高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动

Xu Zhongfeng,Xian Jiaotong University,2010,University Physics,University Physics,Xian Jiaotong University,Zhongfeng Xu,04/08/2021,四.进动,高速自转的陀螺在陀螺重力对支点,O,的力矩作用下发生进动,陀螺的动量矩近似为,动量矩定理,当,时,那么,只改变方向，不改变大小(进动),进动角速度,W,而且,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,动量矩定理,z,R,v,0,R,/,2,v,=,?,G,M,z,角,动量守恒,mv,0,R,mv,R/2,v,=,2,v,0,例,例,长为,l,、质量为,M,的均质杆，一端悬挂，可绕通过,O,点垂直于纸面的轴转动。今让杆自水平位置无初速地落下，在铅垂位置与质量为,m,的物体,A,作完全非弹性碰撞，如图，碰撞后物体沿摩擦系数为,的水平面滑动。,求,:,物体,A,沿水平面滑动的距离,。,解,如图示，均匀直杆质量为,m,，长为,l,，初始水平静止。轴光滑，,求,杆下摆到角,时，角速度和轴对杆的作用力,解 在杆+地球系统中，只有重力作功，E守恒。,初态,末态,例,令,那么,平行轴定理,A,B,l,m,轴,l,/4,联解,应用质心运动定理求轴反力,联解,A,mg,B,A,B,l,m,例,一均质棒，长度为,L,，质量为,M,，现有一子弹在距轴为,y,处水平射入细棒，子弹的质量为,m,速度为,v,0,。,求,子弹细棒共同的角速度,。,解,其中,m,讨论,水平方向,动量守恒,子弹、细棒系统的动量矩守恒,0,一飞轮如图，,M,R,某一瞬时有一质量为,m,的碎片从飞轮的边缘,飞出，且速度方向正好竖直向上。忽略重力矩的影响,例,解,求,(1),碎片能上升的最大高度,(2)余下局部的角速度，角动量，转动动能,碎片离盘时的初速度为,(1),所以碎片能上升的最大高度为,(2),由碎片和余下局部组成的系统,在碎片离盘的前后不受,对转轴的外力矩的作用。,系统对转轴的角动量守恒,角动量为,转动动能为,如下图，一质量为M的均质方形薄板，其边长为L，铅直,放置着，它可以自由地绕其一固定边转动，转动惯量为,假设有一质量为m，速度为v的小球垂直于板面碰在,板的边缘上。设碰撞是完全弹性的。,碰撞后，小球的速度和板转动的角速度,例,解,求,(1/3),ML,2,选(,子弹+板,)为研究对象,该系统在子弹入射前后对,轴,的角动量守恒,碰撞是完全弹性的，机械能守恒,证明：一个做匀速直线运动的质点，对任一固定点的动量,矩保持不变,O,h,例,证,从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系,统的质量为m,两圆盘中心O 和O相距为d，且d+r R,d,O,O,R,r,挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面,且过中心轴的,转动惯量,例,解,求,使用补偿法,那么填满后的总质量为m+m/,设小圆盘的质量为,m,/,m,求空心圆柱绕中心轴的,转动惯量,例,解,z,R,1,R,2,l,m,求空心圆柱绕中心轴的,转动惯量,例,解,z,R,1,R,2,l,m,为两个实心圆柱绕中心轴的,转动惯量的差值,圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为:,实心圆柱绕中心轴的,转动惯量为:,空心圆柱绕中心轴的,转动惯量为:,如图，两个质量均为m的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的两端。一个用力向上爬，另一个那么抓住绳子不动。假设滑轮的质量和轴上的摩擦力都可忽略，开始时两小孩都不动,(1),哪一个小孩先到达滑轮,(2)假设两个小孩质量不等时情况如何,例,解,求,R,O,(1),以小孩、滑轮作为系统,那么系统对O点的总角动量为,+,而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩，,且合力矩为零,所以系统对,O,点的总角动量守恒,开始时两小孩都不动,所以,随后,但,(2)假设两个小孩质量不等,m,1,m,2,系统所受的外力矩为,系统对,O,点的总角动量为,开始时两小孩都不动,所以,假设,m,1,m,2,假设,m,1,m,2,总之，在任何情况下总是体轻的小孩上升的快，先到达滑轮。,随后,总角动量不守恒,一质量为,M,，长为,l,的均匀细直杆，可绕通过其中心,O,且与杆,垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动。质量为,m,的,子弹沿水平方向射入杆的下端且留在杆内，并使杆摆动，假设,杆摆动的最大偏角为,O,(1),子弹入射前的速度,v,0,(2),最大偏角,时，杆转动的角加速度,例,解,求,选(,子弹+杆,)为研究对象,该系统在子弹入射前后对,O,点的角动量守恒,杆上摆的过程中，仅有重力矩作功，机械能守恒,(1),(2),