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15.3 等 腰 三 角 形第 15章 轴 对 称 图 形 与 等 腰 三 角 形第 3课 时 直 角 三 角 形 中 30角 的 性 质 定 理 1.理 解 和 掌 握 有 关 30 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质 和 应 用 ;（ 重 点 ）2.通 过 定 理 的 证 明 和 应 用 ， 初 步 了 解 转 化 思 想 ， 并 培养 学 生 逻 辑 思 维 能 力 、 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 （ 难 点 ） 学习目标 导入新课问题引入问 题 1 如 图 ， 将 两 个 含 30 角 的 三 角 尺 摆 放 在 一 起 ， 你能 借 助 这 个 图 形 ， 找 到 Rt ABC的 直 角 边 BC与 斜 边 AB之 间 的 数 量 关 系 吗 ？ 分 离 拼 接 问 题 2 将 剪 一 张 等 边 三 角 形 纸 片 ， 沿 一 边 上 的 高 对折 ， 如 图 所 示 ， 你 有 什 么 发 现 ？ 讲授新课含30角的直角三角形的性质 一u性 质 ： 在 直 角 三 角 形 中 ， 如 果 一个 锐 角 等 于 30 ， 那 么 它 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 . AB C D如 图 ， ADC是 ABC的 轴 对 称 图 形 ，因 此 AB=AD, BAD=2 30 =60 ，从 而 ABD是 一 个 等 边 三 角 形 .再 由 AC BD,可 得 BC=CD= AB.12 你 还 能 用 其 他方 法 证 明 吗 ？ 证法1证 明 ： 在 ABC 中 ， C =90 ， A =30 , B =60 延 长 BC 到 D， 使 BD =AB，连 接 AD，则 ABD 是 等 边 三 角 形 已 知 ： 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， C =90 ， A =30 . 求 证 ： BC = AB21 AB C D 证 明 方 法 ：倍 长 法 BC = AB 12 E AB C 证 明 ： 在 BA上 截 取 BE=BC， 连 接 EC. B= 60 ， BE=BC. BCE是 等 边 三 角 形 ， BEC= 60 ， BE=EC. A= 30 ， ECA= BEC- A=60 -30 = 30 . AE=EC， AE=BE=BC， AB=AE+BE=2BC. BC = AB 12 证 明 方 法 ：截 半 法证法2 知识要点含30角的直角三角形的性质 在 直 角 三 角 形 中 ， 如 果 一 个 锐 角 等 于 30 ， 那 么 它 所 对 的直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 .u应 用 格 式 ： 在 Rt ABC 中 ， C =90 ， A =30 ， AB C BC = AB 12 (1)直 角 三 角 形 中 30 角 所 对 的 直 角 边 等 于 另 一 直 角 边 的 一 半 (2)三 角 形 中 30 角 所 对 的 边 等 于 最 长 边 的 一 半 .(3)直 角 三 角 形 中 最 小 的 直 角 边 是 斜 边 的 一 半 .(4)直 角 三 角 形 的 斜 边 是 30 角 所 对 直 角 边 的 2倍 判一判 例 1 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB 90 ， B30 ， CD是 斜 边 AB上 的 高 ， AD 3cm ， 则 AB的长 度 是 ( )A 3cm B 6cm C 9cm D 12cm典例精析注 意 ： 运 用 含 30 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质 求 线 段 长 时 ， 要分 清 线 段 所 在 的 直 角 三 角 形 D解 析 ： 在 Rt ABC中 ， CD是 斜 边 AB上 的 高 ， ADC90 ， ACD B 30 .在 Rt ACD中 ， AC 2AD 6cm ，在 Rt ABC中 ， AB 2AC 12cm . AB的 长 度 是 12cm . 例 2 如 图 ， AOP BOP 15 ， PC OA交 OB于 C，PD OA于 D， 若 PC 3， 则 PD等 于 ( )A 3 B 2 C.1.5 D 1解 析 ： 如 图 ， 过 点 P作 PE OB于 E， PC OA， AOP CPO， PCE BOP CPO BOP AOP AOB 30 .又 PC 3， PE 1.5. AOP BOP，PD OA， PD PE 1.5. EC方 法 总 结 ： 含 30 角 的 直 角 三 角 形 与 角 平 分 线 、 垂 直 平 分 线 的 综合 运 用 时 ， 关 键 是 寻 找 或 作 辅 助 线 构 造 含 30 角 的 直 角 三 角 形 例 3 如 图 ， 在 ABC中 ， C 90 ， AD是 BAC的 平 分 线 ， 过 点 D作 DE AB.DE恰 好 是 ADB的 平分 线 CD与 DB有 怎 样 的 数 量 关 系 ？ 请 说 明 理 由 解 ： 1 .2CD DB理 由 如 下 ： DE AB， AED BED 90 . DE是 ADB的 平 分 线 ， ADE BDE.又 DE DE， AED BED(ASA)， 在 Rt ACD中 ， CAD 30 ， AD BD， DAE B. BAD CAD BAC，12 BAD CAD B. BAD CAD B 90 ， B BAD CAD 30 . CD AD BD， 即 CD DB.12 12 12 例 4 一 艘 船 从 A处 出 发 ,以 每 小 时 10海 里 的 速 度 向 正 北 航 行 ，从 A处 测 得 一 礁 石 C在 北 偏 西 30 的 方 向 上 .如 果 这 艘 轮 船 上 午8： 00从 A处 出 发 ， 10： 00到 达 B处 ， 从 B处 测 得 一 礁 石 C在 北偏 西 60 的 方 向 上 .（ 1） 画 出 礁 石 C的 位 置 ；（ 2） 求 出 B处 到 礁 石 C的 距 离 . BC 3060 AD解 ： （ 1） 如 图 ,以 B为 顶 点 ， 向 北 偏 西 60 作 角 ， 这 角 一 边 与 AM交 于 点 C, 则 C为 礁 石 所 在 地 ； M （ 2） DBC= BAC+ ACB， BAC=30 ， DBC=60 ， ACB=30 ， 即 BAC= ACB， BC=AB ， ( 等 角 对 等 边 ) 即 BC=AB=10 2=20(海 里 ） .答 ： B处 到 礁 石 C的 距 离 为 20海 里 . BC 3060 ADM 例 5 已 知 :等 腰 三 角 形 的 底 角 为 15 ,腰 长 为 20.求 腰 上的 高 . A CB D15 15 20解 :过 C作 CD BA交 BA的 延 长 线 于 点 D. B= ACB=15 (已 知 ), DAC= B+ ACB= 15 +15 =30 ，) )12 12 CD= AC= 20=10.方 法 总 结 ： 在 求 三 角 形 边 长 的 一 些 问 题 中 ， 可 以 构 造 含30 角 的 直 角 三 角 形 来 解 决 当堂练习1.如 图 ， 一 棵 树 在 一 次 强 台 风 中 于 离 地 面 3米 处 折 断 倒下 ， 倒 下 部 分 与 地 面 成 30 角 ， 这 棵 树 在 折 断 前 的 高度 为 ( )A 6米 B 9米 C 12米 D 15米2.某 市 在 旧 城 改 造 中 ， 计 划 在 一 块 如 图 所 示 的 ABC空地 上 种 植 草 皮 以 美 化 环 境 ， 已 知 A 150 ， 这 种 草皮 每 平 方 米 售 价 a元 ， 则 购 买 这 种 草 皮 至 少 需 要 ( )A 300a元 B 150a元C 450a元 D 225a元B B 4.在 ABC中 , A: B: C=1:2:3,若 AB=10,则 BC = .55.如 图 ， Rt ABC中 ， A= 30 ， AB+BC=12cm， 则AB=_. ACB83.如 图 ， 在 ABC 中 ， ACB =90 ， CD 是 高 ， A =30 ， AB =4 则 BD = . A B C D 1第 3题 图 第 5题 图 6.在 ABC中 ， C=90 ， B=15 ， DE是 AB的中 垂 线 ， BE=5， 求 AC的 长 解 ： 连 接 AE， DE是 AB的 中 垂 线 ， BE=AE， B= EAB=15 ， AEC=30 ， C=90 ， AC= AE= BE=2.5 12 12 7.在 ABC中 , AB=AC, BAC=120 ， D是 BC的 中 点 ， DE AB于 E点 ， 求 证 ： BE=3EA.证 明 : AB=AC, BAC=120 ， B= C=30 . D是 BC的 中 点 , AD BC ADC=90 , BAD= DAC=60 . AB=2AD. DE AB， AED=90 ， ADE=30 ， AD=2AE. AB=4AE， BE=3AE. A BCDE解 ： DE AC,BC AC, A=30 ， BC= AB, DE= AD.12 12 BC= AB= 7.4=3.7(m).12 12又 AD= AB,12 DE= AD= 3.7=1.85 (m).12 12答 ： 立 柱 BC的 长 是 3.7m， DE的 长 是 1.85m.8.如 图 是 屋 架 设 计 图 的 一 部 分 ， 点 D 是 斜 梁 AB 的 中 点 ， 立 柱BC， DE 垂 直 于 横 梁 AC， AB =7.4 cm， A =30 ， 立 柱 BC、DE 要 多 长 . 9.如 图 ， 已 知 ABC是 等 边 三 角 形 ， D,E分 别 为BC、 AC上 的 点 ， 且 CD=AE， AD、 BE相 交 于 点 P，BQ AD于 点 Q, 求 证 :BP=2PQ.拓 展 提 升 ADC BEA.证 明 ： ABC为 等 边 三 角 形 ， AC=BC=AB , C= BAC=60 ， CD=AE， CAD= ABE, BAP+ CAD=60 . ABE+ BAP=60 . BPQ=60 .又 BQ AD， BP=2PQ. PBQ=30 ， BQP=90 ， 课堂小结内 容 在 直 角 三 角 形 中 ， 如 果 一 个 锐 角 等 于 30 ，那 么 它 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半使 用要 点含30 角的直角三角形的性质 找 准 30 的 角 所 对 的 直 角 边 ， 点 明 斜 边注 意 前 提 条 件 ： 直 角 三 角 形 中
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