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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,杨辉三角,研究性课题：,杨辉三角研究性课题：,1,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,本积,平方,立方,三乘,四乘,五乘,商实,九章算术杨辉详解九章算法中记载的表本积平方立方三乘四,2,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,杨辉三角与二项式定理,1,1,1,1,1 3,3,证明：,2）,假设当n=k时等式成立，即,则当,n=k+1,时，,1),当n=1时，,左边a+b,右边a+b,所以等式成立,利用组合数的重要性质可得,求证：,证明：2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时，1),4,杨辉三角的基本性质,1）,表中每个数都是组合数，,第n行的第r+1个数是,2）,三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是,3）,杨辉三角具有对称性,4）,杨辉三角的第n行是二项式（a+b）,n,展开式的二项式系数即,前课复习,5）,所有项的二项式系数之和,杨辉三角的基本性质1）表中每个数都是组合数，2）三角形的两条,5,1.斜行规律：,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上：,第四条斜线上：,猜想：,在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于,1+1+1+1+1+1=6,1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20,1+4+10=15,第m+1条斜线上的第n个数.,观察杨辉三角的图形，组成它的数有什么排列规律么？,新课教学,1.斜行规律：第一条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第,6,第4条斜线,1410 ,第3条斜线,136 ,第2条斜线,123 ,(nr),第1条斜线,111 1,新课教学,结论1：,杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数,即,第4条斜线 1410 第3条斜,7,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：,1，1，2，3，5，8，13，21，34，,2.斐波那契“兔子繁殖问题”,新课教学,中世纪意大利,数学家,斐波那,契,(Fibonacci),的传世之作,算术之法中,提出了一个饶,有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,?,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：2.斐波那契“兔子繁殖,8,1,2,5,第5行,1 5 10 10 5 1,第6行,1 6 15 20 15 6 1,第7行,1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行,1,第2行,1 2 1,第3行,1 3 3 1,第4行,1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;,这就是著名的斐波那契数列,新课教学,125第5行 1 5,9,则在兔子繁殖问题中从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13，正好是刚生的兔子，第一个月后的兔子第二个月后的兔了，第三个月后的兔子，个月后的兔子的对数,我们把满足条件:,a,1,=a,2,=1,a,n+2,=a,n+1,+a,n,的数列a,n,称为,斐波那契数列,.其通项公式为:,由条件中的递推式知,斐波那契数列中的各项均是,整数,那么你能否证明满足 的数列a,n,的各项均是整数?,新课教学,则在兔子繁殖问题中从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，1,10,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，,3.杨辉三角与高尔顿钉板,如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问:哪边的奖品会比较高档？,新课教学,分析：,弹子从每一通道通过时可能情况是：它选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一个通道的可能情形，,应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和,。可以设想，第1层只有条通道，通过的概率是:,1,；第2层有条通道，每条通过的概率依次是:,1/2,1/2,；第3层有3个通道，每条通过的概率从左到右依次是:,1/4,2/4,1/4,；第4层各通道通过的概率从左到右依次是:,1/8,3/8,3/8,1/8,；照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是多少？,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色)向容器,11,“概率三角形”,新课教学,通过研究可以发现第n行各概率的分子正是杨辉三角中的数，而分母是2,n,.,英国数学家高尔顿则通过设计这样一个实验证实，如果放入大量得球的话其最后呈现的曲线总是雷同的，也就是说落入格中的概率分布趋向稳定。,服从正态分布,“概率三角形”新课教学通过研究可以发现第n行各概率的分子正,12,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题，中小学的数学中时有出现,图1是某城市的一部分街道图，纵横各有五条路如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图1稍加转动，使A在正上方，B在正下方，然后在图1的交叉点标上相应的杨辉三角数，其数阵就是图2的菱形数表,4.“杨辉三角”与“纵横路线图”,新课教学,有趣的是，B处位置所对应的杨辉三角数，正好就是本题的答案70,杨辉三角中的数，都是一些组合数，这些数无论在初等数学或高等数学中，都有着广泛的应用关于它的性质则是重要的数学分支“组合数学”的研究对象.,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题，中小学的数学中时有,13,将杨辉三角中的每个数 地换成 ,得到一个只有单位分数组成的三角形,称为莱布尼茨三角形,莱布尼茨三角形又许多性质，这里仅介绍一条,每行的数字都等于左右“两足”的数字和,5.“杨辉三角”与“,莱布尼茨三角形,”,新课教学,注：莱布尼兹,(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716)是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家,一个举世罕见的科学天才。,将杨辉三角中的每个数 地换成 ,得到一个只有单,14,6.华罗庚与杨辉三角的研究,华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界著名数学行列最杰出的代表。撰写10部专著、200篇论文和10余部科普著作。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名在他的科普著作从杨辉三角谈起中，对杨辉三角的构成，提出了许多有趣的看法,新课教学,杨辉三角是数学之花，是中国古代数学得伟大成就。它有许多有趣的性质和用途。本节课所介绍的几个问题不过只是管中窥豹而已。同学们有兴趣的话可以找相关得专著来看。,6.华罗庚与杨辉三角的研究 华罗庚（1910-1985）是一,15,
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