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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高频考点,4.2,数列大题,高频考点 4.2 数列大题,高频考点,-2-,数学思想方,年份,卷别,设问特点,涉及知识点,函数模型,法,数列通项及,全国,证明,a,n+,2,-a,n,=,;,存,前,n,项和、,a,n,a,n+,1,=f,(,方程思想、,在性问题,等差数列的,S,n,),等价变换,通项,2014,证明数列为等比,等比数列的,全国,等价变换、,数列,;,证明数列不,通项及前,n,递推数列,放缩法,等式,项和,已知,a,n,与,S,n,的关,递推消元、,全国,系求数列通项,;,已,数列的通项,S,n,=f,(,a,n,),型,方程思想、,知数列,b,n,的通项,及前,n,项和,裂项求和,2015,求前,n,项和,全国,没有考查,高频考点 -2- 数学思想方年份 卷别 设问特点 涉及知识点,高频考点,-3-,年份,卷别,设问特点,全国,没有考查,涉及知识点,数学思想方,函数模型,法,等差数列的通,求数列某三项,;,等差数,全国,项、分段数列、,求数列前,1 000,列、分段,等价转换,2016,数列的前,n,项,项和,数列,和,证明数列是等,递推数列、等,全国,递推方法、,比数列,并求其,比数列的定义,等比数列,方程思想,通项,;,求参数,及通项,2017,没有考查,高频考点 -3- 年份 卷别 设问特点 全国没有考查 涉,高频考点,-4-,年份,卷别,设问特点,全国,没有考查,数学思想方,涉及知识点,函数模型,法,已知等差数列的,等差数列的,全国,关系求通项,求前,n,方程思想,通项、前,n,等差数列,项和及前,n,项和的,函数思想,2018,项和公式,最小值,已知等比数列的,等比数列的,方程思想,全国,关系式求其通项,;,通项、前,n,等比数列,分类讨论,已知前,n,项和求项,项和公式,思想,数,n,高频考点 -4- 年份 卷别 设问特点 全国没有考查 数,高频考点,-5-,1,.,由递推关系式求数列的通项公式,(1),形如,a,n+,1,=a,n,+f,(,n,),利用累加法求通项,.,(2),形如,a,n+,1,=a,n,f,(,n,),利用累乘法求通项,.,?,(3),形如,a,n+,1,=pa,n,+q,等式两边同时加,转化为等比数列求通项,.,?,?,1,高频考点 -5- 1.由递推关系式求数列的通项公式 (1)形,高频考点,-6-,2,.,数列求和的常用方法,(1),公式法,:,利用等差数列、等比数列的求和公式,.,(2),错位相减法,:,适合求数列,a,n,b,n,的前,n,项和,S,n,其中,a,n,b,n,一,个是等差数列,另一个是等比数列,.,(3),裂项相消法,:,即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累,加抵消中间若干项的方法,.,(4),拆项分组法,:,先把数列的每一项拆成两项,(,或多项,),再重新组合,成两个,(,或多个,),简单的数列,最后分别求和,.,(5),并项求和法,:,把数列的两项,(,或多项,),组合在一起,重新构成一个,数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和,.,高频考点 -6- 2.数列求和的常用方法 (1)公式法:利用,高频考点,4.2.1,等差、等比数列的综合问题,高频考点 4.2.1 等差、等比数列的综合问题,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-8-,等差,(,比,),数列的判断与证明,3,2,7,*,例,1,已知数列,a,其前,n,项和为,S,=,n,+,n,(,n,N,),.,n,n,2,2,(1),求,a,1,a,2,;,(2),求数列,a,n,的通项公式,并证明数列,a,n,是等差数列,;,(3),如果数列,b,n,满足,a,n,=,log,2,b,n,试证明数列,b,n,是等比数列,并求,其前,n,项和,T,n,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -8- 等,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-9-,解,:,(1),a,1,=S,1,=,5,a,1,+a,2,=S,2,=,(2),当,n,2,时,a,n,=S,n,-S,n-,1,=,2,=,2,(2,n-,1),+,2,=,3,n+,2,.,3,7,3,3,2,7,2,2,+,2,2,=,13,解得,a,2,=,8,.,2,7,2,2,n,-,(,n-,1),+,n-,(,n-,1),又,a,1,=,5,满足,a,n,=,3,n+,2,所以,a,n,=,3,n+,2,.,因为,a,n+,1,-a,n,=,3(,n+,1),+,2,-,(3,n+,2),=,3,所以数列,a,n,是以,5,为首项,3,为公差的等差数列,.,(3),由已知得,b,n,=,2,?,?,?,?,+1,?,?,=,2,?,?,+1,2,?,?,?,1,=,2,?,?,+1,-,?,?,=,2,3,=,8,=,32,7,又,b,1,=,2,=,32,所以数列,b,n,是以,32,为首项,8,为公比的等比数列,.,所以,T,n,=,32,(,1,-,8,?,),1,-,8,(8,n,-,1),.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -9- 解,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-10-,解题心得,1,.,判断和证明数列是等差,(,比,),数列的三种方法,.,?,?,+1,或,为同一常,(1),定义法,:,对于,n,1,的任意自然数,验证,a,n+,1,-a,n,?,?,数,.,(2),通项公式法,:,若,a,n,=kn+b,(,n,N,*,),则,a,n,为等差数列,;,若,a,n,=pq,kn+b,(,n,N,*,),则,a,n,为等比数列,.,(3),中项公式法,:,若,2,a,n,=a,n-,1,+a,n+,1,(,n,N,*,n,2),则,a,n,为等差数列,;,2,?,?,=a,n-,1,若,a,n+,1,(,n,N,*,n,2),则,a,n,为等比数列,.,2,.,对已知数列,a,n,与,S,n,的关系,证明,a,n,为等差或等比数列的问题,解题思路是,:,由,a,n,与,S,n,的关系递推出,n+,1,时的关系式,两个关系式相,减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -10-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-11-,对点训练,1,设,S,n,为等比数列,a,n,的前,n,项和,已知,S,2,=,2,S,3,=-,6,.,(1),求,a,n,的通项公式,;,(2),求,S,n,并判断,S,n+,1,S,n,S,n+,2,是否成等差数列,.,?,1,(,1,+,?,),=,2,解,:,(1),设,a,n,的公比为,q.,由题设可得,解得,2,?,1,(,1,+,?,+,?,),=,-,6,.,q=-,2,a,1,=-,2,.,故,a,n,的通项公式为,a,n,=,(,-,2),n,.,(2),由,(1),可得,?,+1,?,1,(,1,-,?,?,),2,2,n,S,n,=,=-,3,+,(,-,1),3,.,由于,1,-,?,?,+1,2,2,-,+,(,-,1),n,3,3,?,+3,?,+2,4,2,-,2,n,S,n+,2,+S,n+,1,=-,+,(,-,1),=,2,3,3,=,2,S,n,故,S,n+,1,S,n,S,n+,2,成等差数列,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -11-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-12-,等差数列的通项及求和,例,2,(2018,北京卷,文,15),设,a,n,是等差数列,且,a,1,=,ln 2,a,2,+a,3,=,5ln 2,.,(1),求,a,n,的通项公式,;,(2),求,e,?,1,+,e,?,2,+,+,e,?,?,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -12-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-13-,解,:,(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,a,2,+a,3,=,5ln 2,.,2,a,1,+,3,d=,5ln 2,又,a,1,=,ln 2,d=,ln 2,.,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d=n,ln 2,.,(2),由,(1),知,a,n,=n,ln 2,.,e,=,e,=,e,=,2,n,e,?,?,是以,2,为首项,2,为公比的等比数列,.,e,?,1,+,e,?,2,+,+,e,?,?,=,2,+,2,2,+,+,2,n,=,2,n+,1,-,2,.,e,?,1,+,e,?,2,+,+,e,?,?,=,2,n+,1,-,2,.,n,ln 2,?,?,ln,2,?,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -13-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-14-,解题心得,已知等差数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前,n,项和时,只需利用等差数列的通项公式及求和公式得到几个方程,求解即可,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -14-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-15-,对点训练,2,(2018,全国卷,2,理,17),记,S,n,为等差数列,a,n,的前,n,项和,已知,a,1,=-,7,S,3,=-,15,.,(1),求,a,n,的通项公式,;,(2),求,S,n,并求,S,n,的最小值,.,解,:,(1),设,a,n,的公差为,d,由题意得,3,a,1,+,3,d=-,15,.,由,a,1,=-,7,得,d=,2,.,所以,a,n,的通项公式为,a,n,=,2,n-,9,.,(2),由,(1),得,S,n,=n,2,-,8,n=,(,n-,4),2,-,16,.,所以当,n=,4,时,S,n,取得最小值,最小,值为,-,16,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -15-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-16-,等比数列的通项及求和,例,3,(2018,全国卷,3,理,17),等比数列,a,n,中,a,1,=,1,a,5,=,4,a,3,.,(1),求,a,n,的通项公式,;,(2),记,S,n,为,a,n,的前,n,项和,若,S,m,=,63,求,m.,解,:,(1),设,a,n,的公比为,q,由题设得,a,n,=q,n-,1,.,由已知得,q,4,=,4,q,2,解得,q=,0(,舍去,),q=-,2,或,q=,2,.,故,a,n,=,(,-,2),n-,1,或,a,n,=,2,n-,1,.,?,1,-(-,2,),(2),若,a,n,=,(,-,2),n-,1,则,.,S,n,=,由,S,m,=,63,得,(,-,2),m,=-,188,此方程没有,3,正整数解,.,若,a,n,=,2,n-,1,则,S,n,=,2,n,-,1,.,由,S,m,=,63,得,2,m,=,64,解得,m=,6,.,综,上,m=,6,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -16-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-17-,解题心得,已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前,n,项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程,求解即可,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -17-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-18-,对点训练,3,(2018,北京朝阳期末,理,15),已知由实数构成的等比数,列,a,n,满足,a,1,=,2,a,1,+a,3,+a,5,=,42,.,(1),求数列,a,n,的通项公式,;,(2),求,a,2,+a,4,+a,6,+,+a,2,n,.,?,1,=,2,解,:,(1),由,可得,2(1,+q,2,+q,4,),=,42,.,由数列,a,n,各项为,?,1,+,?,3,+,?,5,=,42,实数,解得,q,2,=,4,q=,2,.,所以数列,a,n,的通项公式为,a,n,=,2,n,或,a,n,=,(,-,1),n-,1,2,n,.,(2),当,当,?,4,(,1,-,4,),n,a,n,=,2,时,a,2,+a,4,+a,6,+,+a,2,n,=,1,-,4,=,4,n,(4,-,1);,3,?,(-,4,)(,1,-,4,),n-,1,n,a,n,=,(,-,1),2,时,a,2,+a,4,+a,6,+,+a,2,n,=,1,-,4,=,4,(1,-,4,n,),.,3,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -18-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-19-,等差、等比数列的综合问题,例,4,(2018,北京海淀模拟,理,15),已知等差数列,a,n,的前,n,项和,S,n,且,a,2,=,5,S,3,=a,7,.,(1),数列,a,n,的通项公式,;,(2),若,b,n,=,2,?,?,求数列,a,n,+b,n,前,n,项和,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -19-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-20-,解,:,(1),设等差数列,a,n,的首项为,a,1,公差为,d.,?,1,+,?,=,5,?,1,=,3,解得,3,?,1,+,3,?,=,?,1,+,6,?,?,=,2,.,由,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d,得,a,n,=,2,n+,1,.,因此,通项公式为,a,n,=,2,n+,1,.,(2),由,(1),可知,:,a,n,=,2,n+,1,则,n+,1,?,?,+1,2,b,n,=,2,?,?,=,2,2,(,?,+1,),+1,2,2,?,+1,=,4,因为,b,1,=,2,3,=,8,所以,b,n,是首项为,8,公比为,q=,4,的等比数列,.,记,a,n,+b,n,的前,n,项和为,T,n,则,T,n,=,(,a,1,+b,1,),+,(,a,2,+b,2,),+,+,(,a,n,+b,n,),=,(,a,1,+a,2,+,+a,n,),+,(,b,1,+b,2,+,+b,n,),=,?,?,(,?,1,+,?,?,),?,1,(,1,-,?,?,),8,(,4,-,1,),2,+,=n,+,2,n+,.,2,3,1,-,?,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -20-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-21-,解题心得,对于等差、等比数列的综合问题,解决的思路主要是方,程的思想,即运用等差、等比数列的通项公式和前,n,项和公式将已,知条件转化成方程或方程组,求出首项、公差、公比等基本量,再,由基本量求出题目要求的量,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -21-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-22-,对点训练,4,已知等差数列,a,n,的公差不为零,a,1,=,25,且,a,1,a,11,a,13,成,等比数列,.,(1),求,a,n,的通项公式,;,(2),求,a,1,+a,4,+a,7,+,+,?,3,?,-,.,2,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -22-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-23-,2,1,a,13,解,:,(1),设,a,n,的公差为,d.,由题意,得,?,11,=a,即,(,a,1,+,10,d,),2,=a,1,(,a,1,+,12,d,),.,于是,d,(2,a,1,+,25,d,),=,0,.,又,a,1,=,25,所以,d=,0(,舍去,),或,d=-,2,.,故,a,n,=-,2,n+,27,.,(2),令,S,n,=a,1,+a,4,+a,7,+,+a,3,n-,2,.,由,(1),知,a,3,n-,2,=-,6,n+,31,故,a,3,n-,2,是首项为,25,公差为,-,6,的等差数列,.,从而,?,?,S,n,=,(,a,1,+a,3,n-,2,),=,(,-,6,n+,56),=-,3,n,2,+,28,n.,2,2,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -23-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-24-,可转化为等差、等比数列的问题,例,5,(2018,山东潍坊三模,理,17),已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,且,1,a,n,S,n,成等差数列,.,(1),求数列,a,n,的通项公式,;,(2),若数列,b,n,满足,a,n,b,n,=,1,+,2,na,n,求数列,b,n,的前,n,项和,T,n,.,解,:,(1),由已知,1,a,n,S,n,成等差数列,得,2,a,n,=,1,+S,n,当,n=,1,时,2,a,1,=,1,+S,1,=,1,+a,1,a,1,=,1,.,当,n,2,时,2,a,n-,1,=,1,+S,n-,1,-,得,2,a,n,-,2,a,n-,1,=a,n,?,?,=,2,.,数列,a,n,是以,1,为首项,2,为公比的等比数列,.,a,n,=a,1,q,n-,1,=,1,2,n-,1,=,2,n-,1,.,?,?,-,1,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -24-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-25-,(2),由,a,n,b,n,=,1,+,2,na,n,得,1,b,n,=,?,+,2,n,?,1,1,+,+,+,?,2,?,?,1,1,1,1,T,n,=b,1,+b,2,+,+b,n,=,?,+,2,+,?,+,4,+,+,?,+,2,n=,?,?,1,2,1,1,1,-,?,+,(2,+,4,+,+,2,n,),=,2,1,1,-,2,(,2+2,?,),?,1,2,+,2,=n,+n+,2,-,?,-,1,.,2,解题心得,无论是求数列的通项还是求数列的前,n,项和,通过变形、,整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数,列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题,.,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -25-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-26-,对点训练,5,(2018,河北唐山三模,理,17),已知数列,a,n,是等差数,列,b,n,是等比数列,a,1,=,1,b,1,=,2,a,2,+b,2,=,7,a,3,+b,3,=,13,.,(1),求,a,n,和,b,n,的通项公式,;,?,?,?,为奇数,(2),若,c,n,=,求数列,c,n,的前,2,n,项和,S,2,n,.,?,?,?,为偶数,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -26-,高频考点,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-27-,解,:,(1),设数列,a,n,的公差为,d,数列,b,n,的公比为,q,1,+,?,+,2,?,=,7,依题意有,2,1,+,2,?,+,2,?,=,13,?,=,2,解得,故,a,n,=,2,n-,1,b,n,=,2,n,.,?,=,2,.,(2),由已知,c,2,n-,1,=a,2,n-,1,=,4,n-,3,c,2,n,=b,2,n,=,4,n,所以数列,c,n,的前,2,n,项和为,?,(,1+4,?,-,3,),S,2,n,=,(,a,1,+a,3,+,+a,2,n-,1,),+,(,b,2,+b,4,+,+b,2,n,),=,+,2,4,(,1,-,4,?,),4,n,2,=,2,n,-n+,(4,-,1),.,3,1,-,4,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 -27-,
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