第12章--压杆稳定的进一步研究课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十二章 压杆稳定的进一步研究,*,12,-,1,具有初曲率的压杆和偏心压杆,12,-,2,杆的纵横弯曲,12,-,3,能量法求临界力,12,-,4,压杆稳定问题有限差分解法,12,-,5,其它弹性稳定问题简介,小 结,第十二章 压杆稳定的进一步研究*12-1 具有初曲,1,l,y,1,1推导具有初曲率两端铰支受压杆的挠曲线方程,12-1,具有初曲率的压杆和偏心压杆,一、具有初曲率的压杆,1,),设压件在最小抗弯刚度方向的微小初挠度为,2,),推导,F,F,y,x,y,0,代入边界条件,y,x,0,F,y,0,+,y,1,F,M,(,x,),=F,(,y,0,+,y,1,),a,0,最大初挠度,挠曲线微分方程为,微分方程的通解为,l y11推导具有初曲率两端铰支受压杆的挠曲线方程12-,2,2讨论,3,),挠曲线方程为,在初曲率很小的情况下，临界载荷可近似使用理想压杆的值。,1推导两端铰支偏心压杆的挠曲线方程,二、偏心受压杆,1,),设压力的偏心为,e,12-1,具有初曲率的压杆和偏心压杆,2讨论3)挠曲线方程为在初曲率很小的情况下，临界载荷可近似,3,通解为：,代入边界条件：,2,),推导,得到挠曲线方程,最大挠度为,l,e,x,y,l,/2,d,x,y,挠曲线近似微分方程,F,F,12-1,具有初曲率的压杆和偏心压杆,通解为：代入边界条件：2)推导得到挠曲线方程最大挠度为lex,4,2最大弯矩和最大压应力均在杆中点,2,),若压件的抗弯刚度相当大，可以使用组合变形的叠,加法近似求解，否则用上式。,1,),3不同偏心距下的,F,d,曲线,1,),给定偏心距,e,1,e,2,e,3,，作,F,d,曲线,12-1,具有初曲率的压杆和偏心压杆,2最大弯矩和最大压应力均在杆中点2)若压件的抗弯刚度相当大,5,1具有初曲率或偏心受压杆的承载能力低于中心受压直,杆，且初曲率和初始偏心距越大，压杆的承载力越低；,三、讨论,2中心受压直杆的临界力是实际压杆承载能力的理论上,限值。,e,3,e,2,e,1,F,O,d,2,),时的,F,d,曲线：,3,),由于,d,增大到一定值，导致,s,增大到,s,s,，压杆屈服，实,际,F,d,曲线应为虚线所示。,A,B,12-1,具有初曲率的压杆和偏心压杆,1具有初曲率或偏心受压杆的承载能力低于中心受压直三、讨论2,6,1,纵横弯曲,：,12-2 杆的纵横弯曲,一、纵横弯曲,1,),挠曲线方程,同时考虑横向力和轴向力引起的弯曲变形,2纵横弯曲的最大挠度,y,l,F,y,x,F,q,x,令 ：,边界条件：,挠曲线方程,挠曲线微分方程,1纵横弯曲：12-2 杆的纵横弯曲一、纵横弯曲1)挠曲,7,最大挠度在中点处,利用级数展开上式，并引入参数 得到,注意到上式右边第一项是均布载荷,q,在中点产生的弯曲挠度,y,0,：,2,),最大挠度,12-2 杆的纵横弯曲,最大挠度在中点处利用级数展开上式，并引入参数,8,3,),讨论,上式由具体问题求出，但近似适用于其它的复杂纵横弯曲问题。具体使用时，,y,0,为弯曲产生的最大挠度， 为相应约束形式压杆的欧拉临界力。,1,),强度条件,3纵横弯曲问题的强度与稳定条件,2,),稳定条件,按理想压杆进行,12-2 杆的纵横弯曲,3)讨论上式由具体问题求出，但近似适用于其它的复杂纵横弯曲问,9,二、例题,例12,-,1 压弯组合的细长悬臂杆，杆长,l,=1.5m，承受均布载荷,q,=22kN/m，,纵向力,F,=200kN，材料为Q235钢，弹性模量,E,=210GPa，许用应,力,s,=160MPa，试对此杆作强度和稳定校核。,A,q,l,B,F,z,y,No20b,解：查型钢表，得,1,),强度校核,A,=39.5cm,2,，,I,z,=2500cm,4,，,W,z,=250cm,3,，,i,y,=2.06cm,在横向力作用下，截面绕,z,轴弯曲，故,杆端,B,点挠度为,最大弯矩发生在,A,端,该截面上的最大正应力为,12-2 杆的纵横弯曲,二、例题例12-1 压弯组合的细长悬臂杆，杆长l=1.5m,10,2,),稳定校核,压杆失稳时将绕,y,轴转动，,先求柔度,查表10,-,3得,j,=0.323，故,杆的工作压应力为,3,),从强度和稳定性两方面来看，杆件都是安全的。,12-2 杆的纵横弯曲,例12,-,1 压弯组合的细长悬臂杆，杆长,l,=1.5m，承受均布载荷,q,=22kN/m，,纵向力,F,=200kN，材料为Q235钢，弹性模量,E,=210GPa，许用应,力,s,=160MPa，试对此杆作强度和稳定校核。,A,q,l,B,F,z,y,No20b,2)稳定校核压杆失稳时将绕y轴转动，查表10-3得j =0.,11,12-3 能量法求临界力,1求临界力的能量法：,一、求临界力的能量法,1,),假定压杆的可能失稳曲线挠曲线试函数，该曲线,必须满足位移边界条件，并且尽可能满足静力边界条,件；,瑞利李兹法,2求解过程,2,),利用挠曲线试函数求出压杆相对于未受力状态的总势,能,V,=,U,-,W,e,；,3,),利用最小势能原理求得临界力。,应注意：,求解结果的好坏与挠曲线试函数的选取直接相关，一般试函数都不是压杆的实际挠曲线，相当于给压件增加了约束，因此，用能量法求得的结果一般比理论结果要大。,12-3 能量法求临界力1求临界力的能量法：一、求临界,12,x,y,F,F,二、例题,例12,-,2 试利用虚功原理分析两端铰支压杆的稳定性。,外力虚功：,杆的应变能：,x,d,d,s,d,y,d,d,l,d,x,q,d,x,B,A,A,B,F,F,q,解：轴向位移,d,：,虚功原理：,得到：,12-3 能量法求临界力,xyFF二、例题例12-2 试利用虚功原理分析两端铰支压杆,13,1,),假定失稳曲线为二次抛物线：,解：方法一,例12,-,3 应用瑞利李兹法导出一端固定、一端自由压杆的临界力。,d,y,y,F,l,F,F,d,x,x,该试解曲线对真实曲线是很差的近似，它不满足静力边界条件：,2,),系统的总势能为,3,),代入失稳曲线，并积分得,4,),利用 得,12-3 能量法求临界力,1)假定失稳曲线为二次抛物线：解：方法一 例12-3 应用,14,1,),重求应变能,U,，由任意截面弯矩,M,=,F,(,d,-,y,),2,),系统的总势能为,3,),代入失稳曲线，并积分得,4,),利用 得,d,y,y,F,l,F,F,d,x,x,例12,-,3 应用瑞利李兹法导出一端固定、一端自由压杆的临界力。,解：方法二,12-3 能量法求临界力,1)重求应变能U，由任意截面弯矩M=F(d -y)2)系统的,15,5,),与精确解相比，两种方法的误差分别是22%和,1.3%，差别很大。因为方法一的挠曲线试函数不,满足静力边界条件，而方法二尽管假定的形状试,函数不变，但在求应变能时引入了静力边界条件，,从而使误差大大减小。,d,y,y,F,l,F,F,d,x,x,例12,-,3 应用瑞利李兹法导出一端固定、一端自由压杆的临界力。,6,),利用多项式可求解出满足位移和静力边界条件的,试函数,因此，无论使用哪种方法均可得到满意的结果。,12-3 能量法求临界力,5)与精确解相比，两种方法的误差分别是22%和dyyFlFF,16,例12,-,4 用能量法求两端铰支等厚度锥形压杆的临界力。截面惯性矩由下式给定： ，,I,1,是 时的惯性矩。,F,y,F,l,/2,x,l,/2,解：1,),选压杆挠曲线试函数：,2,),考虑对称性，计算应变能和外力虚功,3,),系统总势能,4,),利用 得,12-3 能量法求临界力,例12-4 用能量法求两端铰支等厚度锥形压杆的临界力。截面,17,12-4 压杆稳定问题有限差分解法,1差分法：,一、有限差分法,将函数的导数用差分表示，从而将微分方程转化为代数方程的数值计算方法。,2一阶和二阶导数的差分格式,(,等距离,),y,O,x,y,i,i,y,i,-2,i,-2,h,y,i,-1,i,-1,h,y,i,+1,i,+1,h,y,i,+2,i,+2,h,y,=,f,(,x,),12-4 压杆稳定问题有限差分解法1差分法：一、有限差,18,3有限差分法求解压杆的临界力,1,),在压杆上选取若干点，对每一点建立一个有限差分,方程，得到一组以位移为未知量的代数方程组；,2,),代入位移边界条件，进行整理和简化；,3,),利用代数方程必须有非零解的条件可求得临界力。,12-4 压杆稳定问题有限差分解法,3有限差分法求解压杆的临界力1)在压杆上选取若干点，对每一,19,二、例题,例12,-,5 用差分法求图示两端铰支压杆的临界力。,F,y,F,l,/2,x,l,/2,I,1,I,1,m,=2,1,0,(a),解：压杆的控制微分方程为,建立相应的有限差分格式为,代入,I,(,x,)得,令 得,1,),m,=2时，,h,=,l,/2，在x=,l,/2处使用差分方程，,并代入边界条件,x,=0和,x,=,l,时，,y,=0，有,因 ，故必有,12-4 压杆稳定问题有限差分解法,二、例题例12-5 用差分法求图示两端铰支压杆的临界力。F,20,2,),m,=3，,h,=,l,/3，在,x,=,l,/3处使用差分方程，根,据对称性及边界条件,y,1,=,y,2,，,y,0,=,y,3,=0，有,利用上式有非零解条件得到,m,=3,1,0,(b),2,m,=4,2,0,(c),1,3,3,),取,m,=4，参照图c)可导出,由上式有非零解的条件,(,即,系数行列式的值为零,),，求得,4,),同理可求得,12-4 压杆稳定问题有限差分解法,2) m=3，h=l/3，在x=l/3处使用差分方程，根利用,21,解：1,),根据杆的对称性，选择差分节点,h,1,h,2,h,2,h,1,例12,-,6 用差分法导出两端铰支阶梯形压杆的临界力。,y,l,/6,F,l,/6,F,l,/3,x,EI,2,=3,EI,1,EI,1,EI,1,l,/3,0,1,2,1,0,y,O,x,y,i,i,y,i,-1,i,-1,h,y,i,+1,i,+1,h,i,+1,y,=,f,(,x,),2,),由于差分节点间的间距不同，需使用,二次差商的不等距差分公式,令,a,=,h,i,+1,/,h,，代入上式并化简得,两端铰支压杆挠曲线微分方程为,12-4 压杆稳定问题有限差分解法,解：1)根据杆的对称性，选择差分节点h1h2h2h1例12-,22,3,),代入挠曲线微分方程，得有限差分形式,4,),在1和2点使用有限差分方程,(,a,1,=2，,a,2,=1,),化简得,5,),方程组具有非零解,的条件是系数行列,式值为零，可求出,最小的,F,值即,F,cr,12-4 压杆稳定问题有限差分解法,h,1,h,2,h,2,h,1,例12,-,6 用差分法导出两端铰支阶梯形压杆的临界力。,y,l,/6,F,l,/6,F,l,/3,x,EI,2,=3,EI,1,EI,1,EI,1,l,/3,0,1,2,1,0,3)代入挠曲线微分方程，得有限差分形式4)在1和2点使用有限,23,y,z,l,A,x,12-5 其它弹性稳定问题简介,1主要变形与次要变形,一、梁的弹性稳定问题,1,),主要变形,F,沿,y,轴，梁在,xy,平面内的平面弯曲。,T=Fe,F,y,z,F,z,F,n,m,y,A,z,y,F,F,y,F,z,n,m,2,),次要变形,由于梁轴线不直或,F,偏离,y,轴，从而产生扭转和,xz,平面内的弯曲。,3,),由于次要变形过大使梁失去,承载能力即为梁的失稳,2狭长矩形截面悬臂梁在梁,端受集中力作用的临界力,yzlAx12-5 其它弹性稳定问题简介1主要变形与次,24,1次要变形：,二、薄平板的弹性稳定性问题,沿板平面受压的薄平板，所发生的弯曲变形。,2四边简支两端受均匀压力的正方形平板的临界力,F,cr,F,cr,b,t,a,1,),单位宽度临界力,D,单位宽度平板的,抗弯刚度,，,b,平板宽度，,t,平板厚度。,2,),临界应力,12-5 其它弹性稳定问题简介,1次要变形：二、薄平板的弹性稳定性问题沿板平面受压的薄平板,25,三、薄壁圆柱筒壳受轴向压力的弹性稳定问题,失稳临界应力,F,cr,l,2,r,D,单位周长壳壁截面的抗弯刚度,l,筒壳长度,r,筒壳中面半径,m,筒壳失稳时出现的半波个数,12-5 其它弹性稳定问题简介,三、薄壁圆柱筒壳受轴向压力的弹性稳定问题失稳临界应力Fcrl,26,四、细长薄壁圆管承受均布外压时的弹性稳定问题,1薄壁管受均布外压时的屈曲形状,2受均布外压的薄壁圆环,(,b,),三叶,p,/3,(,c,),四叶,p,/4,(,a,),二叶,p,/2,A,B,C,D,根据细长薄壁圆筒的试验结果，假定在最小临界压力作用下发生变形的形状符合二叶屈曲，同时在变形时的压力仍垂直于环的中心线，临界压应力为,h,圆环的厚度,d,圆环的平均直径,12-5 其它弹性稳定问题简介,四、细长薄壁圆管承受均布外压时的弹性稳定问题1薄壁管受均布,27,3细长薄壁管受均匀外压作用,1,),细长薄壁管与薄壁圆环的区别在于,薄壁管沿宽度方向曲率变化受到相邻管阻止，即由于有相邻材料的约束而引起了横向弯矩的变化，这种效应可用平板弯曲比拟法确定。,2,),细长薄壁管临界压应力为,圆管上的周向临界应力为,12-5 其它弹性稳定问题简介,3细长薄壁管受均匀外压作用1)细长薄壁管与薄壁圆环的区别在,28,a,),对 的薄壁管,(,单位MPa,),b,),对 的薄壁管,(,单位MPa,),3,),对各类薄壁管承受均布外压的实验表明，使用如下,经验公式是可行的。,12-5 其它弹性稳定问题简介,a)对 的薄壁管(单位MP,29,解：1,),细长薄壁圆管临界失稳压应力为,例12,-,7 某油井套管采用细长薄壁圆管，外径,d,=200mm，壁厚为,h,=6mm，管在使用中承受均布外压，管材料的,s,s,=350MPa，,E,=200GPa，,n,=0.29，试确定管是否会发生弹性失稳破坏?,2,),管壁上的周向压应力为,3,),圆,管满足强度指标，所以圆管在,p,cr,=11.8MPa作用下发生屈曲破坏。,12-5 其它弹性稳定问题简介,解：1)细长薄壁圆管临界失稳压应力为例12-7 某油井套管,30,小 结,一、本章重点,初曲率或偏心对压杆稳定性的影响；,杆纵横弯曲时的最大挠度和强度计算；,用能量法,(,瑞利李兹法,),求压杆的临界力；,用有限差分法求压杆的临界力。,小 结一、本章重点初曲率或偏心对压杆稳定性的影响；,31,小 结,二、思考题,试证明最大挠度表达式适用于其它复杂的纵横弯曲问题；,试总结用多项式作为近似失稳曲线时，如何满足位移及静力边界条件？三角函数试解曲线又如何？,试导出两端铰支杆向前差分和向后差分的有限差分表达式。,小 结二、思考题试证明最大挠度表达式适用于其它复杂的纵横,32,