数模(差分方程模型)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学建模,*,7.1 差分方程基本知识,7.2 市场经济中的蛛网模型,7.3 减肥计划节食与运动,7.4 差分形式的阻滞增长模型,7.5,按年龄分组的种群增长,第七章 差分方程模型,数学建模,7.1 差分方程基本知识第七章 差分方程模型,1,7.1 差分方程基本知识,1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。,差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。,数学建模,7.1 差分方程基本知识1、差分方程：差分方程反映的是关,2,Fibonacci 数列,问题,13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书中记载着这样一个有趣的问题：,一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔.若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？,月份,0 1 2 3 4 5 6 7 ,幼兔,1 0 1 1 2 3 5 8 ,成兔,0 1 1 2 3 5 8 13 ,总数,1 1 2 3 5 8 13 21 ,数学建模,Fibonacci 数列问题 13世纪意大利著名数学,3,将兔群总数记为,f,n,n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列,f,n,满足下列递推关系：,f,0,=,f,1,=1,f,n+2,=,f,n+1,+,f,n,n=0,1,2,这个数列称为Fibonacci数列.Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.,Fibonacci数列的一些实例.,1.蜜蜂的家谱,2.钢琴音阶的排列,3.树的分枝,4.杨辉三角形,数学建模,将兔群总数记为 fn,n=0,1,2,，经过观察,4,日常的经济问题中的差分方程模型,1.银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用a,n,表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：,a,0,a,1,a,2,a,3,a,n,设r为年利率，由于a,n+1,=a,n,+r a,n,因此存款问题的数学模型是：,a,0,=1000,a,n+1,=(1+r)a,n,n=1,2,3,数学建模,日常的经济问题中的差分方程模型1.银行存款与利率,5,2.家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为a,n,，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：,a,0,=x,a,n+1,=(1+r)a,n,+x,n=0,1,2,3,数学建模,2.家庭教育基金 从1994年开始，我国逐步实行,6,3.抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a,0,，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为a,n,，则,a,0,=200000,a,1,=(1+r)a,0,-x,a,2,=(1+r)a,1,-x,a,n,=(1+r)a,n-1,-x,n=1,2,3,数学建模,3.抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需,7,一阶线性差分方程,在上述模型中，给出了a,n+1,与a,n,之间的递推公式.将它们写成统一的形式：,a,0,=c,a,n+1,=,a,n,+b,n=0,1,2,3,称此类递推关系为,一阶线性差分方程,.当b=0时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程.,定义1,对任意数列A=a,1,a,2,a,n,，其差分算子,定义如下：,a,1,=a,2,-a,1,a,2,=a,3,-a,2,a,n,=a,n+1,-a,n,定义2,对数列A=a,1,a,2,a,n,，其一阶差分的差分称为二阶差分,记为,2,A=(A).即：,2,a,n,=a,n+1,-a,n,=(a,n+2,-a,n+1,)-(a,n+1,-a,n,)=a,n+2,-2a,n+1,+a,n,一般地，可以定义n阶差分.,数学建模,一阶线性差分方程 在上述模型中，给出了an+1与an,8,差分方程,a,n+1,=a,n,+b的解,定理1,一阶线性差分方程,a,n+1,=a,n,+b 的通解是：,定理2,对一阶线性差分方程,a,n+1,=a,n,+b,若|1,则 a,n,逐渐远离平衡解 b/(1-)(发散型不动点).,数学建模,差分方程 an+1=an+b的解 定理1 一阶,9,则被称为方程对应的,齐次线性差分方程,。,若所有的,a,i,(,t,),均为与,t,无关的常数，则称其为,常系数差分方程,，即,n,阶常系数线性差分方程可分成,（7.1）,的形式，其对应的齐次方程为,（7.2）,容易证明，若序列,与,均为方程（,7.2,）的解，则,也是方程（,7.2,）的解，其 中,c,1,、,c,2,为任意常数，这说明，,齐次方程的解构成一个,线性空间,（解空间）。,此规律对于（,7.1,）也成立。,数学建模,则被称为方程对应的 齐次线性差分方程。若所有的 ai(t),10,方程（,7.1,）可用如下的代数方法求其通解：,（,步一,）先求解对应的特征方程,（7.3）,（,步二,）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(,7.2）,的通解,情况1,若特征方程（,7.3,）有,n,个互不相同的实根,，则齐次方程（,7.2,）的通解为,(,C,1,C,n,为任意常数),，,情况2,若,是特征方程（,7.3,）的,k,重根，通解中对应,于,的项为,为任意常数，,i,=1,k,。,情况3,若特征方程（,7.3,）有单重复根,通解中对应它们的项为,为,的模，,为,的幅角。,数学建模,方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解：（7.3）（,11,情况4,若,为特征方程（,7.3,）的,k,重复根，则通,解对应于它们的项为,为任意常数，,i,=1,2,k,。,.若,y,t,为方程(,7.2,)的通解,则非齐次方程(,7.1,)的通解为,（,步三,）求非齐次方程(,7.1,)的一个特解,求非齐次方程（,7.1,）的特解一般要用到,常数变易法,，计算较繁。对特殊形式 的,b,(,t,),也可使用,待定系数法,。,数学建模,情况4 若,12,初始条件为y(0)=2和y(1)=3，求方程的齐次解。,例2.系统的差分方程,特征根为,于是,由初始条件,解得：,故齐次解,解：特征方程为,数学建模,初始条件为y(0)=2和y(1)=3，求方程的齐次解。例2.,13,2、特解,特解得求法：将激励x(n)代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。,（1）自由项为n,k,的多项式,1不是特征根：,1是K重特征根：,数学建模,2、特解 特解得求法：将激励x(n)代入差分方程右端得到,14,（2）自由项为,不是特征根，则特解,是特征单根，则特解,是k重特征根，则特解,数学建模,（2）自由项为 不是特征根，则特解 是特征单根，,15,（3）自由项为正弦 或余弦 表达式,（4）自由项为正弦,不是特征根,是特征根,数学建模,（3）自由项为正弦 或余弦 表达式,16,例3：求下示差分方程的完全解,其中激励函数 ，且已知,解：特征方程：,齐次通解：,将 代入方程右端，得,1,2,),1,(,),1,(,),(,2,2,-,=,-,-,=,-,-,n,n,n,n,x,n,x,设特解为 形式，代入方程得,数学建模,例3：求下示差分方程的完全解其中激励函数,17,数学建模,18,数学建模,19,日常的经济问题中的差分方程模型,1.银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%.用a,n,表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：,a,0,a,1,a,2,a,3,a,n,设r为年利率，由于a,n+1,=a,n,+r a,n,因此存款问题的数学模型是：,a,0,=1000,a,n+1,=(1+r)a,n,n=1,2,3,数学建模,日常的经济问题中的差分方程模型1.银行存款与利率,20,2.家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度.为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金.若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为a,n,，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：,a,0,=x,a,n+1,=(1+r)a,n,+x,n=0,1,2,3,数学建模,2.家庭教育基金 从1994年开始，我国逐步实行,21,家庭教育基金模型的解,由 a,0,=x,a,n+1,=(1+r)a,n,+x,n=0,1,2,3,得通解:,将 a,0,=x,=1+r,b=x 代入,得 c=x(1+r)/r,因此方程的特解是:,将 a,18,=100000,r=0.03 代入计算出 x=3981.39.,数学建模,家庭教育基金模型的解 由 a0=x,an+,22,3.抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元.他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款.若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a,0,，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为a,n,，则,a,0,=200000,a,1,=(1+r)a,0,-x,a,2,=(1+r)a,1,-x,a,n,=(1+r)a,n-1,-x,n=1,2,3,数学建模,3.抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需,23,购房抵押贷款模型的解,由 a,0,=200000,a,n+1,=(1+r)a,n,-x,n=0,1,2,3,将,=1+r,b=-x 代入得到方程的特解:,若在第N个月还清贷款，令 a,N,=0,得:,将 a,0,=200000,r=0.006,N=20*12=240 代入计算出 x=1574.70,数学建模,购房抵押贷款模型的解 由 a0=200000,24,4.分期付款,小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售.一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可.同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%.那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？,经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同.设第n个月后的欠款额为a,n,，则,a,0,=8000,a,n+1,=(1+r)a,n,-300,n=0,1,2,3,贷款模型,a,0,=8000,a,n+1,=(1+0.15/12)a,n,-x,n=0,1,2,3,数学建模,4.分期付款 小王看到一则广告：商场对电脑实行分,25,7.2 市场经济中的蛛网模型,问,题,供大于求,现,象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,价格下降,减少产量,增加产量,价格上涨,供不应求,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,数学建模,7.2 市场经济中的蛛网模型问 供大于求现商品数量与价格,26,蛛 网 模 型,g,x,0,y,0,P,0,f,x,y,0,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,供应函数,需求函数,f,与,g,的交点,P,0,(,x,0,y,0,)平衡点,一旦,x,k,=,x,0,，则,y,k,=,y,0,x,k+,1,x,k+,2,=x,0,y,k+,1,y,k+,2,=y,0,数学建模,蛛 网 模 型gx0y0P0fxy0 xk第k时段商品数量；,27,x,y,0,f,g,y,0,x,0,P,0,设,x,1,偏离,x,0,x,1,x,2,P,2,y,1,P,1,y,2,P,3,P,4,x,3,y,3,P,0,是稳定平衡点,P,1,P,2,P,3,P,4,P,0,是不稳定平衡点,x,y,0,y,0,x,0,P,0,f,g,曲线斜率,蛛 网 模 型,数学建模,xy0fgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2,28,在,P,0,点附近用直线近似曲线,P,0,稳定,P,0,不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,数学建模,在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方,29,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,结果解释,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,经济稳定,结果解释,数学建模,商品数量减少1单位,价格上涨幅度 价格上涨1,30,经济不稳定时政府的干预办法,1.使,尽量小，如,=0,以行政手段控制价格不变,2.使,尽量小，如,=0,靠经济实力控制数量不变,x,y,0,y,0,g,f,x,y,0,x,0,g,f,结果解释,需求曲线变为水平,供应曲线变为竖直,数学建模,经济不稳定时政府的干预办法1.使 尽量小，如=0,31,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x,0,为平衡点,研究平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件,数学建模,模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的,32,方程通解,(,c,1,c,2,由初始条件确定),1,2,特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,数学建模,方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2特征根，即,33,7.4 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指数,BMI=,w,(kg)/,l,2,(m,2,).,18.525 超重;BMI30 肥胖.,数学建模,7.4 减肥计划节食与运动背景 多数减肥食品达不到减肥,34,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重,每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,数学建模,模型假设1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体,35,某甲身高1.70米，体重100千克，BMI=34.6.目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,数学建模,某甲身高1.70米，体重100千克，BMI=34.6.目前每,36,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w,(,k,)第,k,周(末)体重,c,(,k,)第,k,周吸收热量,代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡,w,=100千克不变,数学建模,确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/1,37,第一阶段:,w,(,k,)每周减1千克,c,(,k,)减至下限10000千卡,第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,数学建模,第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限100,38,第二阶段：每周,c,(,k,)保持,C,m,w,(,k,)减至75千克,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,数学建模,第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,39,第二阶段：每周,c,(,k,)保持,C,m,w,(,k,)减至75千克,第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按,减少至75千克。,数学建模,第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,40,运动,t,=24(,每周,跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,根据资料每小时每千克体重消耗的热量,(千卡):,跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速)游泳(50米/分),7.0 3.0 4.4 2.5 7.9,t,每周运动时间(小时),基本模型,数学建模,运动 t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14,41,3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量,c,(,k,)保持某常数,C,，使体重,w,不变,不运动,运动(内容同前),数学建模,3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k),42,7.3 差分形式的阻滞增长模型,连续形式,的阻滞增长模型(Logistic,模型),t,x,N,x=N,是,稳定平衡点(与,r,大小无关),离散形式,x,(,t,)某种群,t,时刻的数量(人口),y,k,某种群第,k,代的数量(人口),若,y,k,=,N,则,y,k+,1,y,k+,2,=,N,讨论平衡点的稳定性，即,k,y,k,N,？,y,*,=N,是平衡点,数学建模,7.3 差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(,43,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点,y,*,=N,讨论,x,*,的稳定性,变量代换,(2)的平衡点,数学建模,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程,44,(1)的平衡点,x,*,代数方程,x=f,(,x,)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x,*也是(2)的平衡点,x,*是(2)和(1)的稳定平衡点,x,*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,一阶非线性差分方程,的平衡点及稳定性,数学建模,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根稳定性判断,45,0,1,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,x,*,稳定,x,*,不稳定,另一平衡点为,x=,0,不稳定,数学建模,01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*稳定x*不稳定另一,46,0,1/2,1,0,1,的平衡点及其稳定性,数学建模,01/2101的平衡点及其稳定性,47,初值,x,0,=0.2,数值计算结果,b,3,x,b,=3.3,x,两个极限点,b,=3.45,x,4个极限点,b,=3.55,x,8个极限点,0.4118,100,0.4118,99,0.4118,98,0.4118,97,0.4118,96,0.4118,95,0.4118,94,0.4118,93,0.4118,92,0.4118,91,0.3796,3,0.3366,2,0.2720,1,0.2000,0,b,=1.7,k,0.6154,0.6154,0.6154,0.6154,0.6154,0.6154,0.6154,0.6154,0.6154,0.6154,0.6049,0.6317,0.4160,0.2000,b,=2.6,0.8236,0.4794,0.8236,0.4794,0.8236,0.4794,0.8236,0.4794,0.8236,0.4794,0.4820,0.8224,0.5280,0.2000,b,=3.3,0.8469,0.4327,0.8530,0.4474,0.8469,0.4327,0.8530,0.4474,0.8469,0.4327,0.4322,0.8532,0.5520,0.2000,b,=3.45,0.8127,0.3548,0.8874,0.5060,0.8278,0.3703,0.8817,0.5405,0.8127,0.3548,0.3987,0.8711,0.5680,0.2000,b,=3.55,数学建模,初值 x0=0.2数值计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列,混沌现象,4倍周期收敛,数学建模,倍周期收敛的进一步讨论出现4个收敛子序列 x4k,x4k+,51,的收敛、分岔及混沌现象,b,数学建模,的收敛、分岔及混沌现象b,52,7.4,按年龄分组的种群增长,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为,n,个年龄组，记,i=,1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记,k=,1,2,以雌性个体数量为对象,第,i,年龄组1雌性个体在1时段内的,繁殖率,为,b,i,第,i,年龄组在1时段内的死亡率为,d,i,存活率,为,s,i,=,1,-d,i,数学建模,7.4 按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不,53,假设,与,建模,x,i,(,k,),时段,k,第,i,年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个,b,i,0),数学建模,假设xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量按年龄组的分布,54,稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根,1,，,若L矩阵存在,b,i,b,i,+1,0,则,P,的第1列是,x,*,特征向量,c,是由,b,i,s,i,x,(0),决定的常数,且,解释,L,对角化,数学建模,稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特征根1，若L矩阵,55,稳态分析,k,充分大,种群按年龄组的分布,种群按年龄组的分布趋向稳定，,x,*,称稳定分布,与初始分布无关。,各年龄组种群数量按同一倍数增减，,称固有增长率,与基本模型,比较,3）,=1时,各年龄组,种群,数量不变,数学建模,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布,56,1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1,稳态分析,存活率,s,i,是同一时段的,x,i+,1,与,x,i,之比,（与,s,i,的定义 比较）,3）,=1时,数学建模,1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析存活率,57,