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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 幂级数展开,3.2 幂级数,3.3 泰勒级数展开,3.4 解析沿拓,3.1 复数项级数,3.5 洛朗级数展开,3.6 孤立奇点的分类,*,第三章 幂级数展开3.2 幂级数3.3 泰勒级数展开3.4,1,称级数,复数项级数和,前,n,项和,若,有限,收敛于,F,这时,也收敛,3.1 复数项级数,1、 复数项级数,*,称级数复数项级数和前n 项和若有限收敛于F这时也收敛3.1,2,科西收敛判据：,(级数收敛必要条件),对于任意,0,有N，使得nN时,p,为任意正整数,绝对收敛：,收敛,2、复变函数项级数,各项都是,z,的函数,对于,B,（或,l,上）任意z,给定,0,总有N(z)，使得nN(z) 时,称为级数在B上一致收敛,此时，若每项连续，则和连续,*,科西收敛判据：对于任意 0,有N，使得nN时p 为任意,3,令：,1、比值判别法,3.2 幂级数,讨论幂级数,为以,z,0,为中心的幂级数,考虑,绝对收敛,发散,绝对收敛,*,令：1、比值判别法3.2 幂级数讨论幂级数为以z0 为中心的,4,2、根值判别法,发散,绝对收敛,发散,绝对收敛,发散,*,2、根值判别法发散绝对收敛发散绝对收敛发散*,5,3、,收敛圆与收敛半径,的,收敛半径,例：求幂级数,以z,0,为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称为,收敛圆。R为收敛半径,事实上：,解：,收敛圆：,以0为圆心半径为1,如,*,3、收敛圆与收敛半径的收敛半径例：求幂级数以z0为圆心半径为,6,的,收敛半径,例：求幂级数,公比为,解：,收敛圆：,以0为圆心半径为1,如,的,收敛半径,例：求幂级数,解：,*,的收敛半径例：求幂级数公比为解：收敛圆：以0为圆心半径为1如,7,定理：设,f(z),在以,z,0,为圆心的圆,C,R,内解析，则对圆内的任意z点，f(z)可展开为,其中：,3.3 泰勒级数展开,C,R1,为,圆,C,R,内包含z且与C,R,同心的圆,C,R1,C,R,*,定理：设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意,8,证：cauch公式,C,R,C,R1,*,证：cauch公式CRCR1*,9,而由cauch公式,*,而由cauch公式*,10,展开,例：在,z,0,=0邻域上把,公比为,解：,*,展开例：在z0=0邻域上把公比为解：*,11,展开,例：在,z,0,=0邻域上把,解：,和,*,展开例：在z0=0邻域上把解：和*,12,展开,例：在,z,0,=0邻域上把,解：,展开,例：在,z,0,=0邻域上把,*,展开例：在z0=0邻域上把解：展开例：在z0=0邻域上把*,13,展开,例：在,z,0,=1邻域上把,解：,*,展开例：在z0=1邻域上把解：*,14,*,*,15,3.4 解析沿拓,比较两个函数：,除,z=1,以外,设某个区域b 上的解析函数,f(z)，,找出另一函数,F(z),它在含有,b,的一个较大的区域,B,上解析，且在区域,b,上等于,f(z),和,两者在较小区域等同,b,B,称,F(z)为,f(z)的,解析沿拓,1、解析沿拓概念,*,3.4 解析沿拓比较两个函数：除 z=1 以外设某个区域b,16,设,f(z)， F(z),在某个区域B上解析，若在B的任一子区域b 中,f(z),F(z)，,则在整个区域B上必有,f(z),F(z)。,2、解析沿拓唯一性概念,*,设f(z)， F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一子区域,17,3.5 洛朗级数展开,考虑如下幂级数,正幂部分收敛半径为R,1,负幂部分，记,=1/( z-z,0,),级数,的收敛圆半径为,1/R,2,=,即在,z-z,0,=,R,2,圆外,收敛圆,*,3.5 洛朗级数展开考虑如下幂级数正幂部分收敛半径为R1负幂,18,在圆环 R,2,z-z,0,R,1,内绝对一致,收敛圆,定理：设,f(z),在圆环 R,2,z-z,0,R,1,内单值,解析，则对圆环内的任意z点，,f(z),可展开为,其中：,C为,圆环,内按逆时针方向饶内圆一周的任意闭合曲线,*,在圆环 R2z-z0 0,),可令 n=l+h,*,与的负幂部分z-h( h0), 可令 n=l+h *,35,令 -h=m, n=l,*,令 -h=m, n=l *,36,J,m,为m阶贝塞尔函数,*,Jm为m阶贝塞尔函数 *,37,3.6 孤立奇点的分类,f(z),在某点,z,0,不可导，而在z,0,的任意小邻域内处处可导，称,z,0,为,f(z),的,孤立奇点,f(z),正幂部分称为,解析部分,，负幂部分称为,主要部分,(z-z,0,),-1,的系数,a,-1,称为,f(z)在,奇点z,0,的,留数,若,称,z,0,为,f(z),的,可去奇点,*,3.6 孤立奇点的分类f(z)在某点z0 不可导，而在z0的,38,若,称,z,0,为,f(z),的,本性奇点,m为,z,0,的阶，一阶极点简称为,单极点,*,若称z0为f(z)的本性奇点m为z0的阶，一阶极点简称为单极,39,第四章 留数定理,4.2 利用留数定理计算实变函数定积分,4.1 留数定理,*,第四章 留数定理4.2 利用留数定理计算实变函数定积分4.,40,4.1 留数定理,若,l,所围区域解析，则,考虑积分,若,l,所围区域包围一个奇点,z,0,，展开,f(z)，,则,*,4.1 留数定理若l所围区域解析，则考虑积分若l所围区域包,41,由,(l,不包围,),(l,包围,),a,-1,称为,f(z)在,奇点z,0,的,留数,*,由(l不包围)(l包围)a-1称为f(z)在 奇点z0的,42,若,l,所围区域包围,n,个奇点,b,1,b,2,b,3,.，,b,n,则,称为留数定理,如何求a,-1,？,若,z,0,为,单极点,*,若l所围区域包围n个奇点b1 b2 b3 .， bn,43,若,*,若*,44,若,z,0,为f(z)的m阶,极点,m阶,极点,单,极点,留数定理,*,若z0为f(z)的m阶极点m阶极点单极点留数定理*,45,求,Resf(0),例：,解：,*,求 Resf(0)例：解：*,46,求,Resf(1),例：,解：,*,求 Resf(1)例：解：*,47,的极点，求,留数,例：确定函数,解：,*,的极点，求留数例：确定函数解：*,48,例：计算回路积分,解：,被积函数的奇点为,单位圆,z, = 1,内的奇点为,*,例：计算回路积分解：被积函数的奇点为单位圆 z = 1,49,*,*,50,4.2 利用留数定理计算实变函数定积分,(1)、无穷积分,若,f(z),在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点,b,k,(k=1,2,n),外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中，当,z, 无穷时，,z,f(z)一致趋于零，,则,o,-R,R,C,R,则,至少高于 两阶,*,4.2 利用留数定理计算实变函数定积分(1)、无穷积分若f(,51,证明：,o,-R,R,C,R,*,证明：o-RRCR*,52,例：计算积分,解：,上半平面奇点为,z,0,= i,*,例：计算积分解：上半平面奇点为z0 = i*,53,例：计算积分,解：,被积函数的奇点为,上半平面为n,阶极点,z,0,= i,n,为整数,*,例：计算积分解：被积函数的奇点为上半平面为n阶极点z0 =,54,*,*,55,(2)、三角函数有理积分积分,若R,(cos, sin,),为 cos, sin,的有理函数，且在0，2,上连续，,则,其中,表示,f(z),在单位圆内所有,奇点的留数和,*,(2)、三角函数有理积分积分若R(cos, sin)为,56,证明：,*,证明：*,57,例：计算积分,解：,令,有两个一,阶极点,(,a,1),z,1,在圆内,*,例：计算积分解：令有两个一阶极点(a,1),有两个一,阶极点,*,例：计算积分解：令(a1)有两个一阶极点*,59,为单,极点，在圆内,*,为单极点，在圆内*,60,例：计算积分,解：,令,(,a,1),有一个奇,点,z,=0,为2n+1阶极点,*,例：计算积分解：令(a1)有一个奇点z=0,为2n+1阶极,61,*,*,62,*,*,63,(3)、含三角函数的无穷积分,其中F(z),为偶数，G(x)为奇数,若,f(z),在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点,b,k,(k=1,2,n),外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中，当,z, 无穷时，,f(z)一致趋于零，且m0,则,*,(3)、含三角函数的无穷积分其中F(z)为偶数，G(x)为奇,64,证明：,o,-R,R,C,R,*,证明：o-RRCR*,65,o,-R,R,C,R,由约定当引理,*,o-RRCR由约定当引理*,66,o,-R,R,C,R,由约定当引理,z, 无穷时，,f(z),在包括实轴在内的上半平面中，,一致趋于零，,则,*,o-RRCR由约定当引理z 无穷时，f(z)在包括实轴,67,例：计算积分,解：,有两个一,阶极点,上半平面,极点,z=ai,*,例：计算积分解：有两个一阶极点上半平面极点 z=ai*,68,例：计算积分,解：,有两个一,阶极点,上半平面,极点,z=ai,*,例：计算积分解：有两个一阶极点上半平面极点 z=ai*,69,
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