固体物理学例题课件

,补充例题,03,试做出简单立方晶格、面心立方晶格和,体心立方晶格的维格纳,塞茨原胞,(Wingner-Seitz),WS,原胞,由某一个格点为中心,做出最近各点和次近,各点连线的中垂面,这些包围的空间为,维格纳,塞茨原胞,补充例题 03 试做出简单立方晶格、面心立方晶格和,补充例题,01,做出石墨烯,Graphene,的原胞,Graphene (,石墨烯,),的两种原胞取法，,每个原胞有,2,个,碳原子,Graphene,补充例题 01 做出石墨烯Graphene 的原胞Gr,补充例题,02,做出石墨,Graphite,的原胞,石墨原胞取法，,每层,2,个原子，,取两层,原胞有,4,个,碳原子,Graphite,A,层,B,层,补充例题 02 做出石墨 Graphite的原胞 石墨,简单立方的,WS,原胞,原点和,6,个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体,简单立方的WS原胞原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成,面心立方晶格,的,WS,原胞,为原点和,12,个近邻格点连线的垂直平分面围成的,正十二面体,面心立方晶格的WS原胞 为原点和12个近邻格点连线的垂直,体心立方,的,WS,原胞,为原点和,8,个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的,6,个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的,14,面体,（截角八面体）,其中八个面是正六边形，六个面是正四边形,体心立方的WS原胞为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围,习题,1.2,习题,1.1,习题,1.3,晶格常数为,a,的简立方晶格，与正格矢,R,正交的晶面族指数是什么？,晶面间距,d,是？,习题,1.4,绘画石墨烯的普通原胞 和,WS,原胞,习题1.2习题1.1习题1.3晶格常数为 a 的简立方晶格，,a,1,a,2,a,3,- a,3,- a,2,- a,1,四指数,晶向指数,，取与坐标轴的,垂直截距,，而非平行四边形截距。,1,0,-1,0,a,1,a,2,- a,2,- a,1,1, 1/2, 0,2, 1, 0,三指数,晶向指数,取与坐标轴的,平行四边形,截距,(,坐标,),。,（为取指数方便，例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）,六角晶格特殊的晶面指数表示,a1a2a3- a3- a2- a1四指数晶向指数，取与坐标,习题,1.7,证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。,习题,1.8,证明：倒格子矢量 垂直于密勒指数为,(,h,1,h,2,h,3,),的晶面系。,习题,1.6,(,试用倒格矢关系证明,),习题,1.5,计算二维六角的倒格子基矢，画出其,1BZ,习题1.7 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立,习题二,提示,1),：,提示,2),：,习题二提示1)：提示2)：,双原子链：,M=m:,得到等质量一维双原子链：,双原子链：M=m:得到等质量一维双原子链：,等质量一维双原子链：,一维单原子链：,等价性？,等质量一维双原子链相当于取单原子链,原胞两倍为晶胞,，对应,1BZ,大小减半，单原子链超出部分的色散曲线,折叠入,1BZ,成为光学支，保持,1BZ,总格波模式为,“,N=,原子数”,-,这也是为什么使用原胞概念,.,等质量一维双原子链： 一维单原子链： 等价性？等质量一维,练习,3.1,解释概念,格波,色散关系,声子,练习 3.1解释概念,几种简单情况下振动模式密度的表示,例,1,：计算,一维单原子链,的振动模式密度。,最大频率,振动模式密度定义：,一维情况下,每个波矢占据宽度,单位长度里的波矢密度：,dq,长度里的波矢数：,几种简单情况下振动模式密度的表示 例1：计算一维单原子,考虑到一个频率可以有 两个值,振动模式密度,考虑到一个频率可以有 两个值振动模式密度,一维单原子链,的振动模式密度,一维单原子链的振动模式密度,类似的， 一维双原子链,的振动模式密度,类似的， 一维双原子链的振动模式密度,几种简单情况下振动模式密度的表示,例,2,：计算,三维长声学波在弹性波近似下,的振动模式密度。,其中弹性波色散关系，,由于波速,(,色散关系,),与传播方向,q,无关，故在,q,空间等频面为球面，球壳体积：,弹性波态密度呈现抛物线形。,10/36,直接由态密度定义，,dn,=,密度*体积,1.,几种简单情况下振动模式密度的表示 例2：计算三维长声学,由于波速,(,色散关系,),与传播方向,q,无关，故在,q,空间等频面为球面，,ds,积分即该球面面积：,于是：,方法,2.,直接利用公式：,由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面,固体物理教程,-,王矜奉 习题,3.10,习题,3.1,固体物理教程-王矜奉 习题 3.10习题3.1,色散关系没有方向性,(q,x,q,y,无区分,),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：,例,3,：,N,个相同原子组成二维简单晶格，面积为,S,，,用徳拜模型计算比热,证明其低温下与,T,2,正比。,证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为,w,=,vq,。,q,x,q,y,q,二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，速度分别为,v,L, v,T,。,令,色散关系没有方向性(qx,qy 无区分), 等频率面在二维情,先确定德拜频率,w,D,：,热容表示为，,二维格波总模式数,2N,把态密度和德拜频率,w,D,带入热容公式：,做变量代换,先确定德拜频率 wD：热容表示为， 二维格波总模式数 2N,热容表示为，,高温时,，,对积分内只保留,x,的一阶小量,与经典热容理论一致,.,低温时,，,热容与温度平方成正比,.,热容表示为， 高温时 ， 对积分内只保留x的一阶小量,固体物理教程,-,王矜奉 习题,3.10,习题,3.2,其中,ds,为该支格波的等频面，由于题中色散关系没有方向性，故为球面：,推广可以证明：如果色散关系,提示：,二维,三维,一维,固体物理教程-王矜奉 习题 3.10习题3.2 其中ds为,习题,3. 3,对一维简单晶格,(,一维单原子链,),，按照徳拜模型，求晶格热容；,并证明高温热容为常数,Nk,B,低温热容正比于,T,。,固体物理教程,-,王矜奉 习题,3.13,注：徳拜模型即使用弹性波近似，色散关系为,w,=,vq,。,习题3. 3 对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜,色散关系没有方向性,(q,x,q,y,无区分,),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：,例,3,：,N,个相同原子组成二维简单晶格，面积为,S,，,用徳拜模型计算比热,证明其低温下与,T,2,正比。,证,2,：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为,w,=,vq,。,q,x,q,y,q,色散关系没有方向性(qx,qy 无区分), 等频率面在二维情,二维简单晶格共有,2,支格波 ：,二维简单晶格共有2支格波 ：,例,1,：,分别以定义和态密度计算自由电子的,0K,费米能。,方法,1,电子浓度, 例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。,方法,2 E,到,E+dE,间电子数,总电子数,方法2 E 到 E+dE 间电子数 总电子数,习题：证明,二维自由电子的态密度,(,除以单位面积,),为常数,;,一维自由电子的态密度,(,除以单位长度,) E,-1/2,；,（并求出各自费米面处态密度）,习题：证明,自由电子模型 ，,温度,T,下电子满足,:,TEST,test,例,1,：,分别以定义和态密度计算自由电子的,0K,费米能。,TEST,自由电子模型 ，温度 T 下电子满足:TEST 例1：分别,例题,1,计算一维单原子链的紧束缚能带,( L =,na,),对于中心原子，只考虑左右近邻，,R,s,=,a,利用,具有相同的值,例题1 计算一维单原子链的紧束缚能带 ( L = na,k,=0,k=0,例题,2,计算简单立方晶格中由原子,s,态形成的能带,s,态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同,对于不同方向的近邻，有相同的值,具有相同的值,s,态波函数为偶宇称,能量本征值,例题2 计算简单立方晶格中由原子 s 态形成的能带,