随机变量数字特征课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章,随机变量的数字特征,第四章,随机变量的数字特征,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 随机变量的数字特征,4.1,随机变量的数学期望,4.2,随机变量的方差,4.3,协方差与相关系数,4.4,矩与协方差矩阵,.,.,.,第四章 随机变量的数字特征4.1 随机变量的数学期望.,1,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量,X,的概率分布，那么,X,的全部概率特征也就知道了,.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的,.,而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了,.,.,.,.,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布,2,例如：,1.,评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般是评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常只需知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个平均寿命的偏离程度就够了。,.,.,.,例如：1.评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般是评定灯泡的,3,2.,钢厂生产的一批钢锭，它的含碳量和其硬度有密切的关系，因此，除了掌握含碳量和平均硬度，还有必要了解含碳量与硬度之间的联系，特别希望知道彼此有无线性关系。,.,.,.,2.钢厂生产的一批钢锭，它的含碳量和其硬度有密切的关系，因,4,由此可见在随机变量的研究中，常常需要去研究某些与随机变量有关的，能反映随机变量重要特征的“,数,”，我们把这种“,数,”称作随机变量的,数字特征,。,.,.,.,由此可见在随机变量的研究中，常常需要去研究某些与随机变量有,5,最常用的数字特征,数学期望,方差,协方差、相关系数,矩,.,.,.,最常用的数字特征数学期望.,6,4.1.1,一维随机变量数学期望的定义,数学期望是最基本的数字特征，,数学期望是能够体现随机变量取值的平均数。,让我们先看一个简单的例子：,4.1,随机变量的数学期望,.,.,.,4.1.1 一维随机变量数学期望的定义数学期望是最基本的数,7,例,:,在一次测验中，,10,名学生有,2,人得,70,分，,5,人得,80,分，,3,人得,90,分，那么他们的平均成绩为,81,分，具体计算方法为：,换个角度，若将,10,个学生中任一个人的测验成绩看成随机变量,X,，则,X,的概率分布为,.,.,.,例:在一次测验中，10名学生有2人得70分，5人得80分,8,上面平均分算式的右端正好是,X,的各个可能取值与相应概率乘积之和，所以由 所确定的数字特征恰好是随机变量的平均值。,.,.,.,上面平均分算式的右端正好是 X 的各个可能取,9,考虑到,X,随机变量会有无穷多个可能值,x,k,，同时这些,x,k,可正可负，而平均值应当与求和的次序无关，反映在数学上便是要求级数,绝对收敛,。,.,.,.,考虑到 X 随机变量会有无穷多个可能值xk，同时这些 xk,10,简称,期望,或,均值,.,.,.,.,简称期望或均值.,11,关于定义的几点说明,(1),E,(,X,)是一个实数,而非变量,它是一种,加,权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现,了随机变量,X,取可能值的,真正的平均值,也称,均值。,(2),级数的绝对收敛性,保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量,X,取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变。,.,.,.,关于定义的几点说明 (1)E(X)是一个实数,12,例4.2,设某口袋中装有标号,i,的球,i,只,(,i,=1,2,n,),现在从中随机取出一只,求所得球上号码的数学期望,.,解,设,X,表示所取球上的号码，则X的分布律为,P(,X,=,i,)=2,i,/,n,(,n,+1),i,=1,2,n,于是,.,.,.,例4.2 设某口袋中装有标号i的球i只(i=1,2,13,到站时刻,7:10 7:30 7:50,8:10 8:30 8:50,概率,1/5 2/5 2/5,一旅客7:20到车站,求他候车时间的数学期望.,例4.3,按规定,某车站每天7:008:00,8:009:00,都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：,.,.,.,到站时刻 7:10 7:30,14,X,10 30 50 70 90,.,.,.,X 10 30 50,15,4.1.2,连续型随机变量的数学期望,设,X,是连续型随机变量，其密度函数为,f,(,x,),在数轴上取很密的分点,x,0,x,1,x,2,则,X,落在小区间,x,i,x,i,+1,),的概率是,小区间,x,i,x,i+1,),阴影面积近似为,.,.,.,4.1.2 连续型随机变量的数学期望 设X是连续,16,由于,x,i,与,x,i,+1,很接近,所以区间,x,i,x,i,+1,),中的值可以用,x,i,来近似代替,.,这正是,的渐近和式,.,近似,因此,X,与以概率,取值,x,i,的离散型,r.v,该离散型,r.v,的数学期望,是,小区间,x,i,x,i+1,),阴影面积近似为,.,.,.,由于xi与xi+1很接近,所以区间xi,17,由此启发我们引进如下定义.,定义4.2,设,X,是连续型随机变量，其密度函数为,f,(,x,),如果积分,绝对收敛,则称此积分值为,X,的,数学期望,即,请注意:,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,.,.,.,由此启发我们引进如下定义.定义4.2 设X是连续型随机变,18,例4.4,由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命,X,k,(,k,=1,2,3,4,5)服从同一指数分布，其概率密度为,(1)若将5个装置并联成整机，求整机寿命,M,的数学期望。,(2)若将5个装置串联成整机，求整机寿命,N,的数学期望。,.,.,.,例4.4 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命X,19,解,X,k,的分布函数为,(1)若将5个装置并联成整机,M,的概率密度为,.,.,.,解 Xk 的分布函数为(1)若将5个装置并联成,20,N,的概率密度为,(2)若将5个装置串联成整机,此即说明:并联组成整机的平均寿命是串联组成整机的平均寿命的,11.4倍,。,.,.,.,N的概率密度为(2)若将5个装置串联成整机此即说明,21,例,4.5,设随机变量,X,服从,Cauchy,分布,，其概率密度为,求证：,E,(,X,),不存在,.,解,：因为,.,.,.,例4.5 设随机变量X服从Cauchy分布，其概率密度为求证,22,1.离散型随机变量函数的数学期望,4.1.3 随机变量函数的数学期望,若,Y,=,g,(,X,),且,则,2.连续型随机变量函数的数学期望,X,是连续型的,它的概率密度为,f,(,x,),.,.,.,1.离散型随机变量函数的数学期望4.1.3 随机变量函数的,23,该公式的重要性在于,:,当我们求,E,g,(,X,),时,不必知道,g,(,X,),的分布，而只需知道,X,的分布就可以了,.,这给求随机变量函数的期望带来很大方便,.,Y,=,g,(,X,),的数学期望为：,.,.,.,该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,24,3.,二维随机变量函数的数学期望,.,.,.,3.二维随机变量函数的数学期望.,25,(1),若,(,X,Y),为二维离散型随机变量，则,(2),若,(,X,Y),为二维连续型随机变量，则,.,.,.,(1)若(X,Y)为二维离散型随机变量，则(2)若(X,26,补充例,：,设随机变量,X,的分布律为,X,2,0,2,P,0.4,0.3,0.3,解,因而由数学期望的定义得到,.,.,.,补充例：设随机变量X的分布律为X202P0.40,27,例4.8,已知随机变量,X,的联合密度为,求,E,(3,X,),E,(,e,4,X,)。,.,.,.,例4.8 已知随机变量X 的联合密度为求 E(3X),28,例4.9,已知(,X,Y,)的联合密度为,2,1,x,y,.,.,.,例4.9 已知(X,Y)的联合密度为21xy.,29,2,1,x,y,.,.,.,21xy.,30,2,1,x,y,.,.,.,21xy.,31,例4.,10,假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量,X,(,单位,:,吨,),，它在,(2000,4000),上服从均匀分布,.,已知每售出一吨该商品可赚,3,万美元，但如果销售不出去，每吨需仓储等费用,1,万美元,.,试问外贸部门应组织多少货源才能使收益的期望值最大,.,解,:,设应组织,k,吨货源，记,Y,为收益,则,.,.,.,例4.10 假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个,32,当,k,=3500,时,E,(,Y,),最大,.,.,.,.,当 k=3500 时,E(Y)最大.,33,课堂练习,:,设随机变量,X,的概率密度为,解,:,Y,是随机变量,X,的函数,.,.,.,课堂练习:设随机变量X的概率密度为 解:Y是随机变,34,1.设,C,是常数,则有,E,(,C,)=,C,。,2.设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,4.1.4 数学期望的性质,3.设,X,Y,是两个随机变量,则有,注意：,.,.,.,1.设 C 是常数,则有 E(C)=C。2.设,35,(3)设二维(,X,Y,)的概率密度为,f,(,x,y,)，其边缘,密度为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,)则,E,(,X+Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),.,.,.,(3)设二维(X,Y)的概率密度为f(x,y)，其边缘,36,4.设,X,Y,是,相互独立,的随机变量,则有,(,各,X,i,相互独立,时,),.,.,.,4.设 X,Y 是相互独立的随机变量,则有(各Xi,37,(4)若,X,，,Y,相互独立,，则,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),因为,X,，,Y,相互独立，,.,.,.,(4)若 X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)因,38,解,例4.11,.,.,.,解例4.11.,39,本题将,X,分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量期望之和来求，这种处理方法具有一定的,普遍意义,。,.,.,.,本题将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机,40,常见分布的期望,.,.,.,常见分布的期望.,41,练习：,把数字,1,2,n,任意地排成一列，如果数字,k,恰好出现在第,k,个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望,.,由于,E,(,X,k,)=,P,(,X,k,=1),解,:,设巧合个数为,X,，,引入,k,=1,2,n,则,故,.,.,.,练习：把数字1,2,n 任意地排成一列，如果数字k,42,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征,.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的,.,4.2方差,.,.,.,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现,43,例如，某零件的真实长度为,a,，现用甲、乙两台仪器各测量,10,次，将测量结果,X,用坐标上的点表示如图：,哪台仪器好一些呢？,甲仪器测量结果,较好,测量结果的均值都是,a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,乙仪器测量结果,.,.,.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪,44,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击,10,发炮弹，其落点距目标的位置如图：,哪门炮射击效果好一些呢,?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,乙炮,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近,.,中心,中心,.,.,.,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的,45,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的,.,那么用怎样的量去度量这个偏离程度呢,?,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,能度量随机变量与其均值,E,(,X,),的偏离程度,.,容易看到,来度量随机变量,X,与其均值,E,(,X,),的偏离程度,.,但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,.,.,.,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是,46,4.2.1 随机变量方差的概念,1.方差的定义,.,.,.,4.2.1 随机变量方差的概念1.方差的定义.,47,方差是一个常用来体现随机变量,X,取值分散程度的量。,方差的意义,D,(,X,)是刻画,X,取值分散程度的一个量。,如果,D,(,X,)值大,表示,X,取值分散程度大,E,(,X,)的代表性差。,如果,D,(,X,)值小,则表示,X,的取值比较集中,以,E,(,X,)作为随机变量的代表性好。,.,.,.,方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量。方,48,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,2.随机变量方差的计算,(1),利用定义计算,.,.,.,离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差2.随机,49,证明,(2),利用公式计算,注意,.,.,.,证明(2)利用公式计算注意.,50,补充例,设随机变量,X,的分布律为,X,2,0,2,P,0.4,0.1,0.5,解,.,.,.,补充例 设随机变量X的分布律为X202P0.40.,51,解,例4.13,.,.,.,解例4.13.,52,4.2.,2,方差的性质,(1)设,C,是常数,则有,(2)设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,(3)设,X,Y,相互独立,D,(,X,),D,(,Y,)存在,则,.,.,.,4.2.2 方差的性质(1)设 C 是常数,则有(2),53,证明,.,.,.,证明.,54,推广,此性质说明,：,随机变量,X,与数学期望的偏离程度比其它任何值的偏离程度都小。,.,.,.,推广 此性质说明：随机变量X与数学期望的偏离程度比其它,55,1.,两点分布,已知随机变量,X,的分布律为,则有,4.2.,3,重要分布的期望与方差,.,.,.,1.两点分布 已知随机变量 X 的分布律为则有4.2.,56,设随机变量,X,服从参数为,n,p,二项分布,即,X,B,(,n,p,),其分布律为,若设,i,=1,2,，,，,n,则 是,n,次试验中“成功”的次数,.,设,X,表示,n,重努里试验中的,“,成功”次数,.,2.,二项分布,.,.,.,设随机变量 X 服从参数为 n,p 二项分,57,于是,i,=1,2,n,由于,X,1,X,2,X,n,相互,独立,=,np,(1,p,),E,(,X,i,)=,p,D,(,X,i,)=,p,(1,p,),.,.,.,于是i=1,2,n 由于X1,X2,Xn 相互,58,2.二项分布,则有,设随机变量,X,服从参数为,n,p,二项分布,其分布律为,.,.,.,2.二项分布 则有 设随机变量 X 服,59,.,.,.,.,60,.,.,.,.,61,.,.,.,.,62,3.泊松分布,则有,.,.,.,3.泊松分布 则有.,63,所以,.,.,.,所以.,64,4.,均匀分布,则有,.,.,.,4.均匀分布则有.,65,.,.,.,.,66,5.指数分布,则有,.,.,.,5.指数分布 则有.,67,6.正态分布,则有,.,.,.,6.正态分布则有.,68,.,.,.,.,69,分布,参数,数学期望,方差,两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布,常见分布的期望与方差,.,.,.,分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数,70,两个重要结论,证明,:由期望和方差的性质可知,由于,X,和,Y,相互独立，故,.,.,.,两个重要结论证明:由期望和方差的性质可知由于X和Y相,71,练习,：已知随机变量,X,N,(-1,1),Y,N,(3,4),且,X,与,Y,相互独立，求随机变量,Z,=2,X,-,Y,+4,的概率密度。,推广,.,.,.,练习：已知随机变量XN(-1,1),YN(3,4),且,72,称,X,*,为,X,的标准化,随机,变量。,.,.,.,称 X*为 X 的标准化随机变量。.,73,解,例4.6,.,.,.,解例4.6.,74,解,例4.18,设某台机器由3个元件组成，在设备运转中各个元件需要调整的概率分别是0.1，0.2，0.3.假设各个元件是否需要调整相互独立，以,X,表示同时需要调整的元件数，试求,X,的数学期望与方差。,.,.,.,解例4.18 设某台机器由3个元件组成，在设备运转中各个元件,75,由数学期望与方差的性质及0-1分布的性质得到,E,(,X,),=E,(,X,1,),+,E,(,X,2,),+,E,(,X,3,),=0.1+0.2+0.3=0.6,D,(,X,),=D,(,X,1,),+,D,(,X,2,),+,D,(,X,3,),=0.1,0.9,+0.2,0.8,+0.3,0.7,=0.46,.,.,.,由数学期望与方差的性质及0-1分布的性质得到.,76,解法2：设,A,B,C,分别表示元件1，2，3需要调整，,则,A,B,C,两两相互独立。,X,可以取值为0,1,2,3.,P,(,X,=0)=,P,(,X,=1)=,P,(,X,=2)=,P,(,X,=3)=,P,(,ABC,)=0.1,0.20.3=0.006,.,.,.,解法2：设A,B,C分别表示元件1，2，3需要调整，P(X=,77,所以,X,的分布律为,E,(,X,),=1,0.398+20.092+30.006=0.6,E,(,X,2,),=1,0.398+2,2,0.092+3,2,0.006=0.82,所以,D,(,X,),=,E,(,X,2,),(,EX,),2,=0.82-0.36,=0.46,.,.,.,所以X的分布律为E(X)=10.398+20.092+,78,四、进阶练习,1,、,设随机变量,X,服从几何分布，概率分布为,P,X,=,k,=,p,(1,-p,),k,-1,k,=1,2,其中0,p,0,D,(,Y,)0,称,4.3.2 相关系数,.,.,.,对于二维随机变量(X,Y),设D(X)0,D(Y),91,注：,.,.,.,注：.,92,相关系数的性质,.,.,.,相关系数的性质.,93,考虑,t,的函数,对任意,t,有,判别式,故,而,.,.,.,考虑t的函数对任意t,有判别式故而.,94,(,3,)不相关的充要条件,对,X,与,Y,下列事实是等价的：,.,.,.,(3)不相关的充要条件对 X 与 Y,下列事实是等价的,95,(4),若随机变量,X,与,Y,相互独立,则,X,与,Y,不相关,.,相互独立,不相关,证：由于当,X,和,Y,独立时，,Cov,(,X,Y,)=0.,故,=0.,请看下述反例：,注：其逆命题不真，即,.,.,.,(4)若随机变量X与Y相互独立,则X与Y不相关.相互独立,96,解,证明,:(1),X,Y,不相关,;(2),X,Y,不相互独立,.,知,X,Y,不相互独立,.,.,.,.,解证明:(1)X,Y不相关;(2)X,Y不相互,97,解,例,4.24,.,.,.,解例4.24.,98,.,.,.,.,99,.,.,.,.,100,结论,.,.,.,结论.,101,对,一般二维随机变量,(,X,Y,),：,独立 不相关,.,若,(,X,Y,),服从二维正态分布，则,X,与,Y,独立,X,与,Y,不相关,.,.,.,.,对一般二维随机变量(X,Y)：独立 不相关.若(X,102,解,例,4.24,.,.,.,解例4.24.,103,.,.,.,.,104,.,.,.,.,105,课堂练习,1,、,2,、,.,.,.,课堂练习1、2、.,106,1,、解,2,、解,.,.,.,1、解2、解.,107,例,4.25,解,.,.,.,例4.25 解.,108,.,.,.,.,109,.,.,.,.,110,4.4.1 基本概念,4.4.2,n,维正态变量的性质,4.4矩与协方差矩阵,.,.,.,4.4.1 基本概念4.4.2 n 维正态变量的性质4.4,111,4.4.1 矩,1.定义,.,.,.,4.4.1 矩1.定义.,112,均值,E,(,X,),是,X,一阶原点矩,方差,D(X,),是,X,的二阶中心矩,协方差,Cov,(,X,Y,),是,X,和,Y,的二阶混合中心矩,.,.,.,.,均值 E(X)是X一阶原点矩协方差Cov(X,Y)是X和,113,例4.26,柯西,许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式,设,X,与,Y,是两个随机变量，若,E,(,X,2,),E,(,Y,2,)存在，则,证明,考虑实变量,t,的二次函数,.,.,.,例4.26 柯西许瓦兹(Cauchy-Schwarz),114,3.协方差矩阵,二维随机变量(,X,Y,)有四个二阶中心矩,将它们排成矩阵形式,这个矩阵称为随机变量(,X,Y,)的协方差矩阵。,.,.,.,3.协方差矩阵 二维随机变量(X,Y)有四个二阶中心矩将它,115,解,例4.2,7,.,.,.,解例4.27.,116,.,.,.,.,117,.,.,.,.,118,例 设二维随机变量（,X,Y,）的协方差矩阵为,求,.,.,.,例 设二维随机变量（X,Y）的协方差矩阵为求.,119,.,.,.,.,120,协方差矩阵的应用,协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究,.,.,.,协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，,121,由于,引入矩阵,.,.,.,由于引入矩阵.,122,由此可得,.,.,.,由此可得.,123,由于,.,.,.,由于.,124,作,n,维推广，便可定义,n,维正态分布：,为协方差矩阵,.,.,.,.,作n维推广，便可定义n维正态分布：为协方差矩阵.,125,定义,(,n,维正态分布,),设 为,n,维随机变量，若其概率密度为,为,的协方差矩阵，,则称,服从,n,维正态分布，记作,.,.,.,定义(n维正态分布)设,126,n,元,正态分布的几条重要性质,1.,X,=(,X,1,X,2,X,n,),服从,n,元正态分布,a,1,X,1,+,a,2,X,2,+,a,n,X,n,均服从正态分布,.,对一切不全为,0,的实数,a,1,a,2,a,n,，,.,.,.,n元正态分布的几条重要性质1.X=(X1,X2,X,127,若,X,=(,X,1,X,2,X,n,),服从,n,元正态分布,，,Y,1,Y,2,，,Y,k,是,X,j,（,j,=1,2,n,）,的线性函数,，,则,(,Y,1,Y,2,，,Y,k,),也服从多元正态分布,.,2.,正态变量的线性变换不变性,.,3.,设,(,X,1,X,2,X,n,),服从,n,元正态分布,，,则,“,X,1,X,2,X,n,相互独立,”,等价于,“,X,1,X,2,X,n,两两不相关,”,.,.,.,若 X=(X1,X2,Xn)服从 n 元正态,128,4.,n,维正态变量,(,X,1,X,2,X,n,),的每个分量,X,i,(,i=1,2,n),都是正态变量；,反之，若,X,1,X,2,X,n,都是正态变量，且,相互独立,，,则,(,X,1,X,2,X,n,),是,n,维正态变量,.,.,.,.,4.n维正态变量(X1,X2,Xn)的每个分量Xi(i,129,