分，得,当材料发生塑性屈服时，应力状态处在式(4-27,36,为了消去参数, ，用 左乘式,(4-40),两端，得,为了消去参数 ，用 左乘式(4-40)两端，,37,式(4-45)中的 称为,弹塑性矩阵,。该矩阵只有在材料是关联 塑性的情况下才对称。此外，对于理想塑性材料（这时 A = 0），矩阵 仍有定义。,4.2.3. 粘塑性问题,4.2.3.1. 粘塑性材料的本构方程,对于具有粘塑性的材料，在应力空间中，其总应变速率等于弹性应变速率与粘塑性应变速率之和。即,粘塑性材料的屈服条件在形式上与塑性材料相同,（4-27）,，即,返回43,式(4-45)中的 称为弹塑性,38,根据粘塑性流动法则，材料的粘塑性应变速率可表示为,返回到42,，,43,根据粘塑性流动法则，材料的粘塑性应变速率可表示为返回到42，,39,4.2.3.2. 蠕变,蠕变的特征：在常应力条件下，材料的变形与时间和温度有关。,设 蠕变应变为 ，则蠕变应变率为,t =,hour,l,t = 0,Creep,4.2.3.2. 蠕变t = hourlt = 0 C,40,4.2.4. 温度对材料非线性本构方程的影响,考虑温度的影响，则非线性材料的应变增量（用张量形式）应为,此时的应力应变关系可表示为,4.2.4. 温度对材料非线性本构方程的影响,41,上述应变增量的具体表示式：,弹性应变增量,考虑到温度对弹性模量 E 和泊松比, 的影响，有,(2) 塑性应变增量,上述应变增量的具体表示式：(2) 塑性应变增量,42,(3) 温度应变增量,(4) 蠕变应变增量,(3) 温度应变增量 (4) 蠕变应变增量,43,4.2.5. 弹塑性问题的有限元求解(增量法),由于材料和结构的弹塑性行为与加载及变形历史有关，所以，通常把载荷分解成若干个增量，针对每一个载荷增量，线性化弹塑性方程，从而将非线性问题转化成一系列线性问题（即按载荷步求解）。,应用,(4-16),，即,4.2.5. 弹塑性问题的有限元求解(增量法),44,然后利用迭代法可求得,然后利用迭代法可求得,45,4.2.6. 粘塑性问题的有限元求解(增量法),按时间间隔(增量) 求解。,假设：在 时刻已求得结点位移 和应力 ，且载荷向量 已知，则,(1) 应变增量,由式,(4-49),表示的应变率法则，可求得 内产生的应变增量,式中,4.2.6. 粘塑性问题的有限元求解(增量法),46,应力增量,由,(4-51),的增量形式和,(4-47),，得,用位移增量表示总应变增量,将(4-62)和(4-65)代入(4-64)，得,返回45,应力增量用位移增量表示总应变增量将(4-62)和(4-65),47,（3）平衡方程,在任一瞬间 ，结点应力和等效结点载荷之间满足平衡方程，用积分式表示,对于 ，有,（3）平衡方程对于 ，有,48,将,(4-66),代入(4-69)，可得时间步长 的位移增量,最后将(4-70)代回,(4-66),，得应力增量 ，从而有,将(4-66)代入(4-69)，可得时间步长,49,利用(4-64)、(4-65)得,(4-72)即为“平衡状态”下求解粘塑性问题的增量公式。,利用(4-64)、(4-65)得(4-72)即为“平衡状态”,50,