新随机变量及其分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,数学,理科,2021届高考数学第一轮复习,第十三单元 随机变量及其分布,第一节 离散型随机变量及其分布,1根本概念,(1)随机变量：随着试验结果 的量叫随机变,量，通常用字母X，Y，表示,(2)离散型随机变量：所有取值可以 的随机变,量叫离散型随机变量,变化而变化,一一列出,(3) 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可,能的取值为x1，x2，xi，xn，X取每一个,值xii1,2, ,n的概率P(Xxi)pi，那么称表,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,为离散型随机变量X的 ，简称为 ,2离散型随机变量的根本性质,概率分布列,X的分布列,(1) pi0i1,2, ,n (2),3两点分布：如果随机变量X的分,布列为,那么称X服从两点分布，,而称 为成功概率,pP(X1),X,0,1,P,1p,P,4超几何分布,一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，,其中恰有X件次品数，那么事件Xk发生的概率为,k1,2,m,其中mminM，n，且n,N，M,N，n，M，N,N*，,称分布列,X,0,1,m,P,为 ，如果随机变量X的分布列为超几何,分布列，那么称随机变量X ,超几何分布列,服从超几何分布,题型一随机变量的的概念,【例1】写出以下随机变量可能的取值，并说明随机,变量所表示的意义,(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，,其中所含白球的个数,(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的,最大值为Y,分析,(1)所取3个球中，可能有一个白球，也可能有,两个白球，还可能没没有白球,(2)投掷结果为(i，j)，其中1i6，1j6，i，jN*，,投掷结果用X，Y表示,解 (1) 可取0,1,2.0表示所取三球没有白球；,1表示所取三球是一个白球，两个黑球；,2表示所取三球是两个白球，一个黑球,(2)X的可能取值有2,3,4,5，12,Y的可能取值为1,2,3，6,假设以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，,那么X2表示(1,1)；X3表示(1,2)，(2,1)；,X4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；,X12表示(6,6),Y1表示(1,1)；Y2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；,Y3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；,Y6表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，(6,6)，,(6,5)，(6,1),学后反思研究随机变量的取值关键是准确理解所,定义的随机变量的含义，明确随机变量,所取的值对应的试验结果，是进一步求,随机变量取这个值时的概率的根底,1以下几个命题：,某机场候机室中一天的游客数量为X；,某寻呼台一天收到的寻呼次数为X；,某水文站观察到一天中长江的水位为X；,某立交桥一天经过的车辆数为X,其中不是离散型随机变量的是,A中的X B中的X,C中的X D中的X,解析：,中的随机变量X可能取的值，我们都可以,按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；,中的X可以取某一区间内的一切埴，无法按一定次序,一一列出，故X不是离散型随机变量,答案：C,题型二求离散型随机变量的分布列,【例2】甲盒中有大小相同的1个红球和3个黑球，,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现,从甲，乙两个盒内各任取2个球，设为取出,的4个球中红球的个数，求的分布列,分析此题主要考查互斥事件，独立事件离散型随,机变量的分布列，考查运用概率知识解决实,际问题的能力,解,可能取的值为0,1,2,3，,0,1,2,3,P,的分布列是,学后反思求概率分布分布列的一般步骤为：,(1)确定X可取哪些值；,(2)P(Xk)确实定利用排列组合和等可能事件的,概率公式或互斥事件，对立事件的概率公式或相,互独立事件，独立重复试验的概率公式；,(3)列出分布列一般用表格形式；,(4)检验分布列用它的两条性质验算,2一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为,1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以,X表示取出球的最大号码，求X的分布列,解析：随机变量X的可能取值为3,4,5,6,X的分布列是,3,4,5,6,P,题型三分布列的性质及应用,【例3】假设离散型随机变量X的分布列为,X,0,1,P,9c,2,c,38c,分析,利用分布列的两个性质求解,解,由离散型随机变量分布列的性质得,试求出常数c的值,学后反思,离散型随机变量的两个性质主要解决以,下两类问题：,(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进,一步求得概率，得出分布列；,(2)求对立事件的概率或判断某概率的成立与否,X,0,1,P,2/3,1/3,X的分布列为,3设随机变量X的分布列为,X,1,2,3,n,P,k,2,k,4,k,2,n-1,k,那么k,解析：,由分布列的性质，知,k,2,k,4,k,2,n-1,k,1，,答案：,由等比数列求和公式得,题型四利用随机变量的分布列解决概率问题,【例4】袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋,中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计,分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示,取出的3个小球上的最大数字，求：,(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；,(2)随机变量的概率分布；,(3)计分介于20分到40分之间的概率,分析,(1)是古典概型；,(2)确定随机变量所取的值；,(3)计分介于20分到40分之间的概率等于,3和4的概率之和,解(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互,不相同的事件记为A，那么,方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不,相同的事件记为A，“一次取出的3个小,球上的有两个数字相同的事件记为B，,那么A，B为互斥事件,(2),可能取的值为2,3,4,5,的概率分布列为,2,3,4,5,P,(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间的事件记为C，,那么P(C)P(3或4)P(3)P(4),学后反思把所求事件的概率转化为分布列中,的根本领件或由根本领件组成的事,件的概率问题是用公布列解决问题,的关键,4(2021北京模拟)在含有13张红心与12张梅花的25张扑,克牌中，任抽6张，假设规定所抽梅花牌的数量为0时获等,奖，为1时获一等奖，为2时获二等奖，为3时获三等奖，,且仅设这4个奖项，求某人任抽6张时获奖的概率,解析：获奖就是到多抽取3张梅花，高抽取梅花的张数为X，,那么X服从超几何分布，其中N25，M12，n6,故获奖的概率是,P(X,3)P(X0)P(X1)P(X2)P(X3),0.719,6设随机变量X只能取5,6,7,16这12个值，且取,第一个值的概率均相等，那么P(X8),解析：,由X取每一个值的概率都相等，均为,故P(X8),答案：,9(2021济南模拟)设随机变量的分布列,(k1,2,3,4,5),(3)求,(1)求常数,a,的值；(2)求,解析：,(1)依题意，,a,2,a,3,a,4,a,5,a,1，故,(2),(3),10某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为,(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率,用数字作答；,(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率,用数字作答；,(3)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，,求的分布列,，且各次射击的结果互不影响,解析：(1)记“射手射击一次，击中目标为事件A，,射手在3次射击中，至少有两次连续击,中目标的概率为,(2) 射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率,3,4,k,P,(3) 依题意，“k的概率为,故,的分布列是,第二节 二项分布及其应用,1条件概率及其性质,(1)条件概率的定义,设A、B为两个事件，且PA0，,(2)条件概率的求法,求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以,称P(B|A),，,为在事件A发生的条件下，,事件B发生的条件概率,借助古典概型概率公式，即P(B|A),(3)条件概率的性质,条件概率具有一般概率的性质，即 ,如果B和C是两个互斥事件，那么,PBC|A ,0P(B|A)1,P(B|A)P(C|A),2事件的相互独立性,设A，B为两个事件，如果P(AB) ，,那么称事件A与事件B相互独立,3独立重复试验,(1)在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,P(A)P(B),(2)如果事件A和B相互独立，那么,与,，,B,与,，,与,也都相互独立,A,4二项分布,在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，,在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次,独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为,此时称随机变量X服从二项分布，记作,，,并称p为成功概率,P(Xk),， (k0,1,2，,n)，,XB(n，p),【例1】号箱中有个白球和个红球，号箱中,有个白球和个红球，现随机地从号箱,中取出一球放号箱，然后从号箱中随机,取出一球，问从号箱取出红球的概率是多少？,分析,从号箱取出红球，有两种互斥的情况：,一是当从号箱取出红球，,二是当从号箱取出白球.,解从号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当,从号箱取出红球，二是当从号箱取出白球.,记事件A：最后从号箱中取出的是红球，,事件B：从号箱中取出的是红球，那么,学后反思求复杂事件的概率，可以把它分解为,假设干个互不相容的简单事件，然后利用条件,概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，,最后可利用概率的可加性，得到最终结果,1有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗,成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一,粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率,解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为,事件AB发芽，又成活的幼苗，出芽,后的幼苗成活率为P(B|A)0.8，P(A)0.9，,由 得，,P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72，,故这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72,题型二相互独立事件的概率,【例2】甲，乙两名跳高运发动一次试跳2米高度成,功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功,与否相互之间没有影响，求：,(1) 甲试跳三次，第三次才成功的概率；,(2) 甲，乙两人在第一次试跳中至少有一人,成功的概率；,(3) 甲，乙各试跳两次，甲比乙成功次数恰,好多一次的概率,分析,因为甲，乙两人试跳成功与否相互之间没有影,响，每人每次的试跳成功与否也不相互影响，,故应利用独立事件求概率的方法求解,解(1)记“甲第i次试跳成功为事件Ai，“乙第i次试跳,成功为事件Bi，依题意得P(Ai)0.7，,P(Bi)0.6，且Ai，Bi相互独立，,(2) 记“甲，乙两人在第一次试跳中至少有一人成功,为事件C，,彼此互斥，,方法一：,方法二：,(3)设“甲在两次试跳中成功i次为事件Mi(i0，1，2)，,“乙在两次试跳中成功i次为事件Ni(i0，1，2)，,那么事件“甲，乙各试跳两次，甲比乙成功次数恰好,多一次可表示为M1N0M2N1，且M1N0，M2N1为,互斥事件，,P(M1N0M2N1)P(M1N0)+P(M2N1),P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1),学后反思,(1)用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：,用恰当字母表示题中有关事件；,根据题设条件，分析事件间的关系；,将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积,或假设干个乘积之和相互乘积的事件之间必须,满足相互独立；,利用乘法公式计算概率,(2)两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发,生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般,地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互,斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是,以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同,时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这,一点与互斥事件的概率和也是不同的,2栽培甲，乙两种果树，先要培育成苗，然后再,进行移栽，甲，乙两种果树成苗的概率分,别是0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，,0.9,(1)求甲，乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；,(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率,解析：分别记甲，乙两种果树成苗为事件A1，A2；,分别记甲，乙两种果树移栽成活为事件B1，B2,那么P(A1)0.6，P(A2)0.5，P(B1)0.7，P(B2)0.9,(1) 甲，乙两种果树至少有一种果树成苗的概率为,(2) 分别记甲，乙两种果树培育成苗且移栽成活为,事件A，B，那么P(A)P(A1 B1)0.42，,P(B)P(A2B2)0.45,恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率为,题型三独立重复试验,【例3】甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是,(1)求甲射击次，至少有次未击中目标的概率；,(2)求两人各射击次，甲恰好击中目标次且乙,恰好击中目标次的概率；,(3)假设某人连续次未击中目标，那么中止其射击，,问：乙恰好射击次后，被中止射击的概率是多少？,，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,分析,(1)至少一次未击中，包括情况多，可求其,对立事件的概率；,(2)甲恰好击中目标次与乙恰好击中目标次相互独立；,(3)乙恰好射击次被中止，相当于前次至少有一次击,中，第次击中，第次和第次未击中,解(1)记“甲连续射击次，至少有次未击中目标为事件A1，,依题意得，射击次，相当于作次独立重复试验，,故甲射击次，至少有次未击中目标的概率是,(2) 记“甲射击次，恰有次击中目标为事件A2，,“乙射击次，恰有次击中目标为事件B2，那么,因为甲，乙射击相互独立，故两人各射击次，,甲恰好击中目标次且乙恰好击中目标次的概率是,(3) 记“乙恰好射击次后被中止射击为事件A3，,“乙第i次射击未击中为事件Di(i1,2,3,4,5)，那么,由于各事件相互独立，故乙恰好射击次后，,被中止射击的概率是,学后反思,(1)独立重复试验要从三方面考虑：,每次试验是在同样的条件下进行；,每次试验中的事件是相互独立的；,每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，,要么不发生,(2)如果次试验中某事件发生的概率是P，那么,n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的,概率为 对于此式可以这,样理解：由于次试验中事件A要么发生，要么,不发生，所以在n次独立重复试验中A恰好发生k,次，那么在另外nk次中A没有发生，即发生，,由P(A)P，P()1P，所以上面的公式,恰为展开式中的第k1项，可见排列,组合，二项式定理及概率间存在着密切的联系,3甲，乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制，,，乙获胜的,假设每局比赛中甲获胜的概率是,概率是 ，求比赛以甲三胜一负而结束的概率,解析：,甲三胜一负即共进行四局比赛，前三局,甲二胜一负，第四局甲胜，所求概率为,题型四综合应用,【例4】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中,有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯,(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，,求X的分布列；,(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率,的事件是相互独立的，并且概率都是 ,分析,(1)可看作次独立重复试验，X的取值为,0，1，2，3，4，5，6；,(2)可通过求对立事件的概率解决,解(1)将通过每个交通通岗看作一次试验，那么,故X的分布列为,X,0,1,2,3,4,5,6,P,(2) 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为,学后反思 (1)解决概率问题要注意的“三个步骤：,确定事件的性质。古典概型、互斥事件、,独立事件、独立重复试验把所给问题归,结为四类事件中的某一种；,判断事件的运算。和事件、积事件,即是至少有一个发生，还是同时发生，分,别运用相加或相乘公式；,运用公式古典概型：,互斥事件：P(AB)P(A)P(B),条件概率： 独立事件：P(AB)P(A) P(B),n次独立重复试验：,(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,是否为n次独立重复试验；随机变量是否为在,这n次独立重复试验中某事件发生的次数,42021新乡模拟在某次世界杯上，巴西队遇,到每个对手，战胜对手的概率为，打平,对手的概率为，输的概率为，且获胜一场得分，打平一场得分，输一场得分，小组赛中每支球队需打三场比赛，获得分以上含分即可小组出线,(1)求巴西队小组赛结束后得分的概率；,(2)求小组赛后巴西队得分的分布列及巴西队小,组出线的概率,解析：(1) 巴西队小组赛结束后得分，即为一胜两平，,其概率是,(2)设为小组赛后巴西队的得分，那么的可能取值为,0,1,2,3,4,5,6,7,9.,故小组赛后巴西队得分的分布列为,0,1,2,3,4,5,6,7,9,P,小组赛后巴西队小组出线的概率为,2XB(5，0.1)，那么P(X2),A0.0729B0.00856C0.91845D0.99144,解析,：P(X2)P(X0)P(X1)P(X2),0.99144,答案：D,9在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，,现从中不放回地取两次，每次任取1件，试求：,(1)第一次取到不合格品的概率；,(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不,合格品的概率,解析： 设“第一次取到不合格产品为事件A，“第,二次取到不合格产品为事件B，,(1),(2)方法一：第一次取走1件不合格品后，还剩99,件产品，其中有4件不合格品。于是第二次再次取,到不合格品的概率为,方法二：根据条件概率的定义计算，需要先求出,事件AB的概率，,10甲，乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标,的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，求,(1)记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布；,(2)求乙至多击中目标2次的概率；,(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率,解析：,(1)X的可能取值为0，1，2，3，,且XB(3，0.5)，,X的分布列为,X,0,1,2,3,P,(2) 乙至多击中目标2次的概率为,(3)设“甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，“甲击,中目标2次且乙击中目标0次为事件 ，“甲击中,目标3次且乙击中目标1次为事件 ，A ，,且 ， 互斥，,P(A)P( )P( ),第三节 离散型随机变量的均值与方差,1离散型随机变量的均值与方差,假设离散型随机变量的的分布列为,x,1,x,2,x,i,x,n,p,1,p,2,p,i,p,n,(1)均值,为随机变量的,或,，,称,均值,数学期望,平均水平,它反映了离散型随机变量取值的,(2)方差,称,为随机变量的方差，,它刻画了随机变量与其均值EX的,，,其,为随机变量的标准差，记作X,算术平方根,平均偏离程度,2均值与方差的性质,(1),(2),a，b为实数,3两点分布与二项分布的均值，方差,(1),(2),假设服从两点分布，那么EX ，DX,假设XB(n，p)，那么EX，DX,p,np,P(1p),nP(1p),【例1】某公园有甲乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有两个,班的同学和个班的同学；乙景点有个班的,同学和个班的同学，后由于某种原因，甲乙景点,各有一个同学交换景点参观，求甲景点班同学数,的分布列及期望,题型一求随机变量的均值,分析,所有可能的取值为1，2，3 .,解设甲景点内班同学数为，,所有可能的取值为1，2，3 .那么,1,2,3,的数学期望为,故,的分布为,学后反思,求离散型随机变量的期望的步骤为：,(1)理解的意义，写出的所有可能取的全部值；,(2)计算出取每一个值时的概率；(3)写出的分布列；,(4)利用公式求出期望,1某次有奖竞猜活动设有，两组相互独立的问题，,答对问题可赢得奖金万元，答对问题可赢得,奖金万元规定答题顺序可任选，但只有一个问,题答对了才能解答下一个问题，否那么中止答题假,设你答对，问题的概率依次为 和 ，假设你按,先后的次序答题，写出你获得奖金的数额,的,分布列及期望值E,解析：按先后的次序答题，你获得奖金的,数额,的可能取值为0，3，9,0,3,9,的分布列为,的数学期望为,题型二求随机变量的方差,【例2】编号为1，2，3的三位学生随意入座编号,为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个,座位，设与座位编号相同的学生人数是，,(1)求随机变量的概率分布；,(2)求随机就量的数学期望与方差,分析(1)随机变量的意义是对号入座的学生个数，,所有取值为0，1，3假设有人对号入座，,那么第人肯定对号入座由排列与等可能,事件概率易求分布列；,(2)直接利用数学期望与方差公式求解,解(1)X的所有可能取值为0，1，3那么,，,X,3,(2),的数学期望为,的方差为,故,的分布列为,学后反思,求离散型随机变量的方差的步骤：,(1)写出的所有取值；,(2)计算,(3)写出的分布列并求出期望EX；,(4)由方差的定义求出DX,2设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，,共取3次，并且每次取出后不再放回，假设以X表示取,出次品的个数,(1)求X的分布列；,(2)求X的均值EX和方差DX,解析：(1)的可能取值为0，1，2,那么,，,X,(2),的数学期望为,的方差为,故,的分布列为,题型三期望与方差性质的应用,【例3】(2021海南宁夏)A、B两个投资工程的利润率,分别为随机变量X1和X2根据市场分析，X1和,X2的分布列分别为,X,1,5%,10%,P,0.8,0.2,X,2,2%,8%,12%,P,0.2,0.5,0.3,1在A、B两个工程上各投资100万元，Y1和Y2分别表,示投资工程A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；,2将x0x100万元投资A工程，100x万元投,资B工程，f(x)表示投资A工程所得利润的方差与投,资B工程所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，,并指出x为何值时，f(x)取到最小值。,注：D(aX + b) = a2DX,分析,(1)根据题意，利用公式,求出随机变量Y,1,，Y,2,的分布列，进面而求出,方差DY,1,，DY,2,(2)根据题意建立函数关系式，把把转化为二,次函数的最值问题,解(1)由题设可知Y,1,和Y,2,的分布列分别为,Y,1,5,10,P,0.8,0.2,Y,2,2,8,12,P,0.2,0.5,0.3,2,当,时，,为最小值,学后反思在计算离散型随机变量的均值和方差时，,首先要搞清其分布特征及分布列，然后,准确应用公式，特别是充分利用均值和,方差性质解题，能防止繁琐的运算过程，,提高运算速度和准确度,3假设随机事件在次试验中发生的概率为p,0p1，用随机变量表示在次试,验中发生的次数,(1)求方差DX的最大值；,(2)求的最大值,解析：(1) 随机变量的所有可能取值为0，1依题意，,当,时，DX取得最大值,(2),0p1，,当且仅当，即,时，取等号，,故当,时，,取得最大值,题型四期望与方差综合应用,【例4】(2021广东) 随机抽取某厂的某种产品200件，,经质检，其中有一等品126件、二等品50件、,三等品20件、次品4件生产1件一、二、,三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，,而1件次品亏损2万元设1件产品的利润单,位：万元为,1求的分布列；,2求1件产品的平均利润即的数学期望；,3经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次,品率降为1%，一等品率提高为70%，如果,此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万,元，那么三等品率最多是多少？,分析,求的分布列时，要先求取各值时的概率,解(1) 的所有可能取值有6，2，1，-2，那么,故,的分布列为：,6,2,1,-2,P,0.63,0.25,0.1,0.02,2,3设技术革新后的三等品率为x，那么此时1件产品的,平均利润为,依题意，即，,解得，,所以三等品率最多为3%,学后反思此题主要考查学生运用知识，迁移知识,的能力解决该类实际问题的关键是将,实际问题化为数学问题，利用已学的知,识进行处理，这也是今后高考的一大热点,4某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发,生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损,失现有甲乙两种相互独立的预防措施可供采用，,单独采用甲，乙预防措施所需的费用分别为45万,元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件,不发生的概率为0.9和0.85假设预防方案允许甲，,乙两种预防措施单独使用，联合使用或不采用，,请确定哪种预防方案使总费用最少,总费用采取预防措施的费用发生突发事件造,成损失的期望值,解析：(1)不采取预防措施时，总费用即损失的期望为,(2)单独采用预防措施甲，发生突发事件的概率,为10.90.1，损失的期望值,(3) 单独采用预防措施乙，发生突发事件的概率,为10.850.15，损失的期望值为,(4) 假设联合采用预防措施甲，乙，发生突发事件的,概率为10.9(10.85)0.015，损失的期,望值为 万元，总费用为45,30681万元；,故联合采用甲，乙两种预防措施，总费用最少,万元，总费用为454085万元；,万元，总费用为306090万元；,6随机变量,的分布列如下：,其中,a,，b，c成等差数列，,，那么D,1,0,1,a,b,c,解析：由得,答案：,假设E,92021天津模拟某箱中有红球和白球假设干，,有放回地抽取两次球，每次随机抽取个,球，假设事件：“取出的两个球中至多有,个是白球的概率是P(A)0.91,(1)求从该箱中任取个球是白球的概率；,(2)假设该箱中共有100个球，从中任意抽取,个球，表示取出的个球中红球的个数，,求的分布列和数学期望,解析：(1)记表示事件“取出的两个球中无白球，,表示事件“取出的两个球中恰好有个,是白球，那么，互斥，且，,故PApBCPBPC,(2) 的可能取值为0，1，2，假设该箱中共,有100个球，那么白球有30个，红球有70个，,解得p0.3,的数学期望为,故,的分布列为,102021四川设进入某商场的每一位顾客购置甲种,商品的概率为0.5，购置乙种商品的概率为0.6，且购,买甲种商品与购置乙种商品相互独立，各顾客之间购,买商品也是相互独立的,1求进入商场的1位顾客购置甲、乙两种商品中的,一种的概率；,2求进入商场的1位顾客至少购置甲、乙两种商品,中的一种的概率；,3记表示进入商场的3位顾客中至少购置甲、乙,两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望,解析：1,2,3可取0，1，2，3,的分布列为,0,1,2,3,P,0.008,0.096,0.384,0.512,第四节 正态分布,1正态曲线的定义,其中和(0)为参数的图象为正态分布,密度曲线，简称正态曲线,，x(，),2正态分布,如果对于任何实数,a,b，随机变量X满足,P(aXb) ，那么称X的分布是正态分布,3正态曲线的性质,正态曲线,，xR有以下性质：,(1)曲线位于x轴,与x轴不相交；,(2)曲线是单峰的，它关于直线,对称；,上方,x,(3)曲线在 处到达峰值 ；,x,(4)曲线与x轴之间的面积为 ；,(5)当一定时，曲线随着 的变化而沿x轴平移；,(6)当一定时，曲线的形状由确定， ，,曲线越“瘦高，表示总体的分布越集中；, ，曲线越“矮胖，表示总体的分布越分散,1,越小,越大,4正态总体在三个特殊区间内取值的概率,(1)P(X),；,(2) P(2X2),；,(3) P(3X3),0.6826,0.9544,0.9974,53原那么,(1) 3原那么的含义,在实际应用中，通常认为服从正态分布N(，2),的随机变量X只取 之间的值，,并简称之为3原那么,3，3,(2)正态总体在3，3外取值的概率,正态总体几乎总取值于区间,之,内，而在此区间外取值的概率只有,，通常认为,这种情况在一次试验中几乎不可能发生,3，3,0.0026,题型一正态曲线,【例1】假设一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，,且该函数的最大值为 ,(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；,(2)求正态变量在(4，4的概率,分析要确定一个正态分布的概率密度的解析式，,关键是求解析式中的两个参数，的值，,其中，决定曲线的对称轴的位置，那么,与曲线形状和最大值有关,解 (1)依题意，图象关于y轴对称，,故0，,由 得，4，,故该正态分布的概率密度函数的解析式为,(2) P(4X4)P(X)0.6826,学后反思,(1)解决此类问题的关键是正确理解函数解,析式与正态曲线的关系，掌握函数解析,式中参数的取值变化对曲线的影响,(2)正态分布完全由参数和确定，其中,是随机变量取值的期望，可用样本均值去,估计，是随机变量取值的标准差，可以,用样本标准差去估计,1(2021安徽)设两个正态分布,和,的密度函数图像如下图，那么有 ,A,B,C D.,解析：正态分布函数的图象关于x对称， D,其大小表示变量的集中程度，越大，数据分布,越分散，曲线越“矮胖；值越小，数据分布越集中，,曲线越“瘦高，,答案：A,题型二正态分布中的概率计算,【例2】设XN(4，1)，求P(5x6),分析,确定，的值，由正态曲线的对称,性及P(X)，,P(2X2)的概率计算,解由得，4，1，,P(3X5)P(X)0.6826，,P(2X6)P(2X2)0.9544，,P(2X3) P(5X6),0.95440.68260.2718，,由对称性得，,P(2X3) P(5X6),0.1359,学后反思求服从正态分布的随机变量在某个取值区,间的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求总是,转化为概率的三个区间上，从而解决实际问题,解析： 5，1，,P(2X2)0.9544，,P(3X7)0.9544，,P(X7)P(X3)10.95440.0456，,又P(X7)P(X3)，,P(X7)0.0228,2设XN(5，1)，求P(X7),【例3】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布,N(4，)，问在一次正常的试验中，取1000个,零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零,件大约有多少个？,题型三正态分布的应用,分析,求出X在区间(3，5)外取值的概率，便可估计,不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件个数,解, 4，,P(X3) P(X5)1P(3X5),P(3X3),0.99740.0026,0.003，10000.0033，,故不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有3个,学后反思此类问题着重考查3原那么，准确,记忆P(X)0.6826；,P(2X2)0.9544；,P(3X3)0.9974,是解决此类问题的关键,3商场经营的某种包装的大米质量服从正态,分布N(10，0.12)(单位：kg)，现有一袋这,种大米，质量在9.8kg10.2kg的概率是多少？,解析：设该种包装的大米质量为X，,那么XN(10， )，10，0.1，,P(9.8X10.2)P(2X2),0.9544，,故这代大米质量在9.8kg10.2kg的概率是0.9544,【例4】(2021南京模拟)在某次大型考试中，某班同,学的成绩服从正态分布N(80， )，现该,班同学中成绩在80分85分的有17人，试计,算该班成绩在90分以上的同学有多少人？,分析,依题意，由80分85分的同学人数和所占百分,比求出该班同学总数，求95分以上同学的人数,解依题意，80，5，75，85，,成绩在75分85分的同学占全班同学的68.26%，,成绩在80分85分的同学占全班同学的34.13%，,设全班有x名同学，那么x34.13%17，故x50，,又270，290，,故成绩在(70，90内的同学占全班同学的95.44%，,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，,由502.28%1，故95分以上同学的人数为1人,学后反思,(1)在根据正态分布解决实际问题时一般,以标准下态分布来研究,(2)根据题意，把实际问题准确合理地与,正态分布的性质联系起来，利用正态,分布的性质解决实际问题，因此实际,问题与正态分布的转化是解决此类问,题的关键,解析,(1),20，,2，,18，,22，,零件尺寸在18mm22mm间的百分比为68.26%，,(2)-314，+3,26，,-216，+2,24,故零件尺寸在14mm26mm间的百分比为99.74%，,零件尺寸在16mm24mm间的百分比为95.44%,尺寸在24mm26mm间的百分比为,即不合格的零件大约有50002.15%,108个,4有一精密零件，其尺寸X单位：mm服从正态分布，,即XN(20，4)假设这批零件共有5000个试求：,(1)这批零件中尺寸在18mm22mm间的零件所占的百分比；,(2)假设规定尺寸在24mm26mm间的零件不合格，那么这,批零件中不合格的零件大约有多少个？,4正态总体N(0，,)中，数值落在(，2),(2，)内的概率是,A0.46B0.997C0.03D0.0026,解析：,依题意，,0， ，,P(2X2)P(3X3)0.9974,P(X2)P(X2)1P(2X2),10.99740.0026,答案：D,9生产工艺过程中，产品的尺寸误差XN(0，,)(单位：mm)，如果产品的尺寸与与规定的,尺寸偏差的绝对值不超过1.5mm为合格品，求,(1)X的密度函数；,(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率,解析,(1),由题意知，0，1.5，密度函数为,(2) 每件产品合格的概率为P(1.5X1.5),P(X)0.6826, 5件产品的合格率不小于80%的概率为,10(2021山东) 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，,每队3人，每人答复一个问题，答对者对本队赢,得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概,率均为2/3，乙队中3人答对的概率分别为2/3,2/3,1/2，且各人答复正确与否相互之间没有影响,用表示甲队的总得分,求随机变量的分布列和数学期望；,用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3,这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总,得分这一事件，求P(AB),解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，,所以的分布列为,0,1,2,3,P,的数学期望为,解法二：根据题设可知，,因此,的分布列为,因为 ，所以,k0,1,2,3,由互斥事件的概率公式得,解法一：用C表示“甲得2分乙得1分这一事件，,用D表示“甲得3分乙得0分这一事件，所以ABCD，,且C,D互斥，又,