高等几何上课版课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等几何多媒体课件,教师授课助手 学生自修向导,1,高等几何多媒体课件教师授课助手 学生自修向导1,课 程 概 论,一、高等几何的内容,高等几何,数学与应用数学专业主干课程之一,前三高,数学分析,高等代数,高等几何,后三高,实变函数,近世代数,点集拓扑,高等几何,射影几何,几何基础,本课程,主要介绍平面射影几何知识,(教材前五章),综合大学：空间解几仿射几何、射影几何,一个学期,2,课 程 概 论一、高等几何的内容高等几何数学与应用数学,课 程 概 论,一、高等几何的内容,什么是射影几何？,直观描述,欧氏几何,仿射几何,射影几何,十九世纪名言,一切几何学都是射影几何,鸟瞰下列几何学,3,课 程 概 论一、高等几何的内容什么是射影几何？直观描,欧氏几何,(初等几何),研究图形在“搬动”之下,保持不变的性质和数量,搬动,正交变换,对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果,欧氏几何,研究图形的,正交变换不变性的科学,(统称,不变性,，如距离、角度、面积、体积等,),4,欧氏几何(初等几何)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数,仿射几何,平行射影,仿射变换,仿射几何,研究图形的,仿射变换不变性的科学,透视仿射变换,有限次平行射影的结果,仿射不变性,比如,平行性、两平行线段的比等等,5,仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形的透视仿射变换有限次,射影几何,中心射影,射影变换,射影几何,研究图形的,射影变换不变性的科学,透视变换,有限次中心射影的结果,射影不变性,比如,几条直线共点、几个点共线等等,射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！,6,射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形的透视变换有限次中心,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的方法,综合法,给定公理系统,(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容,解析法,形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题,本课程,以解析法为主，兼用综合法,7,课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的方法综合,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的方法,三、开课目的,学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想,训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养,新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三,8,课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的方法三、,四、几何的发展历史线索,射影几何学是一切的几何学,英 Cayley,经验几何,（远古元前,600年）,论证几何,（欧氏几何）,演绎化,（元前,600年 400年）,积累了丰富的经验，但未上升成系统理论,埃及几何跟希腊逻辑方法相结合，以抽象化、逻辑化为特点,非欧几何,第,公设研究,几何基础（公理几何）,对古典公理体系的完善,解析几何,射影几何,微分几何,研究方法改变,拓扑学,哥德堡七桥问题,9,四、几何的发展历史线索射影几何学是一切的几何学 英,画法几何,解析几何,(17世纪),仿射几何,（坐标法）,代数几何,代数法,代数曲线,代数曲面,代数族,域上多胞形,微分几何,(19世纪),（分析方法）,张量分析,微分流形、黎曼流形、复流形,大范围微分几何,射影几何,(19世纪),（综合法、爱尔兰根纲领代数法）,特例,应用,四、几何的发展历史线索,10,画法几何解析几何仿射几何（坐标法）代数几何代数法代数曲线代数,非欧几何,罗氏几何,黎曼几何,（,19世纪）,四、几何的发展历史线索,拓扑学,（几何与代数、分析相结合，多样化发展）,点集拓扑,代数拓扑,解析拓扑,分形几何,微分拓扑,微分流形,纤维丛,11,非欧几何罗氏几何黎曼几何（19世纪）四、几何的发展历史线索拓,周学时2，一个学期，学习第一章第五章,五、,课程简介,主要参考书：,梅向明、门淑惠等编,高等几何,高等教育出版社出版，2008年;,朱德祥、朱维宗等编,高等几何（第二版）,高等教育出版社出版，2010年;,罗崇善编高等几何,高等教育出版社出版,1999年6月；,朱德祥、李忠映、徐学钰等编高等几何习题解答。,周兴和编高等几何，科学出版社，2010年,12,周学时2，一个学期，学习第一章第五章五、课程简介 主要,第一章 仿射坐标与仿射变换,本章地位,学习射影几何的基础,本章内容,阐明仿射变换的概念，研究仿射变换的不变量与不变性质。,学习注意,仿射变换在初等几何中的应用,13,第一章 仿射坐标与仿射变换本章地位学习射影几何的基础本章内,1.1 透视仿射对应,一、概念,与b交于,1、同一平面内两直线a到b间的透视对应，,设L为平面上另外一直线,a与 b不平行。过a上的点 作与L平行的直线,即得,a到b的一个一一映射，,称为透视仿射对应。,注：透视仿射对应与,L的方向无关。若a与b相交，交点称为自对应点。,第一章、仿射坐标与仿射变换,14,1.1 透视仿射对应一、概念 与b交于1、同一平面内两,两条直线间的透视仿射对应,L,a,b,o,A,B,C,A,/,B,/,C,/,特征：对应点的连线互相平行,15,两条直线间的透视仿射对应LaboABCA/B/C/特征：对应,两个平面间的透视仿射对应,M,A,B,C,A,1,B,1,C,1,L,特征：对应点的连线互相平行,16,两个平面间的透视仿射对应MABCA1B1C1L特征：对应点的,2、单比,1)设,为共线三点,P,1,P,2,P,为共线三点,的单比，,叫基点,叫分点。,是有向线段,的数量,第一章、仿射坐标与仿射变换,称,2).符号,17,2、单比1)设为共线三点 P1P2P为共线三点 的单比，叫,(,P,1,P,2,P,)表示一个数,是有向线段,P,1,P,与,P,2,P,的比值,与解几中的定比分点反号.,3）单比与定比的区别,1 透视仿射对应,二、性质,1、保同素性和结合性,2、保单比不变,3、保平行性,18,(P1P2P)表示一个数,是有向线段P1P与P2P的比值,1.2 仿射对应与仿射变换,一、概念,设同一平面内有,n条直线，,如下图,是,的透视仿射对应,经过这一串对应，得到,的透视仿射对应，,这个对应称为,的仿射对应。,记作：,19,1.2 仿射对应与仿射变换 一、概念 设同一平面内有,如图所示：,直线间的仿射对应,20,如图所示：直线间的仿射对应20,平面间的仿射对应,21,平面间的仿射对应21,二、性质,为什么？,（,1）保持同素性和结合性；,（,2）保持共线三点的单比不变；,（,3）保持直线的平行性不变。,注：仿射对应下，对应点的连线不一定平行。,22,二、性质为什么？（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点,定义,2.2,若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）,例、平行四边形经仿射（对应）变换仍变为平行四边形,例、两平行线段之比经仿射对应不变,例、仿射对应保持平形性不变,23,定义2.2 若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素性、结,1.3 仿射坐标系,、定义笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫做仿射坐标系,，,叫点,的仿射坐标,记为,的仿射坐标为,、设共线三点,则单比为,24,1.3 仿射坐标系、定义笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫,25,25,3、仿射变换的坐标表示,已知仿射坐标：仿射变换为,:T,变换将：,且,26,3、仿射变换的坐标表示已知仿射坐标：仿射变换为:T,平行四边形 变为平行四边形,，,且保持单比不变，故 在坐标系 中的坐标为,(x,y),o,o,/,p,p,/,p,x,p,y,p,x,/,p,y,/,x,y,y,/,x,/,27,平行四边形 变为平行四边形,一方面：,另一方面：,所以,28,一方面：,另一方面：所以28,例,1 已知三点 求仿射变换T使顺次变为 .,练习：,1、求使直线 分别变为 的仿射变换。,2、已知仿射变换,求点,的像点，及直线 的像直线。,29,例1 已知三点,4、特殊的仿射变换,正交变换,位似变换,相似变换,压缩变换,30,4、特殊的仿射变换 正交变换相似变换30,1.4 仿射性质,一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（量）,同素性，结合性，平行性是仿射性质。,单比是仿射不变量。,31,1.4 仿射性质一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的,证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线,证明：设变换为：,T:,例,1,32,证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线 证明：设变换为,二、重要结论：,1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。,2、共点直线仍变为共点直线,3、两平行线段之比是仿射不变量。,4、两三角形面积之比是仿射不变量,（证明见课本）,5、两个多边形面积之比是仿射不变量6、两封闭图形面积之比是仿射不变量,33,二、重要结论：1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。2、共,设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程为,例,2、求椭圆的面积,A,B,C,O,D,y,x,34,设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程为例2、求椭圆的面积ABCO,第二章 射影平面,本章地位,学习平面射影几何的基础,本章内容,定义射影平面，引入齐次坐标，学习对偶原则,附带一个重要定理,Desargues透视定理,学习注意,认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰,35,第二章 射影平面本章地位学习平面射影几何的基础本章内容定义,2.1 射影平面,一、中心射影,1、平面上两直线间的中心射影,定义,1,因此，,1,:,l,l,是,l,到,l,的中心射影,OP,投射线,P l,上的点,P,在,l,上的像,P l,上的点,P,在,l,上的像,OV/l,与,l,不相交，,V,为,l,上的,影消点,影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个,一一对应,!,X=l,l,自对应点,OU/l,与,l,不相交，,U,为,l,上的,影消点,三个特殊点：,36,2.1 射影平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射,2.1 射影平面,一、中心射影,2、平面到平面的中心射影,定义,2,OP,投射线,P ,上的点,P,在,上的像,P ,上的点,P,在,上的像,因此，,是,到,的中心射影,自对应直线(不变直线),三条特殊的线：,，,u,为由,影消点,构成的,影消线,，,v,为由,影消点,构成的,影消线,影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应,37,2.1 射影平面一、中心射影2、平面到平面的中心射影定义,2.1 射影平面,一、中心射影,1、平面上两直线间的中心射影,定义,1,2、平面到平面的中心射影,定义,2,均不是一一对应,中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线,存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点,如何使得中心射影成为一一对应？,给平行线添加交点！,38,2.1 射影平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影,一、中心射影,二、无穷远元素,目标：,改造空间，使得中心射影成为双射,途径：,给平行直线添加交点,要求：,不破坏下列两个基本关系,两条相异直线确定惟一一个点,(交点),两个相异点确定惟一一条直线,(连线),点与直线的关联关系,2.1 射影平面,39,一、中心射影二、无穷远元素目标：改造空间，使得中心射影成为双,2.1 射影平面,二、无穷远元素,约定,1.1,(1)在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点.称为,无穷远点,(,理想点,)，记作,P,(2),相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同.,区别起见，称平面上原有的点为有穷远点,(通常点)，记作,P,约定,1.1,(3)按约定(1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为,无穷远直线,(,理想直线,)，记作,l,区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线,(通常直线)，,l,总结：,在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应,.,40,2.1 射影平面二、无穷远元素 约定1.1,2.1 射影平面,理解约定,1.1(1),(2),1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点.平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.,2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.,3、平面上添加的无穷远点个数过一个通常点的直线数.,4、不平行的直线上的无穷远点不同.因而，对于通常直线：,两直线,平 行,不平行,交于惟一,无穷远点,有穷远点,平面上任二直线总相交,5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点.,6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.,41,2.1 射影平面理解约定1.1(1),(2)1、对应,2.1 射影平面,理解约定,1.1(3),1、无穷远直线为无穷远点的轨迹.无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.,2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.,3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.,4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行.因而，对于通常平面：,两平面,平 行,不平行,交于惟一,无穷远直线,有穷远直线,空间中任二平面必相交于唯一直线,42,2.1 射影平面理解约定1.1(3)1、无穷远直线为无,2.1 射影平面,三、射影平面,仿射直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点,四、区别,（,1）欧氏直线：向两个方向无限伸展,欧氏直线 仿射直线 射影直线,欧氏平面 仿射平面 射影平面,43,2.1 射影平面三、射影平面 仿射直线：向两方前,2.1 射影平面,仿射直线的拓扑模型,44,2.1 射影平面仿射直线的拓扑模型44,2.1 射影平面,(2)射影直线上点的分离关系,欧氏直线：一点区分直线为两个部分。,射影直线：一点不能区分直线为两个部分。,欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。,射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。,点偶,A,B,分离,点偶,C,D,点偶,A,B,不分离,点偶,C,D,45,2.1 射影平面(2)射影直线上点的分离关系欧氏直,2.1 射影平面,(i)任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域,任一直线,不能,划分射影平面为两个不同的区域,(ii)两条相交直线划分欧氏平面为,四个,不同的区域,两条相交直线划分射影平面为,两个,不同,的区域,(3)射影平面的封闭性,(从两个方面理解),46,2.1 射影平面(i)任一直线划分欧氏平面为两个不同,1.4 Desargues透视定理,一、,Desargues透视定理,一个古老、美丽、实用的重要定理！,1、两个三点形的对应关系,若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有,透视中心,，透视中心也称为,Desargues,点,.,若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有,透视轴,，透视轴也称为,Desargues 线,.,问题,请问你是怎样画出这两个图的？,47,1.4 Desargues透视定理一、Desargues,画图过程演示,48,画图过程演示48,一、,Desargues透视定理,1、两个三点形的对应关系,2、Desargues透视定理,定理,(Desargues透视定理及其逆),注,1,、满足,Desargues定理的一对三点形称为,透视的,三点形,.,1.4 Desargues透视定理,证明,49,一、Desargues透视定理1、两个三点形的对应关系2、D,Desargues定理画图过程演示,50,Desargues定理画图过程演示50,一、,Desargues透视定理,2、Desargues透视定理,注2,、关于,Desargues构图.左图表示了一对透视的三点形,ABC,ABC.,左图中共有,10个点、10条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点.这10点,10线地位平等，此图称为,Desargues构图,.,1.4 Desargues透视定理,51,一、Desargues透视定理2、Desargues透视定理,分析,：为证,X,Y,Z,三点共线,试在图中找出一对对应三点形,具有透视中心，且对应边的交点恰为,X,Y,Z,.,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,由题给,X,Y,Z,分别为三对直线的交点,此三直线涉及到六个字母,试,例1 在欧氏平面上,设,ABC,的高线分别为,AD,BE,CF,.而,BC,EF,=,X,CA,FD,=,Y,AB,DE,=,Z,.求证：,X,Y,Z,三点共线,.,所以,由三点形,ABC,DEF,的对应即得结论,.,1.4 Desargues透视定理,52,分析：为证X,Y,Z三点共线,试在图中找出,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,分析,：因为,R,是动点，作,R,的另一个位置,R,.得到,P,Q,设,PQ,PQ,交于,C,.只要证明,A,B,C,三点共线,.,由,OX,OY,OZ,共点于,O,只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在,OX,OY,OZ,上,且三双对应边交点恰为,A,B,C,即可,.,如图，,PQR,PQR,正是所需,.,例2 设,OX,OY,OZ,为三条定直线,A,B,为定点,其连线经过,O,.,R,为,OZ,上的动点,直线,RA,RB,分别与,OX,OY,交于,P,Q,.求证：,PQ,经过,AB,上的一个定点,.,1.4 Desargues透视定理,53,二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 分析：因为,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,证明,：考察三点形,PQR,与,ABC,，它们有透视中心,S,，从而它们有透视轴，即,A,1,B,1,C,1,三点共线,.,引申,：同理可证,例3 已知完全四点形,PQRS,其对边三点形为,ABC,.设,A,1,=,BC,RQ,B,1,=,AC,RP,C,1,=,AB,PQ,.求证：,A,1,B,1,C,1,三点共线,.,1.4 Desargues透视定理,54,二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明：考察三,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,证明：设动点,P,的另一个位置为,P,依题意作图,得交点,X,Y,.,考察三点形,AXX,与,BYY,因为其对应边的交点,P,C,P,共线，所以其对应顶点的连线,AB,XY,XY,共点,此点为,AB,上的定点,.,例4 设,A,B,C,为不共线三点,P,是过,C,的定直线上的动点,AP,BC,=,X,AC,BP=Y,.求证：,XY,经过定点,.,思考：考察三点形,PXY,与,PXY,进行证明,.,思考：本题实际上与例,2为同一个题目！,1.4 Desargues透视定理,55,二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明：设,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,证明：考察三点形,ZBC,和,YLM,有透视轴,A,X,D,.即得结论.,2、不可及点的作图问题,注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图,.,例5 设,XYZ,为完全四点形,ABCD,的对边三点形,XZ,分别交,AC,BD,于,L,M,.求证：,YZ,BL,CM,共点,.,思考：还能有其他方法吗？,1.4 Desargues透视定理,56,二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明：考,二、应用举例,2、不可及点的作图问题,例,6,.已知平面上二直线,a,b,P,为不在,a,b,上的一点,.不作出,a,b,的交点,a,b,过,P,求作直线,c,使,c,经过,a,b,.,解,.作法：,(1).在,a,b,外取异于,P,的一点,O,.,过,O,作三直,线,l,1,l,2,l,3,.,设,l,1,l,2,分别交,a,b,于,A,1,A,2,;,B,1,B,2,.,(2).连,PA,1,PB,1,分别交,l,3,于,A,3,B,3,.,(3).连,A,2,A,3,B,2,B,3,交于,Q,.,(4).,PQ=c,为所求直线,.,证明：由作法，三点形,A,1,A,2,A,3,B,1,B,2,B,3,有透视中心,O,.故其对应边的交点,P,=,A,1,A,3,B,1,B,3,Q,=,A,2,A,3,B,2,B,3,以及,a,b,三点共线，即,c,=,PQ,经过,a,b,的交点,.,注：解作图题必须包括,作法,、,画图,、,证明,三部分！,1.4 Desargues透视定理,57,二、应用举例2、不可及点的作图问题 例6.已,引入目的,2,齐次坐标,实现数、形结合，用解析法研究射影几何,基本要求,既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点,基本途径,从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾,主要困难,来自传统笛氏坐标的干扰,必须注意,齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于,齐次性,，因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识。,尽管针对拓广平面,但是今后通用,齐次性问题,几乎无处不在的非零比例常数和比例关系,58,引入目的 2 齐次坐标实现数、形结合，用解析法研究射影几,二、齐次点坐标,定义,2.1,有穷远点,无穷远点,非齐次,齐次坐标,关系,注,对一维齐次点坐标定义的进一步理解,2 齐次坐标,1.一维齐次点坐标,(,x,1,x,2,)(,x,2,0),x,x,=,x,1,/,x,2,(,x,1,0)(,x,1,0),59,二、齐次点坐标定义2.1有穷远点无穷远点非齐次齐次坐标关系注,(1).,都有齐次坐标,反之，,都对应唯一一点,(0,0)不是任何点的齐次坐标.,(2).,与,是同一点的齐次坐标,.因此，,直线上每个点都有无穷多个齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数,.,(3).,原点：,(0,x,2,),特别地，(0,1).,无穷远点：,(,x,1,0),特别地，(1,0).,二、齐次点坐标,2 齐次坐标,1.一维齐次点坐标,注：定义2.1没有解决无穷远直线的问题.,60,(1).都有齐次坐标反之，都对应唯一一点(0,0)不是任何,引入,可视为,P,为,通常点,无穷远点,设,l,i,:,A,i,x,+,B,i,y,+,C,i,=0(,i,=1,2).记|,AB,|表示,(1).,P,为通常点，,设,P,(,x,y,).则,令,|,BC,|=,x,1,|,CA,|=,x,2,|,AB,|=,x,3,.则,从而,x,:,y,:1=,x,1,:,x,2,:,x,3,.于是,可以把与(,x,y,1)成比例的任何有序实数组(,x,1,x,2,x,3,)作为点,P,的齐次坐标,.,2.二维齐次点坐标,2 齐次坐标,同样有,|,BC,|,|,CA,|.,61,引入可视为P为通常点无穷远点设 li:Ai x+Bi y,引入,(2).,P,=,P,l,1,/,l,2,.,即,P,为,l,1,l,2,方向上的无穷远点,.,目标：,构造,P,的齐次坐标，使之仅与,l,1,l,2,的方向,(斜率)有关.,因,l,1,/,l,2,.故前述,x,3,=0.考虑取(,x,1,x,2,0)为,P,的齐次坐标,.只要证明,x,1,x,2,仅与,l,i,的方向,(斜率)有关.,当,l,i,不平行于,y,轴时，即,x,1,0.不难证明,其中,为,l,i,的斜率,即(,x,1,x,2,0)表示方向为,的无穷远点,.特别地,若,x,2,=0,则表示,x,轴上的无穷远点,.,当,l,i,平行于,y,轴时，,=.,可合理地取,(0,x,2,0)(,x,2,0)为,y,轴上无穷远点的齐次坐标,.,引出定义,2.二维齐次点坐标,2 齐次坐标,62,引入(2).P=P,l1/l2.即P为l1,定义,2.2,有穷远点,方向为,=,x,2,/,x,1,的无穷远点,非齐次,齐次坐标,关系,注,对二维齐次点坐标定义的进一步理解,y,轴上的无穷远点,2.二维齐次点坐标,2 齐次坐标,(,x,y,),x,=,x,1,/,x,3,y,=,x,2,/,x,3,(,x,1,x,2,x,3,)(,x,3,0),(,x,1,x,2,0)(,x,1,0),(,=,x,2,/,x,1,),(0,x,2,0)(,x,2,0),无穷远点,63,定义2.2有穷远点 方向为=x2/x1的无穷远点非,(1).对任意的,P,都有齐次坐标,(,x,1,x,2,x,3,).对于通常点,x,3,0；对于无穷远点,x,3,=0,但,x,1,2,+,x,2,2,0.反之,任给(,x,1,x,2,x,3,)(,x,1,2,+,x,2,2,+,x,3,2,0),都对应惟一一点,P,.(0,0,0)不是任何点的齐次坐标.,(2).对任意的0,R,(,x,1,x,2,x,3,)与(,x,1,x,2,x,3,)是同一点的齐次坐标.因此,平面上每个点都有无穷多个齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.,(3).原点：(0,0,x,3,),特别地(0,0,1);无穷远点(,x,1,x,2,0),若,x,1,0,则可表为(1,0),其中,为该无穷远点的方向,.,特别地,x,轴上的无穷远点为,(1,0,0),y,轴上的无穷远点为,(0,1,0).,2.二维齐次点坐标,2 齐次坐标,64,(1).对任意的P,都有齐次坐标(x1,x2,二、二维齐次点坐标,例,1,求下列各点的齐次坐标,.,(1).,齐次坐标,(一般形式),特定一组,(2).,求直线,上的无穷远点,.,斜率,代入,所求无穷远点为,也就是,(4,3,0).,上的无穷远点为,2 齐次坐标,65,二、二维齐次点坐标例 1求下列各点的齐次坐标.(1).齐次坐,三、直线的齐次坐标方程,定理,2.1,在齐次坐标下，直线的方程为,(1.14),反之，,(1.14)表示直线.称(1.14)为,直线的齐次方程,.,注：,定理,2.1不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法.,2 齐次坐标,推论,过原点的直线的齐次方程为,u,1,x,1,+,u,2,x,2,=0.,特别地,x,轴,:,x,2,=0,y,轴,:,x,1,=0,l,:,x,3,=0.,66,三、直线的齐次坐标方程定理 2.1在齐次坐标下，直线的方程为,改变一下你的几何学观点,点,直线,曲线,坐标,方程,点的轨迹,点几何学,线几何学,方程,坐标,直线族的包络,四、齐次线坐标,2 齐次坐标,线几何学,：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象,调整你的思维天平！,67,改变一下你的几何学观点点直线曲线坐标方程点的轨迹点几何学线几,四、齐次线坐标,1.定义,将直线,l,：,中的系数称为,l,的,齐次线坐标,，记作,注,1,齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质,.,注,2,y,轴：,x,轴：,过原点的直线：,思考,：,注,2中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同(忽略括号差别)？,注,3,由定义,方程,系数,坐标,实现互化,故,由,诱导,.,2齐次坐标,68,四、齐次线坐标1.定义将直线l：中的系数称为l的齐次线坐标,定理2.3 在齐次线坐标下，点,x,在直线,u,上,2.点的齐次方程,2 齐次坐标,定义2.5 在齐次线坐标下，若方程,f,(,u,1,u,2,u,3,)=0 能且仅能被过点,P,的直线的齐次坐标所满足，则称,f=,0 为点,P,的,齐次方程,.,69,定理2.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上 2,2.点的齐次方程,2 齐次坐标,四、齐次线坐标,注,对,(1.4)的新理解.,(1.4),变 (流动),不变,(常数),直线,u,的方程,几何意义,动点,x,在定直线,u,上；,定直线,u,为动点,x,的轨迹,点几何观点,线几何观点,不变,(常数),变 (流动),点,x,的 方程,动直线,u,过定点,x,；,定点,x,为动直线,u,的包络,因此，一般地，称(1.4)为点与直线的,齐次关联关系,.点、直线统称为,几何元素,.,给定齐次方程,70,2.点的齐次方程 2 齐次坐标四、齐次线坐标注对(1.,四、齐次线坐标,2.点的齐次方程,例,2,求下列各点的齐次方程,.,(1).,x,轴上的无穷远点,(2).,y,轴上的无穷远点,(3).原点,(4).点(1,2,2),(5).方向为,的无穷远点,(6).无穷远直线上的点,思考,：,本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？,2 齐次坐标,(3,1,0),71,四、齐次线坐标2.点的齐次方程例 2求下列各点的齐次方程.,3 对偶原理,一、平面对偶原则,重要原理！贯穿全书！,1.基本概念,(1).,对偶元素,点,直线,(2).,对偶运算,过一点作一直线,在一直线上取一点,(4).,对偶图形,在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系,构成的图形,，若对,作对偶变换，则得到另一个图形,.称,、,为一对,对偶图形,.,图形,图形,作对偶变换,互为对偶图形,(3).,对偶变换,互换对偶元素地位、作对偶运算,72,3 对偶原理一、平面对偶原则重要原理！贯穿全书,一、平面对偶原则,2.基本对偶图形举例,(1)点,(1)直线,(2)点列(共线点集),(2)线束(共点线集),(3)点场(共面点集),(3)线场(共面线集),(4)简单,n,点形：,n,个点,(其中无三点共线)及其两两,顺次,连线构成的图形,.,(4)简单,n,线形：,n,条直线,(其中无三线共点)及其两两,顺次,相交的交点构成的图形,.,顶点：,n,个；边：,n,条,.,边：,n,条；顶点：,n,个,.,下面分别考察,n,=3和,n,=4的情形,3 对偶原理,73,一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例(1)点(1)直,简单,n,点,(线)形：,n,=3,简单三点形,简单三线形,简单,n,点,(线)形：,n,=4,简单四点形,简单四线形,显然，简单,n,点,(线)形与其顶点(边)的顺序有关,3 对偶原理,74,简单n点(线)形：n=3简单三点形简单三线形简单n点(线)形,(5)完全,n,点形：,n,个点,(其中无三点共线)及其每两点连线构成的图形.,(5)完全,n,线形：,n,条直线,(其中无三线共点)及其每两直线交点构成的图形.,顶点：,n,个；,边：,n,条；,完全,n,点,(线)形：,n,=3,完全三点形,ABC,完全三线形,abc,一对自对偶图形,.将不加区分,简称三点形或三线形.,3 对偶原理,75,(5)完全n点形：n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构,完全,n,点,(线)形：,n,=4,完全四点形,ABCD,完全四线形,abcd,射影几何中最重要的一对图形,3 对偶原理,76,完全n点(线)形：n=4完全四点形ABCD完全四线形abcd,完全四点形,ABCD,完全四线形,abcd,顶点,4个,边,6条,对边,(没有公共顶点的边),3组,对边点,(对边的交点),3个,对边三点形,XYZ,边,4条,顶点,6个,对顶,(不在同一边上的顶点),3组,对顶线,(对顶的连线),3条,对顶三线形,xyz,请课后画图，熟悉图形及名称,.今后将专门研究其重要性质,77,完全四点形ABCD完全四线形abcd顶点4个边6条对边(没有,例,1,作下列图形的对偶图形,点,2个,直线,5条,关联关系,(1),P,Q,在,l,上；,(2),a,b,l,共点于,P,;,c,d,l,共点于,Q,直线,2条,点,5个,关联关系,(1),p,q,过点,L,；,(2),A,B,L,共线于,p,;,C,D,L,共线于,q,一、平面对偶原则,2、对偶图形举例,1、基本概念,3、作一图形的对偶图形,翻译,3 对偶原理,78,例 1作下列图形的对偶图形点2个直线5条关联关系(1)P,一、平面对偶原则,2.基本对偶图形举例,1.基本概念,3.作一图形的对偶图形,4.平面对偶原则,(1)射影命题,在射影平面上，若命题,P,仅与点和直线的关联、顺序关系有关，则称,P,为一个,射影命题,.,(2)对偶命题,射影命题,P,射影命题,P*,作对偶变换,互为对偶命题,(3)平面对偶原则,定理,(平面对偶原则)在射影平面上，,射影命题,P,成立,射影命题,P*,成立,3 对偶原理,79,一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例1.基本概念3.作,一、平面对偶原则,2.基本对偶图形举例,1.基本概念,3.作一图形的对偶图形,4.平面对偶原则,例,2,对偶命题举例,(1),P,过相异二点有且仅有一条直线.,(1),P*,两相异直线有且仅有一个交点.,(2),P,如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线.,(2),P*,如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点.,注,1,只有射影命题才有对偶命题,.,注,2,对偶原则是一个双射,F,：,点几何,线几何,因此,对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化,可以起到事半功倍的作用.,3 对偶原理,80,一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例1.基本概念3.作,二、有关齐次坐标的基本结论,(1).两点,a,b,重合,(1).两直线,a,b,重合,3 对偶原理,(2).相异两点,a,b,连线方程为,(2).相异两直线,a,b,交点方程为,坐标为,坐标为,81,二、有关齐次坐标的基本结论(1).两点a,b重合(1),(3).相异三点,a,b,c,共线,(3).相异三直线,a,b,c,共点,(4).点,c,在相异两点,a,b,连线上,点,c,的齐次坐标可表示为,la+mb,(,l,m,不全为零,).,3 对偶原理,(4).直线,c,经过相异两直线,a,b,交点,直线,c,的齐次坐标可表示为,la+mb,(,l,m,不全为零,).,二、有关齐次坐标的基本结论,注：若三点(直线),a,b,c,不共线,(点),则上述矩阵满秩.,82,(3).相异三点a,b,c共线(3).相异三直线a,(5).相异三点,a,b,c,共线,存在,p,q,r,(,pqr,0)使得,即可适当选取,a,b,c,的齐次坐标使得,3 对偶原理,二、有关齐次坐标的基本结论,(5).相异三直线,a,b,c,共点,存在,p,q,r,(,pqr,0)使得,即可适当选取,a,b,c,的齐次坐标使得,a,+,b,+,c,=0,或,c,=,a,+,b,.,a,+,b,+,c,=0,或,c,=,a,+,b,.,83,(5).相异三点a,b,c共线存在p,q,r(p,例,3,已知共线三点,a,=(3,1,1),b,=(7,5,1),c,=(6,4,1),求,使得,解,令,其中,为非零比例常数,.,可解得,=3.于是，可适当选取,a,b,c,的齐次坐标，使得,c,=,a,+3,b,.,3 对偶原理,二、有关齐次坐标的基本结论,84,例 3已知共线三点 a=(3,1,1),b=(7,5,1),2.4 复元素,一、二维空间的复元素,实欧氏平面,实仿射平面,实射影平面,复射影平面,本课程不讨论复射影平面.我们将实射影平面嵌入到复射影平面中进行讨论，即讨论带有虚元素的实射影平面,实,-复射影平面,85,2.4 复元素一、二维空间的复元素实欧氏平面实仿射平面,2.4 复元素,一、,二维空间的复元素,复点：设有一对有序复数,如果,都是实数，则,为一普通点即实点，若,或,为复数或均为复数，则规定一个新点称为复点，仍以,为其坐标。,复点的齐次坐标：,实点,规定为复点的齐次坐标。,与三个不全为零的实数成比例,86,2.4 复元素一、二维空间的复元素复点：设有一对有序复,2.4 复元素,一、,二维空间的复元素,同样的，对于,，当,表示普通点；,表示无穷远复点,.,复直线的引入与此类似：,齐次复数线坐标,实直线,复直线,与复点坐标的引入相似,定义,87,2.4 复元素一、二维空间的复元素同样的，对于，当表示,2.4 复元素,二、几点说明,比如，,(,i,i,i,)为实点.,3、显然，实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以有虚直线，过虚点可以有实直线.,复点、复直线统称,复元素,.,88,2.4 复元素二、几点说明比如，(i,i,i)为实,2.4复元素,三、共轭复元素,定义,1：若,为一元素（点或直线）的齐次坐标时，,为另一同类元素（点或直线）的齐次坐标，,则此二元素叫做共轭复元素。,两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭。,注意：两个非无穷远共轭复元素，非齐次坐标必为共轭复数；,但齐次坐标不一定为共轭复数。,89,2.4复元素三、共轭复元素定义1：若为一元素（点或直线）,2.4 复元素,四、几个结论,(3)、实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点.,(3)、过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线.,(4)、两共轭复点连线为实直线.,(4)、两共轭复直线交点为实点.,(5)、过一复点有且仅有一条实直线.,(5)、在一条复直线上有且仅有一个实点.,90,2.4 复元素四、几个结论(3)、实直线上的点或为实点或,2.4 复元素,五、例题：,求,：,(1)过点,的实直线；,(2)直线,上的实点,.,解：,(1)因为过点,的实直线必过其共轭复点,所以所求直线为：,即：,91,2.4 复元素五、例题：求：(1)过点的实直线；(2)直,2.4 复元素,(2)直线,上的实点为此直线与其共轭复直线,的交点，由方程：,解得实点为：,92,2.4 复元素(2)直线上的实点为此直线与其共轭复直线的,第三章 射影变换,本章地位,平面射影几何的核心内容之一,本章内容,在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影不变量和不变性作初步地研究。,93,第三章 射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容,2.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,交比,最根本的射影不变量,定义3.1.设,P,1,P,2,P,3,P,4,为共线四点，,(,P,1,P,2,P,3,P,4,)表示这四点,(3.1),称,P,1,P,2,为,基点偶,，,P,3,P,4,为,分点偶,.,构成的一个,交比（或交叉比，复比）,.定义为：,94,2.1 交比与调和比一、点列中四点的交比1、定义交比,2.1 交比与调和比,注：,(1)若点偶,不分离点偶,记作,(2)若点偶,分离点偶,记作,(3)当,重合时，,当,重合时，,一、点列中四点的交比,1.定义,95,2.1 交比与调和比注：(1)若点偶不分离点偶记作(,2.1 交比与调和比,显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关.改变次序一般会改变交比值.,因此，根据次序不同，共线四点可以构成,设(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=,r,.我们来探讨这24个交比的规律.,2.交比的组合性质,性质1 设(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=,r,.当改变这四点在交比符号中的次序,时，交比值变化规律如下：,4!=24,个交比,.,96,2.1 交比与调和比 显然，共线四点的交,2.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,推论 由性质1，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：,不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！,97,2.1 交比与调和比一、点列中四点的交比,2.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,性质1中共线四点的交比值出现0,1,三者之一,这四点中有,某二点相同,.,性质,2 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1.,98,2.1 交比与调和比一、点列中四点的交比1、定义2、性,3.1 交比与调和比,定理,2,.设点列,l,(,P,)中四点,P,i,的齐次坐标为,a,+,i,b,(,i,=1,2,3,4).则,3、特殊情况,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,4、交比的代数表示,定理1.设,P,1,P,2,P,3,P,4,共线四点，其齐次坐标依次为,a，b,，,a,+,1,b,，,a,+,2,b,.则：,引理：已知两不同的普通点,，,为直,线,AB,上一点，且 ,则,99,3.1 交比与调和比 定理2.设点列l,3.1 交比与调和比,证明定理,2,.以,P,1,P,2,为基点，参数表示,P,3,P,4,.设,a,+,1,b=a,a,+,2,b=b,.,从中解出,a,b,得,于是，,P,1,P,2,P,3,P,4,的坐标可表示为,即,由定理,1，有,注,：定理,1可以作为交比的一般定义.,100,3.1 交比与调和比 证明定理2.,3.1 交比与调和比,定理,3 若四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，,则第四点必惟一确定。,在共线四点的交比中，交比值为,-1的情况在,射影几何中十分重要，称之为调和比。,3、特殊情况,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,4、交比的代数表示,101,3.1 交比与调和比定理3 若四个不同的共线点中的,5、调和比,定义 若,(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=1,则称,推论,1 若(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=1,则此四点互异.,推论,2 相异四点,P,1,P,2,P,3,P,4,可按某次序构成调和比,这四点,的,6个交比值只有3个：,3.1 交比与调和比,调和比是最重要的交比！,102,5、调和比定义 若(P1P2,P3P4)=1,则称推,3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,4、调和比,对于(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=1,由定义可得：,此时,若,则可合理地认为,于是,这表示,P,3,为,P,1,P,2,的中点，从而有,推论3 设,P,1,P,2,P,为共线的通常点,.,P,为此直线上的无穷远点,.则,P,为,P,1,P,2,的中点,注：本推论建立了线段的中点、调和比的联系,103,3.1 交比与调和比一、点列中四点的交比1、定义2、性,一、点列中四点的交比,3.1 交比,例,1,.设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点.证明：若(12,34)=(14,32),则(13,24)=-1.,由题设,已知四点相异,104,一、点列中四点的交比 3.1 交比 例1.设1,3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,4、调和比,5、交比的计算,(1).由坐标求交比,例,2,已知,P,1,(3,1,1),P,2,(7,5,1),Q,1,(6,4,1),Q,2,(9,7,1).求(,P,1,P,2,Q,1,Q,2,).,解 第一步.验证四点共线.,第二步.以,P,1,P,2,为基点,用参数表示,Q,1,Q,2,.令,i,=1,2.,同理,对于,i,=2,可求得,于是，,代入坐标,可以得到,105,3.1 交比与调和比一、点列中四点的交比1、定义2、性,3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,4、调和比,5、交比的计算,(1).由坐标求交比,(2).由交比求坐标,例,3,已知(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=2,P,1,P,2,P,4,的坐标依次为,(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1).求,P,3,的坐标,.,解：设,则显然,由,可得,从而,P,3,的坐标为,(3,1,3).,106,3.1 交比与调和比一、点列中四点的交比1、定义2、性,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,4、调和比,5、交比的计算,(1).由坐标求交比,(2).由交比求坐标,例,4,已知,P,1,P,2,分别是,x,轴、,y,轴上的无穷远点,P,3,是斜率为,1的方向上的无穷远点,且(,P,1,P,2,P,3,P,4,)=,r,.求,P,4,的坐标,.,解：由题设知,P,1,P,2,P,3,的坐标分别为,(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0).设,则显然,由,可得,从而,P,4,的坐标为,(,r,1,0).,3.1 交比与调合比,注：若要求,P,1,或,P,2,的坐标,则需先据交比性质交换点的位置,使得交换后第1,2位置为已知点,再计算.,107,一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5,3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,二、线束中四直线的交比,1、直线的交角,设,a,b,为线束,S,中取定的相异二直线,.,在线束中任取一条不与,a,b,重合的直线,u,，,直线,u,的那一个角度，记作,(,a,b,).,a,b,u,注：若,a,b,边的顺序与逆时针方向一致，则,规定(,a,b,)为正值，反之则为负值。,S,则定义,a,b,的交角为不含,108,3.1 交比与调和比一、点列中四点的交比二、线束中四直,3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,2、线束中三直线的单比,设,a,b,c,为线束,S,中的三直线,.则,a,b,u,叫做,a,b,c,三直线的单比，,a,b,叫基线，,c,叫做分线。,c,注：如果直线,c,不在,(,a,b,)中，则(,a,b,c,)0；,如果直线,c,在,(,a,b,)中，则(,a,b,c,)”.显然.,“”.显然.,“”设点列,l,(,P,)与,l,(,P,)透视对应,S,为透视中心,l,l,=,X,.由于直线,SX,交,l,l,于同一点,X,所以,X,自对应,.,“”.见教材,略.,“”,f,为对合=,f,为射影变换,将对合条件(,AA,=,E,(,0)代入=,a,11,=,a,22,;,“=”直接验证符合对合定义即可.,(2).,2、坐标形式,155,1、参数形式 定理 一维基本形上的一个变换,定理3.7 不重合的两对对应元素确定唯一一个对合.,推论 三对对应元素,P,i,P,i,属于同一对合,其参数,p,i,p,i,满足,证明,P,i,P,i,属于同一对合,ap,i,p,i,+b,(,p,i,+,p,i,),+d=,0此方程组对,a,b,d,有非零解,|,p,i,p,i,p,i,+,p,i,1|=0,即(2.16)成立,.,推论 已知不重合的两对对应元素的,参数,p,i,p,i,(,i,=1,2),则由此决定的对合方程为,3、确定对合的代数条件,156,定理3.7 不重合的两对对应元素确定唯一一个对合,4、对合不变元素,由对合方程,可得其,不变元素方程,为,对于上述方程总有,0,从而任一对合总有两个相异的不变元素.,定理 任一对合必有两个相异的不变元素,即任一对合不是双曲型即是椭圆型,不存在抛物型对合.,定理3.8 一维射影变换,f,成为对合,f,有两个相异的不变元素,且任一对相异的对应元素被两个不变元素调和分离.,即假设,f,:,为对合,且,E,F,为其两个不变元素,.则对,f,的任意一对对应元,P,P,(,P,P,),均有(,PP,EF,)=1.,157,4、对合不变元素由对合方程可得其不变元素方程为对于上述方程总,例1 设,证明.由题设,有,所以,由对合的几何条件,E,F,为由,A,C,;,B,D,所决定的对合的不变元素,.,求证：,E,F,为由,A,C,;,B,D,所决定的对合的不变元素,.,同理,由本例可见,几何条件中,也可以包含不变元素！,158,例1 设 证明.由题设,有所以,由对,例2 设,P,P,;,Q,Q,为对合的两对对应元素,点偶,A,B,满足,证明.因为,所以,根据对合的几何条件,结论成立.,求证：,A,B,也是此对合的对应点偶,.,159,例2 设P,P;Q,Q为对合的两对对应,5、Desargues对合定理,定理 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点.,如图,P,P,;,Q,Q,;,R,R,属于同一对合,.,注：由于对合的特性,图中在同一组对边上带“,”和不带“,”的字母可以任意标注.,证明.利用几何条件,只要证,(,PP,QR,)=(,PP,QR,),(,P,P,Q,R,),(,B,),(,X,P,D,C,),(,A,),(,P,P,R,Q,),(,P,P,Q,R,),(,P,P,R,Q,),(,PP,QR,)=(,PP,RQ,)=(,PP,QR,),l,CD,l,160,5、Desargues对合定理 定理 (Desa,5、Desargues对合定理,定理 (Desargues对合定理)不过顶点的任一直线截完全四点形的三双对边于同一对合的三对对应点.,如图,P,P,;,Q,Q,;,R,R,属于同一对合,.,注：由于对合的特性,图中在同一组对边上带“,”和不带“,”的字母可以任意标注.,注：请写出本定理的对偶命题