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,习题课,函数的基本性质,习题课,高中数学第一章集合与函数概念1,类型一利用奇偶性求函数解析式,【典例,1,】,(1),若函数,f(x),是奇函数,g(x),是偶函数,且,f(x)-g(x)=,则,f(x)=_.,(2),若函数,f(x),是定义在,R,上的奇函数,当,x0,时,f(x)=x,2,-2x+1,求,f(x),的解析式,.,类型一利用奇偶性求函数解析式,【解题指南】,(1),根据,f(x),g(x),的奇偶性,以,-x,代替,x,列方程组求解,.,(2),由,x0,时,f(x)=x,2,-2x+1,当,x0,代入解析式,再利用奇函数的定义求出,x0,的解析式,由,f(0)=0,得出,f(x),在,R,上的解析式,.,【解题指南】(1)根据f(x),g(x)的奇偶性,以-x代替,【解析】,(1),因为,f(x),是奇函数,g(x),是偶函数,f(x)-g(x)=,所以,f(-x)-g(-x)=,所以 解得,f(x)=.,答案,:,【解析】(1)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,(2),当,x0,f(-x)=(-x),2,-2(-x)+1=x,2,+2x+1,因为,f(x),是奇函数,所以,f(x)=-f(-x),所以,x0,时,f(x)=-2x,2,+3x+1,求,f(x),的解析式,.,【解题指南】,当,x0,代入解析式,再利用,f(x),为奇函数,求得解析式,.,【巩固训练】1.f(x)为R上的奇函数,当x0时,【解析】,当,x0,则,f(-x)=-2(-x),2,+3(-x)+1=,-2x,2,-3x+1,由于,f(x),是奇函数,故,f(-x)=-f(x),所以,f(x)=2x,2,+3x-1,即当,x0,则,-x0,则-x”,连接,),(2)(2017,长春高一检测,)f(x)=(m-1)x,2,+2mx+3,是偶函,数,则,f(-1),f(-),f(),的大小关系为,_.(,用,“,”,连接,),类型二利用奇偶性、单调性比较大小,【解题指南】,(1),利用,f(x),为偶函数,将自变量转化到同一单调区间判断,.,(2),先由,f(x)=(m-1)x,2,+2mx+3,是偶函数,确定,m,的值,从而得出,f(x),的解析式,再根据,f(x),的单调性比较三个值的大小,.,【解题指南】(1)利用f(x)为偶函数,将自变量转化到同一单,【解析】,(1),因为,f(x),是偶函数,则,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),又当,x0,时,f(x),是增函数,所以,f(2)f(3)f(),从而,f(-2)f(-3)f(-3)f(-2),【解析】(1)因为f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),(2),因为,f(x)=(m-1)x,2,+2mx+3,是偶函数,所以有,f(-x)=,f(x),即,(m-1)(-x),2,+2m(-x)+3=(m-1)x,2,+2mx+3,所以,4mx=0,恒成立,所以,m=0,因此,f(x)=-x,2,+3,又,f(x)=-x,2,+3,在,(-,0,上为增函数,故,f(-)f(-)f(-1),又,f()=f(-).,所以,f()f(-)f(-1).,答案,:,f()f(-)f(3)D.f(2)f(0),【巩固训练】1.(2017武汉高一检测)函数f(x)是定义,【解析】,选,C.,函数,f(x),是定义在,R,上的偶函数,所以,f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),当,x0,时,f(x),单调递,减,所以,f(0)f(2),f(1)f(3),f(2)f(3),所以,f(-2)f(3).,【解析】选C.函数f(x)是定义在R上的偶函数,2.,设,f(x),是定义在,R,上单调递减的奇函数,若,x,1,+x,2,0,x,2,+x,3,0,x,3,+x,1,0,则,(,),A.f(x,1,)+f(x,2,)+f(x,3,)0,B.f(x,1,)+f(x,2,)+f(x,3,)f(x,3,),2.设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数,若x1+x20,【解析】,选,B.,因为,x,1,+x,2,0,所以,x,1,-x,2,又因为,f(x),是定义在,R,上单调递减的奇函数,所以,f(x,1,)-f(x,2,),所以,f(x,1,)+f(x,2,)0,同理,可得,f(x,2,)+f(x,3,)0,f(x,1,)+f(x,3,)0,所以,2f(x,1,)+2f(x,2,)+2f(x,3,)0,所以,f(x,1,)+f(x,2,)+f(x,3,)0,所以x1-x2,【补偿训练】,若函数,f(x),是,R,上的偶函数,且在,0,+),上是减函数,则满足,f()f(a),的实数,a,的取值范围是,_.,【补偿训练】若函数f(x)是R上的偶函数,且在0,+),【解析】,若,a0,f(x),在,0,+),上是减函数,且,f()f(a),得,0a.,若,a0,因为,f()=f(-),则由,f(x),在,0,+),上是减函数,得知,f(x),在,(-,0,上是增函数,.,由于,f(-)-,即,-a0.,由上述两种情况知,a(-,).,答案,:,(-,),【解析】若a0,f(x)在0,+)上是减函数,类型三利用奇偶性和单调性解不等式,【典例,3,】,(2017,岳阳高一检测,),若定义域为,R,的偶函数,f(x),在,0,+),上是增函数,且,f(1)=0,求不等式,f(x)0,的解集,.,【解题指南】,由,f(x),为偶函数,且在,0,+),上是增函数,可得,f(-x)=f(x),且,f(x),在,(-,0,上是减函数,最后利用单调性解不等式,.,类型三利用奇偶性和单调性解不等式,【解析】,若定义域为,R,的偶函数,f(x),在,0,+),上是增函数,则,f(x),在,(-,0,上是减函数,且,f(-x)=f(x),因为,f(1)=0,所以,f(-1)=f(1)=0,综上当,x-1,或,x1,时,f(x)0,即,f(x)0,的解集为,x|x-1,或,x1.,【解析】若定义域为R的偶函数f(x)在0,+)上是增函数,【延伸探究】,1.,若本例中的“偶函数”改为“奇函数”,“f(1)=0”,改为“,f(1-m)f(m)”,求,m,的取值范围,.,【延伸探究】,【解析】,因为,f(x),是奇函数且在,0,+),上是增函数,所以,f(x),在,(-,0),上也是增函数,故由,f(1-m)f(m),得,1-m .,【解析】因为f(x)是奇函数且在0,+)上是增函数,所以,2.,本例中条件不变,求,x,f(x)0,的解集,.,【解析】,因为,f(x),为,R,上的偶函数,所以,f(-1)=f(1)=0,又,f(x),在,0,+),上是增函数,所以,f(x),在,(-,0,上为,减函数,.x,f(x)0,即 所以,x-1,或,0 x1.,所以不等式,x,f(x)0,的解集为,x|x-1,或,0 x1.,2.本例中条件不变,求xf(x)0的解集.,【方法总结】,利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四个步骤,(1),转化,:,利用奇偶性转化成,f(M)f(N),的形式,.,(2),确定,:,确定函数的单调性,.,(3),去“,f”:,去掉“,f”,转化为,MN,或,MN,的形式,.,(4),求解,:,解不等式,(,组,).,【方法总结】利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四个步骤,提醒,:,在利用单调性解不等式时,要注意定义域的限制,以保证转化的等价性,.,提醒:在利用单调性解不等式时,要注意定义域的限制,以保证转化,【补偿训练】,1.,设定义在,-2,2,上的奇函数,f(x),在区间,0,2,上是减函数,若,f(1-m)f(m),求实数,m,的取值范围,.,【补偿训练】1.设定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间,【解析】,因为,f(x),是奇函数且,f(x),在,0,2,上是减函数,所以,f(x),在,-2,2,上是减函数,所以不等式,f(1-m)f(m),等价于,解得,-1m .,【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数,2.,已知函数,f(x),是定义在,-1,1,上的奇函数,且单调递减,若,a,满足,f(1+a)+f(2+3a)0,求实数,a,的取值范围,.,2.已知函数f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且单调递,【解析】,因为定义域为,-1,1,所以,解得 即,-1a-.,因为,f(x),是奇函数,且,a,满足,f(1+a)+f(2+3a)0,所以,f(1+a)-2-3a,即,a-,由得,-2-3a,即a-,
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