第六章用有限元法解平面问题课件

,安徽工业大学,建筑工程学院,弹性力学,主讲：,童中华,交流群：,213438710,1,弹性力学,主讲：童中华,安徽工业大学,弹性力学简明教程,第四版,徐芝纶,弹性力学主讲：童中华弹性力学简明教程,作业概况,缺作业：土,111,孙震,(,缺第,4,次,),土,111,沈恩鑫,(1,2),土,111,张松鹤,(1,2,3,4?);,土,112,陈建军,(4),土,112,张文博,(4),土,112,周子明,(1,2,4);113,杨俊平,(4),土,114,李杰,(1,2,4),土,114,刘洋,(4),土,114,王宁,(4),土,114,翁世强,(4),土,114,韦林辉,(4);,土,115,杨帅,(1,4),土,115,张建,(1),土,115,张洋,(4);,缺第,5,次作业或无效：土,111,张松鹤,土,112,陈建军,土,112,葛帅帅,土,112,黄燕,土,112,张文博,土,114,李杰,土,114,刘洋,土,114,任乾顺,土,114,王宁,土,114,翁世强 土,115,陈彪,土,115,程昀,土,115,黄健,土,115,黄亮,土,115,夏伟胜,土,115,杨帅,土,115,张建,土,115,张洋,得,A,：土,112,夏娟,土,112,夏文静,土,113,高伟利,土,113,刘剑珲,土,113,申文静,土,113,高智,土,114,孙丹丹,土,114,左嫚嫚,土,115,罗微微,土,115,吴琦,作业概况缺作业：土111孙震(缺第4次),土111沈恩鑫,【,习题,4-1】,试考察应力函数能解决图示弹性体的何种受力问题。（必做题，带学号）,a,a,x,y,o,习题图,4-1,习题,4-1,作业点评,图中,其中,M,为学号末位数,+3,，,N=Mod(M,2)+1,，即,N,为,M,对,2,取余再加,1,，如学号末位数为,9,，则得,M=12,N=1,。,【习题4-1】试考察应力函数能解决图示弹性体的何种受力问题。,解：（,1,）将应力函数代入相容方程，得,满足,a,a,x,y,o,习题图,4-1,习题,4-1,作业点评,解：（1）将应力函数代入相容方程，得满足aaxyo习题图 4,（,2,）求解应力分量，得,a,a,x,y,o,习题,4-1,作业点评,习题图,4-1,（2）求解应力分量，得aaxyo习题4-1作业点评习题图 4,（,3,）求边界上的面力，得,a,a,x,y,o,边界上的面力分布如右图所示。,习题,4-1,作业点评,习题图,4-1,（3）求边界上的面力，得aaxyo边界上的面力分布如右图所示,（,3,）求边界上的面力，得,a,a,x,y,o,边界上的面力分布如右图所示。,习题,4-1,作业点评,习题图,4-1,（3）求边界上的面力，得aaxyo边界上的面力分布如右图所示,5+,上一讲回顾,弹性体总的形变势能为,【,位移变分方程,】,在,实际平衡状态发生位移的,变分时,，所引起的形变势能的,变分，,等于外力功的,变分。,【,位移变分法,】,5+上一讲回顾弹性体总的形变势能为【位移变分方程】在实际,第六章 用有限单元法解平面问题,6+,有限元法及软件介绍,6-1,基本量及基本方程的矩阵表示,6-2,有限单元法的概念,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,第六章 用有限单元法解平面问题6+有限元法及软件介绍,6+,有限元法及软件介绍,弹性力学问题的解法,解析方法,：无穷小单元满足平衡微分方程、相容方程，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在连续体上的偏微分方程问题。,有限元法,：有限大单元满足平衡方程、临近单元位移连续，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在有限多个单元上的代数方程问题。,有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。在固体力学、流体力学、传热学等领域皆有广泛的应用。,6+有限元法及软件介绍弹性力学问题的解法解析方法：无穷小,6+,有限元法及软件介绍,结力研究对象,是,离散化结构,。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图,a）。,有限元法研究对象,是,连续体（待离散化）,（图,b,）,。,结构力学结构和有限元法结构的比较,6+有限元法及软件介绍结力研究对象是离散化结构。如桁架，,将连续体变换为离散化结构,（图,c）：,将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用铰连结起来，构成所谓,离散化结构,。,图（,c,）与 图（,a,）相比：,两者都是离散化结构；,区别是：,(a),的,单元是,杆件,，,(c),的,单元是,三角形,块体,（内部,仍是连续体）。,6+,有限元法及软件介绍,将连续体变换为离散化结构（图c）：将连续体划分为有限多个、有,6+,有限元法及软件介绍,有限元法基本思路（按位移求解）,1.,将连续体划分成离散化的单元结构体；,2.,设结点位移为基本未知量，按弹性力学方法对单元进行力学分析，将所有物理量和方程用结点位移表示；,3.,列结点的平衡方程，将单元装配成整体，得到整体结构所要满足的平衡方程，未知量为结点位移；,4.,求解所有结点的位移，计算待求物理量，如关键点的应力，区域平均应力水平，结构变形图等。,6+有限元法及软件介绍有限元法基本思路（按位移求解）1.,（1）具有,通用性,和,灵活性,。,（2）对同一类问题，可以编制出,通用程序,，应用,计算机进行计算。,（3）只要适当加密网格，就可以达到,工程 要求,的精度。,6+,有限元法及软件介绍,有限元法,(,F,inite,E,lement,M,ethod),的特点,FEM,的两种主要导出方法,:,结力法,和变分法。,本章介绍平面问题的,FEM，,仅叙述按位移求解的方法。,采用,矩阵表示，,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。,（1）具有通用性和灵活性。6+有限元法及软件介绍有限元法,6+,有限元法及软件介绍,常见有限元法软件,【ANSYS】,通用商用软件，适用范围广，前后处理模块完备，人机交互友好，容易上手，,参考书多如牛毛,。,提供参数化设计语言（,A,NSYS,P,arameter,D,esign,L,anguage),，可以通过脚本语言编程实现,ANSYS,常规操作，包括输入、输出及设计优化等功能。,向所有领域工作者推荐。,1.,结构静力分析,2.,结构动力学分析,3.,结构非线性分析,4.,动力学分析,5.,热分析,6.,电磁场分析,7.,流体动力学分析,8.,声场分析,9.,压电分析,缺陷：土木材料的本构关系少。,软件主要包括三个部分,：,前处理,模块,，分析,计算,模块，后处理,模块。,6+有限元法及软件介绍常见有限元法软件【ANSYS】通用,6+,有限元法及软件介绍,【MSC.Marc】,既可以像,ANSYS,那样实体建模，也可以采用扩展法建模；具有极强的结构分析能力和非线性计算能力。,（,1,）几乎每种单元都具有处理大变形几何非线性,材料非线性和边界条件非线性以及组合的高度非线性的超强能力。,（,2,）,MARC,的结构分析材料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材料等多种线性和非线复杂材料行为的材料模型。,（,3,）收敛速度快，大概比,ANSYS,快,5,6,倍；,计算土和水的功能很强，提供了土的摩尔库仑模型（线性和非线性）、修正邓肯张模型和修正剑桥模型；计算混凝土的功能不够强；摩擦分析能力不强；,参考书较少,。,向土木专业推荐,6+有限元法及软件介绍【MSC.Marc】既可以像ANS,6+,有限元法及软件介绍,【ADINA】,建模方便；非线性计算能力强，收敛速度和,marc,差不多；没有前后处理，但,有源代码,，适合二次开发。,计算土和水的功能不如,Marc,；计算混凝土的功能比,Marc,强；摩擦分析效果比,Marc,好。,参考书较少,。,向搞,FEM,软件开发工作者推荐,【ABAQUS】,被广泛地认为是功能最强的有限元软件，可以分析复杂的固体力学结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大复杂的问题和模拟高度非线性问题。,ABAQUS,不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究。,参考书较少,。,向资深,FEM,工作者推荐,6+有限元法及软件介绍【ADINA】建模方便；非线性计算,6-1,基本量及基本方程的矩阵表示,体力,面力,应力,应变,位移,几何方程,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示体力几何方程,6-1,基本量及基本方程的矩阵表示,物理,方程,其中,D,为弹性矩阵，对于平面应力问题是,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示物理方程,6-1,基本量及基本方程的矩阵表示,i,j,虚功方程：,外力,在虚位移上的,虚功等于应力,在虚应变上的虚功,有限元中将各种外力以作用于结点上的等效集中力代替，用,结点的平衡方程代替平衡微分方程。结点上的集中力和相应的虚位移可表示为,板的厚度取单位长度,1,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示ij虚功方程：有限元中将,6-2,有限单元法的概念,三角形单元：三角板或三棱柱,大多在顶点设置结点，一个单元有,3,个结点。,有时在三边的中点设置结点，成为六结点三角形单元。,结点一般都作铰结。单元上受到的体力和面力都按静力等效移置到结点上，成为结点载荷。,将单元受力移置到结点上。,单元为三角形的连续体，在结点处受到结点力作用，发生变形，在结点处产生结点位移。,6-2 有限单元法的概念三角形单元：三角板或三棱柱大多在顶,6-2,有限单元法的概念,按位移求解三角形单元的步骤,1.,取三角形单元的,结点位移,为基本未知量，即,d,e,称为单元的,结点位移列阵,。,2.,应用插值公式，由结点位移求出单元的位移函数,插值公式表示单元中的位移分布形式，称为,位移模式。,形函数矩阵,6-2 有限单元法的概念按位移求解三角形单元的步骤1.取,6-2,有限单元法的概念,3.,应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变,4.,应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力,5.,应用虚功方程，由单元的应力求出单元的结点力,应力转换矩阵,单元劲度矩阵,应变转换矩阵,6-2 有限单元法的概念3.应用几何方程，由单元的位移函,6-2,有限单元法的概念,6.,应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，化为,结点荷载,，求出单元的结点荷载为,7a.,结点对单元的作用力为 以坐标正向为正，则单元对结点的反作用力为,装配三角形单元,（列结点平衡方程）,7b.,各结点受单元作用力和单元移置而来的结点荷载，,结点平衡方程为,6-2 有限单元法的概念6.应用虚功方程，将单元中的各种,6-2,有限单元法的概念,结点平衡方程的分量形式,其中 表示对所有环绕,i,结点的单元求和。,式,(i),右边为已知的结点荷载，左边为结点力，可由结点位移表示，因此可得求解整体结点位移的矩阵方程,整体劲度矩阵,整体结点位移列阵,整体结点荷载列阵,6-2 有限单元法的概念结点平衡方程的分量形式其中,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,6-4,单元的应变列阵和应力列阵,6-5,单元的结点力列阵与劲度矩阵,6-6,荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵,6-7,结构的整体分析、结点平衡方程,有限元分析详细步骤,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性6-3单元的位移模式,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,每个单元仍然作为一个连续的、均匀的、各向同性的弹性体，相邻单元有公共结点和公共边。,解题,首要问题：单元的结点位移位移,函数。,假定位移模式，表示单元中的位移函数。,假定位移分量是坐标的线性函数，,三角形单元的位移模式,，可取为,插值公式,(a),在,三个,结点上应等于结点的位移值，由此可求出,6,个待定系数,a,1,a,6,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性每个单元仍然作为一个连,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,用插值公式表示结点的位移，得,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性用插值公式表示结点的位,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,N,i,是,i,点,(x,i,y,i,),函数值对,(x,y),点函数值的贡献加权。,计算面积,A,及,A,i,时以顶点按逆时针排列得到的面积为正。,N,i,N,j,N,m,称为,形,(,态,),函数,，也称为,面积坐标,。,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性Ni是i点(xi,y,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,形函数,N,i,(x,y),的分布规律,位移函数,u,(x,y),的分布规律,位移函数,v,(x,y),的分布规律,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性形函数Ni(x,y)的,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,位移分量用矩阵表示为,形函数矩阵,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性位移分量用矩阵表示为形,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,当单元很小时，,单元中的位移和应变都趋近于常量刚体位移和常量应变，因此,位移模式,必须,能反映单元的,刚体位移。,位移主要来自于其他单元连动，受本单元形变影响较小。,位移模式,必须,能反映单元的,常量应变。,单元内应变变化较小，主要部分为常量应变。,位移模式,应尽可能,反映,位移的连续性。,相邻单元,在公共结点和公共边上的位移应保持一致。,位移模式必须反映弹性体的真实位移形态,是有限元法在单元尺寸逐步取小时收敛的充分必要条件。,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性当单元很小时，单元中的,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,位移模式中的,6,个参数反映了,3,个刚体位移和,3,个常量应变。,代入几何方程（,2-8,）得,因此，,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性位移模式中的6个参数反,6-3,单元的位移模式与解答的收敛性,单元内的位移取值是经过三结点位移的平面，边上位移取值为两端结点的连线，相邻单元在公共边上位移取值必然相同（两端结点相同），因此位移模式反映了相邻单元之间的位移在公共边上连续。,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性单元内的位移取值是经过,6+,小结,有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。,常用有限元软件：,ANSYS,，,MSC.Marc,，,ADINA,，,ABAQUS,有限元分析的步骤,取,结点位移,为基本未知量，求,位移函数,应变,应力,，,求,结点力,，,荷载,向结点移置，装配单元，进行,整体分析,。,N,i,N,j,N,m,称为,形,(,态,),函数。,预习,6.4-6.7,6+小结有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体,