新人教版数学必修4同步ppt课件：平面向量数量积的物理背景及其含义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/5/17,#,2,.,4,.,1,平面向量数量积的物理背景及其含义,2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,新人教版数学必修4同步ppt课件：平面向量数量积的物理背景及其含义,一,二,三,一、平面向量数量积的定义,1,.,如图,一个物体在力,F,的作用下,产生位移,s,那么力,F,所做的功应当怎样计算,?,决定功大小的量有哪几个,?,力、位移及其夹角分别是矢量还是标量,?,功是矢量还是标量,?,提示,由物理知识容易得到,W=|,F,|,s,|,cos,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中力、位移是矢量,功是标量,.,四,自主检测,一二三一、平面向量数量积的定义四自主检测,一,二,三,2,.,填空,:(1),两个非零向量的数量积,.,(2),规定,:,零向量与任一向量的数量积为零,.,3,.,关于平面向量数量积的说明,:,(1)“”,是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成,“,”;,(2),数量积的结果为数量,不再是向量,;,(3),向量数量积的正负由两个向量的夹角,决定,:,当,是锐角时,数量积为正,;,当,是钝角时,数量积为负,;,当,是直角时,数量积等于零,.,四,自主检测,一二三2.填空:(1)两个非零向量的数量积. (2)规定:零,一,二,三,四,答案,(1),-,2,(,2)8,自主检测,一二三四答案(1)-2(2)8 自主检测,一,二,三,四,自主检测,二、平面向量数量积的几何意义,1,.,向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义,数量积运算有没有几何意义,?,观察下列图形,如何表达,OB,1,?,它与数量积的关系是什么,?,提示,向量的数量积也有几何意义,题图中,OB,1,=|,b,|,cos,a,b,=|,a,|OB,1,.,一二三四自主检测二、平面向量数量积的几何意义,一,二,三,四,自主检测,2,.,填空,:(1),投影的概念,向量,b,在,a,的方向上的投影为,|,b,|,cos,.,向量,a,在,b,的方向上的投影为,|,a,|,cos,.,(2),数量积的几何意义,.,数量积,a,b,等于,a,的长度,|,a,|,与,b,在,a,的方向上的投影,|,b,|,cos,的乘积,.,3,.,关于投影的说明,:,(1),向量,a,在向量,b,方向上的投影与向量,b,在向量,a,方向上的投影是不同的,;,一二三四自主检测2.填空:(1)投影的概念,一,二,三,四,自主检测,4,.,做一做,:(1),若,|,a,|=,3,|,b,|=,4,a,与,b,的夹角是,120,则向量,a,在向量,b,方向上的投影等于,.,(2),若,a,b,=-,6,|,a,|=,8,则向量,b,在向量,a,方向上的投影等于,.,一二三四自主检测4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,一,二,三,四,自主检测,三、平面向量数量积的运算律,1,.,如果根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗,?,提示,除结合律中的,(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),是错误的,其他都是正确的,.,一二三四自主检测三、平面向量数量积的运算律提示除结合律中的(,一,二,三,四,自主检测,2,.,填空,:,向量数量积的运算,律,一二三四自主检测2.填空:向量数量积的运算律,一,二,三,四,自主检测,四、平面向量数量积的性质,1,.,填空,:,向量数量积的性质,设向量,a,与,b,都是非零向量,它们的夹角为,.,(1),a,b,a,b,=,0,.,一二三四自主检测四、平面向量数量积的性质,一,二,三,四,自主检测,答案,30,一二三四自主检测答案30,一,二,三,四,自主检测,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),0,a,=,0,a,.,(,),(2),若,a,b,=,0,则,a,与,b,至少有一个为零向量,.,(,),(3),若,a,b,0,则,a,与,b,的夹角为锐角,.,(,),(4),若,a,c,=,b,c,(,c,0,),则,a,=,b,.,(,),(5),对于任意向量,a,都有,a,a,=|,a,|,2,.,(,),(6),一个向量在另一个向量方向上的投影是一个向量,.,(,),(7)(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),.,(,),(8),两向量数量积的符号是由两向量夹角的余弦值决定的,.,(,),答案,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),一二三四自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打,探究一,探究二,探究三,求平面向量的数量积,角度,1,数量积的简单计算,例,1,已知,|,a,|=,2,|,b,|=,3,a,与,b,的夹角为,120,求,:,(1),a,b,;(2),a,2,-,b,2,;(3)(2,a,-,b,)(,a,+,3,b,);(4),|,a,+,b,|.,分析,依据数量积、模、夹角的定义,逐一进行计算即可,探究一探究二探究三求平面向量的数量积,探究一,探究二,探究三,反思感悟,求,向量的数量积时,需明确两个关键点,:,相关向量的模和夹角,.,若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简,.,探究一探究二探究三反思感悟求向量的数量积时,需明确两个关键点,探究一,探究二,探究三,角度,2,几何图形中的数量积的,计算,探究一探究二探究三角度2几何图形中的数量积的计算,探究一,探究二,探究三,反思感悟,(,1),解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量,.,对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解,.,探究一探究二探究三反思感悟(1)解决几何图形中的向量的数量积,探究一,探究二,探究三,探究一探究二探究三,探究一,探究二,探究三,探究一探究二探究三,探究一,探究二,探究三,利用数量积求向量的模,例,3,(1),已知向量,a,b,满足,|,a,|=|,b,|=,5,且,a,与,b,的夹角为,60,则,|,2,a,+,b,|=,.,(2),已知向量,a,与,b,的夹角为,30,且,|,a,|=,1,|,2,a,-,b,|=,1,则,|,b,|=,.,探究一探究二探究三利用数量积求向量的模,探究一,探究二,探究三,反思感悟,根据,数量积的定义,a,a,=|,a,|,a,|,cos,0,=|,a,|,2,得,这是求向量的模的一种方法,.,即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积,(,一定非负,),再求它的算术平方根,.,对于复杂的向量也是如此,.,例如,求,|,a,+,b,|,可先求,(,a,+,b,),2,=,(,a,+,b,),(,a,+,b,),再取其算术平方根即为,|,a,+,b,|.,探究一探究二探究三反思感悟根据数量积的定义aa=|a|a,探究一,探究二,探究三,变式训练,2,已知向量,a,b,满足,|,a,|=,2,|,b,|=,3,|,a,+,b,|=,4,求,|,a,-,b,|.,解,因为,|,a,+,b,|=,4,所以,|,a,+,b,|,2,=,4,2,所以,a,2,+,2,a,b,+,b,2,=,16,.,因为,|,a,|=,2,|,b,|=,3,所以,a,2,=|,a,|,2,=,4,b,2,=|,b,|,2,=,9,代入,式得,4,+,2,a,b,+,9,=,16,得,2,a,b,=,3,.,又因为,(,a,-,b,),2,=,a,2,-,2,a,b,+,b,2,=,4,-,3,+,9,=,10,所以,|,a,-,b,|=,.,探究一探究二探究三变式训练2已知向量a,b满足|a|=2,|,探究一,探究二,探究三,利用数量积解决向量的夹角与垂直问题,例,4,(1),若非零向量,a,b,满足,|,a,|=|,b,|,且,(2,a,+,b,),b,则,a,与,b,的夹角为,(,),A.30,B.60,C.120,D.150,(2),已知非零向量,a,b,满足,|,a,|=|,b,|=|,a,+,b,|,求,a,与,a,+,b,的夹角及,a,与,a,-,b,的夹角,.,分析,(1),将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解,;(2),可采用数形结合的方法构成平面图形求解,.,(1),解析,因为,(2,a,+,b,),b,所以,2(,a,+,b,),b,=,0,所以,2,a,b,+|,b,|,2,=,0,.,设,a,b,的夹角为,则,2,|,a,|,b,|,cos,+|,b,|,2,=,0,.,又,|,a,|=|,b,|,所以,2,|,b,|,2,cos,+|,b,|,2,=,0,因此,cos,=-,从而,=,120,.,选,C,.,答案,C,探究一探究二探究三利用数量积解决向量的夹角与垂直问题,探究一,探究二,探究三,探究一探究二探究三,探究一,探究二,探究三,反思感悟,求,平面向量夹角的方法,:,(1),求向量的夹角,主要是利用公式,求出夹角的余弦值,从而求得夹角,.,可以直接求出,a,b,的值及,|,a,|,|,b,|,的值,然后代入求解,也可以寻找,|,a,|,|,b,|,a,b,三者之间的关系,然后代入求解,.,(2),求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解,.,探究一探究二探究三反思感悟求平面向量夹角的方法:,探究一,探究二,探究三,延伸探究,本例,(1),中,若非零向量,a,b,的夹角为,60,且,|,a,|=|,b,|,当,(,a,+,2,b,),(,k,a,-,b,),时,求实数,k,的值,.,解,因为,(,a,+,2,b,),(,k,a,-,b,),所以,(,a,+,2,b,)(,k,a,-,b,),=,0,即,k|,a,|,2,+,(2,k-,1),a,b,-,2,|,b,|,2,=,0,探究一探究二探究三延伸探究本例(1)中,若非零向量a,b的夹,1,2,3,4,5,答案,B,6,12345答案B 6,1,2,3,4,5,6,答案,C,123456答案C,1,2,3,4,5,6,答案,B,123456答案B,1,2,3,4,5,6,4,.,若向量,a,与,b,的夹角为,60,|,b,|=,4,(,a,+,2,b,)(,a,-,3,b,),=-,72,则,|,a,|=,(,),A.2B.4C.6D.12,解析,因为,(,a,+,2,b,)(,a,-,3,b,),=-,72,所以,a,2,-,a,b,-,6,b,2,=-,72,即,|,a,|,2,-|,a,|,b,|,cos,60,-,6,|,b,|,2,=-,72,所以,|,a,|,2,-,2,|,a,|-,24,=,0,.,又,|,a,|,0,故,|,a,|=,6,.,答案,C,1234564.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a,1,2,3,4,5,6,5,.,已知两个单位向量,a,b,的夹角为,60,若,(2,a,+,b,),(,a,+,b,),则,=,.,解析,(2,a,+,b,),(,a,+,b,),(2,a,+,b,)(,a,+,b,),=,0,2,a,2,+,2,a,b,+,a,b,+,b,2,=,0,.,1234565.已知两个单位向量a,b的夹角为60,若(2,1,2,3,4,5,6,6,.,已知平面向量,a,b,|,a,|=,1,|,b,|=,2,且,a,b,=,1,若,e,为平面单位向量,则,(,a,-,b,),e,的最大值为,.,1234566.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,