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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,组 合,组 合,问题一:,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天的一项活动,其中,1,名同学参加上午的活动,,1,名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?,问题二:,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天一项活动,有多少种不同的选法?,甲、乙;甲、丙;乙、丙,3,问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,并成一组,问题二,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,按照一定的顺序排成一列,.,问题一,排列,组合,有,顺,序,无,顺,序,从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二从已知,一般地,从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素,并成一组,,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,.,排列与组合的概念有什么共同点与不同点?,组合定义,:,?,一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一,组合定义,:,一般地,从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素,并成一组,,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,排列定义,:,一般地,从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素,,按照一定的顺序排成一列,,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,排列,.,共同点,:,都要“从,n,个不同元素中任取,m,个元素”,不同点,:,排列,与元素的顺序有关,,而组合,则与元素的顺序无关,.,组合定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素并,思考一,:,a,B,与,B,a,是相同的排列 还是相同的组合,?,为什么,?,思考二,:,两个相同的排列有什么特点,?,两个相同的组合呢,?,)元素相同;,)元素排列顺序相同,.,元素相同,构造排列分成两步完成,先取后排;而构造组合就是其中一个步骤,.,思考三,:,组合与排列有联系吗,?,思考一:aB与Ba是相同的排列 还是相同的组合?为什么?,判断下列问题是组合问题还是排列问题,?,(1),设集合,A=,a,b,c,d,e,,则集合,A,的含有,3,个元素的子集有多少个,?,(2),某铁路线上有,5,个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票,?,有多少种不同的火车票价?,组合问题,排列问题,(3)10,人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次,?,组合问题,组合问题,组合是选择的结果,排列,是选择后再排序的结果,.,判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A=a,1.,从,a,b,c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是,:,ab,ac,bc,2.,已知,4,个元素,a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合,.,a,b c d,b,c d,c,d,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3,个,),(6,个,),1.从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有,从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素的所有组合的个数,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,组合数,,用符号 表示,.,如,:,从,a,b,c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是,:,如,:,已知,4,个元素,a,、,b,、,c,、,d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是:,组合数,注意:,是一个数,应该把它与“组合”区别开来,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫,1.,写出从,a,b,c,d,四个元素中任取三个元素的所有组合,abc,,,abd,,,acd,,,bcd.,b,c,d,d,c,b,a,c,d,1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合a,组合,排列,abc,abd,acd,bcd,abc bac cab,acb bca cba,abd bad dab,adb bda dba,acd cad dac,adc cda dca,bcd cbd dbc,bdc cdb dcb,(三个元素的),1,个组合,对应着,6,个排列,你发现了什么,?,组合排列abcabdacdbcdabc bac,对于,,我们可以按照以下步骤进行,对于,我们可以按照以下步骤进行,组合数公式,排列与组合是有区别的,但它们又有联系,一般地,求从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数,可以分为以下,2,步:,第,1,步,先求出从这,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数 ,第,2,步,求每一个组合中,m,个元素的全排列数,根据分步计数原理,得到:,因此:,这里,m,n,是自然数,且,m,n,,这个公式叫做,组合数公式,组合数公式 排列与组合是有区别的,但它们又有联系,组合数公式,:,从,n,个不同元中取出,m,个元素的排列数,组合数公式:从 n个不同元中取出m个元素的排列数,例题分析,例,1.,计算:,(,1,)和;(,2,)和,组合数的性质,(,1,),(,2,),例题分析例1.计算:组合数的性质(1)(2),例,2,计算:,(,1,),(,2,),(,3,),例2计算:(1)(2)(3),练习,(,1,)求 的值,(,2,)求满足 的,x,值,(,3,)求证:,(,4,)求 的值,161700,5,或,2,511,练习(2)求满足 的x值(3)求,例,3.,例3.,1.,理解组合的定义,区别排列与组合之间的关系,.,(,2,)同是从,n,个元素中取,m,个元素,但是组合,一旦取完就结束,而排列还要继续进行排序,(,1,)有序与无序的区别,2.,理解组合数的的定义与公式,(,1,),(,2,),1.理解组合的定义,区别排列与组合之间的关系.(2)同是从n,有关组合的应用题,例,1,一位教练的足球队共有,17,名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是,11,人问:,(,1,)这位教练从这,17,名学员中可以形成多少种学员上场方案?,(,2,)如果在选出,11,名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?,有关组合的应用题 例1一位教练的足球队共有17名初级学员,,例,2,(,1,)平面内有,10,个点,以其中每,2,个点为端点的线段共有多少条?,(,2,)平面内有,10,个点,以其中每,2,个点为端点的有向线段共有多少条?,例,2,有,4,本不同的书,一个人去借,有多少种不同的借法?,例,3,有,13,本不同的书,其中小说,6,本,散文,4,本,诗歌,3,本,某人借,6,本,其中有,3,本小说,,2,本散文,,1,本诗歌,问有几种借法?,例2(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有,(,1,)某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中:,例,1,一个口袋内装有大小相同的,7,个白球和,1,个黑球,,(,1,)从口袋内取出,3,个球,共有多少种取法?,(,2,)从口袋内取出,3,个球,使其中含有,1,个黑球,有多少种取法?,(,3,)从口袋内取出,3,个球,使其中不含黑球,有多少种取法?,(1)某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中:,例,2,100,件产品中,有,98,件合格品,,2,件次品从这,100,件产品中任意抽出,3,件,(,1,)一共有多少种不同的抽法;,(,2,)抽出的,3,件都不是次品的抽法有多少种?,(,3,)抽出的,3,件中恰好有,1,件是次品的抽法有多少种?,(,4,)抽出的,3,件中至少有,1,件是次品的取法有多少种?,例2100件产品中,有98件合格品,2件次品从这100件产,(,2,)某些特殊元素有特殊归类问题:,例,1,平面上有五个蓝点和七个红点,其中有三个红点与两个兰点在同一条直线上,除此以外,再无三点共线,问过两个不同颜色的点,共可作多少条直线?,例,2,有划船运动员,10,人,其中人会划右舷,人会划左舷,其余人都会划,现要从中选出人,平均分配在船的两舷,有多少种选法?,(2)某些特殊元素有特殊归类问题:,(,3,)组合中的有重复问题:,例,1,由数,1,、,2,、,3,、,4,可组成多少个不同的和?,例,2,以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥?,(,4,)“不相邻”的组合问题:,例,1,现有十只灯,为节约用电,将其中的三只灯关掉,但不能关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的灯,关灯方法有多少种?,例,2,某仪表显示屏上一排个小孔,每个小孔可显示红与黄两种颜色信号,若每次有三个小孔同时给出信号,但相邻的两孔不能同时给出信号,求此显示屏可显示多少种不同的信号?,(3)组合中的有重复问题:(4)“不相邻”的组合问题:,3,“名额分配”问题:,例,1,有,10,个参加数学竞赛的名额,要分给,7,所学校,每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法?,3“名额分配”问题:,例,3,第,17,届世界杯足球赛于,2002,年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有,32,支球队有幸参加,他们先分成,8,个小组循环赛,决出,16,强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级,16,强),这支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠亚军,此外还要决出第三、四名,问这次世界杯总共将进行多少场比赛?,例3第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、,例,1.,在产品检验中,常从产品中抽出一部分,进行检查,.,现有,100,件产品,其中,3,件次品,,97,件,正品,.,要抽出,5,件,进行检查,根据下列各种要求,,各有多少种不同的抽法?,(1),无任何限制条件;,(2),全是正品;,(3),只有,2,件正品;,(4),至少有,1,件次品;,(5),至多有,2,件次品;,(6),次品最多,.,解答:,(,1,),(,2,),(,3,),(,4,),,或,(,5,),(,6,),例1.在产品检验中,常从产品中抽出一部分(1)无任何,1.,有,10,道试题,从中选答,8,道,共有,种选法、又若其中,6,道必答,共有,不同的种选法,.,2.,某班有,54,位同学,正、副班长各,1,名,现选派,6,名同学,参加某科课外小组,在下列各种情况中,各有多少种,不同的选法?,(,1,)无任何限制条件;,(,2,)正、副班长必须入选;,(,3,)正、副班长只有一人入选;,(,4,)正、副班长都不入选;,(,5,)正、副班长至少有一人入选;,(,5,)正、副班长至多有一人入选;,练习:,小结:至多至少问题常用分类的或排除法,.,1.有10道试题,从中选答8道,共有 种选,例,2,从数字,1,2,5,7,中任选两个,练习,有不同的英文书,5,本,不同的中文书,7,本,从中选出两本书,.,(1),若其中一本为中文书,一本为英文书,.,问共有多少种选法,?,(1),可以得到多少个不同的和,?,(2),可以得到多少个不同的差,?,(2),若不限条件,问共有多少种选法,?,6,个,12,个,35,种,66,种,例2 从数字1,2,5,7中任选两个,例,4,有,12,名划船运动员,其中,3,人只会划左舷,4,人只会划右舷,其它,5,人既会划左舷,又会划,右舷,现要从这,12,名运动员中选出,6,人平均分,在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法,?,例,3,在,MON,的边,ON,上有,5,个异于,O,点的点,OM,上有,4,个异于,O,点的点,以这十个点,(,含,O,),为,顶点,可以得到多少个三角形,?,N,O,M,A,B,C,D,E,F,G,H,I,例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,例3 在,练习,如图,在以,AB,为直径的半圆周上有异于,A,B,的六个点,C,1,C,2,C,3,C,4,C,5,C,6,AB,上有异于,A,B,的四个点,D,1,D,2,D,3,D,4,问,(1),以这,10,个点中的,3,个点为顶点可作多少个三角形,?,(2),以图中,12,个点,(,包括,A,B,),中的四个为顶点,可作多少个四边形,?,A,B,D,1,D,2,D,3,D,4,C,1,C,2,C,3,C,4,C,5,C,6,练习 如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六个点,1.,排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有:选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题,解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理,只选不排,合理分类、分步,.,2.,理解组合数的性质,3.,解受条件限制的组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法),.,思悟小结,P,27,习题,1.2 10,、,11,1.排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有:,习题课,习题课,组合与组合数,通过前面的学习,我们已经知道了,组合的定义,组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上,继续学习它们的一些应用,(一)组合数的公式及其性质:,组合数性质,1,:,2,:,特别地:,组合与组合数 通过前面的学习,我们已经知道了组,7,0,1,或,5,练习一,(,5,)求 的值,(,1,),(,2,),(,3,),(,4,),511,701,或5练习一(5)求,例,1,、计算:,例,2.,甲、乙、丙、丁,4,支足球队举行单循环赛,,(,1,)列出所有各场比赛的双方;,(,2,)列出所有冠亚军的可能情况,.,(,2,)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,乙甲,、,丙甲,、,丁甲,、,丙乙,、,丁乙,、,丁丙,(,1,)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解:,(,3,)已知:,求,n,的值,35,(2),120,例1、计算:例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环,例,1,6,本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:,(,1,)分给甲、乙、丙三人,每人,2,本;,例题解读:,解:,(,1,)根据分步计数原理得到:,种,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:例题解读,例,1,6,本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:,(2),分为三份,每份,2,本;,解析:,(2),分给甲、乙、丙三人,每人两本有 种,方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每,份两本,设有,x,种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、,丙三名同学有 种方法根据分步计数原理,所以,可得:,例題解读,:,因此,分为三份,每份两本一共有,15,种方法,所以,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:(2)分,点评:,本题是分组中的,“均匀分组”,问题,一般地:将,mn,个元素均匀分成,n,组(每组,m,个元,素),共有,种方法,点评:本题是分组中的“均匀分组”问题 一般地:将mn个元素,例,1,6,本不同的书,按下列要求各有多少种不同,的选法:,(,3,)分为三份,一份,1,本,一份,2,本,一份,3,本;,(,4,)分给甲、乙、丙三人,一人,1,本,一人,2,本,,一人,3,本;,解:,(,3,)这是,“不均匀分组”,问题,一共有,种方法,(,4,)在(,3,)的基础上再进行全排列,所以一共有 种方法,例题解读:,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同(3)分为三份,,例,1,6,本不同的书,按下列要求各有多少种不同,的选法:,(,5,)分给甲、乙、丙三人,每人至少,1,本,解:,(,5,)可以分为三类情况:,“2,、,2,、,2,型”的分配情况,有,种方法;,“1,、,2,、,3,型”的分配情况,有,种方法;,“1,、,1,、,4,型”,有 种方法,,所以,一共有,90+360+90,540,种方法,例题解读:,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同解:(5)可以分,元素相同问题隔板策略,例,.,有,10,个运动员名额,再分给,7,个班,每,班至少一个,有多少种分配方案?,解:因为,10,个名额没有差别,把它们排成,一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法共有,_,种分法。,一班,二班,三班,四班,五班,六班,七班,将,n,个相同的元素分成,m,份(,n,,,m,为正整数),每份至少一个元素,可以用,m-1,块隔板,插入,n,个元素排成一排的,n-1,个空隙中,所有分法数为,元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额,再分给7个班,每,例,2,、,(,1,),10,个优秀指标分配给,6,个班级,每个班级至少一个,共有多少种不同的分配方法?,(,2,),10,个优秀指标分配到,1,、,2,、,3,三个班,若名,额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?,分析,:,(,1,)这是同种元素的“不平均分组”问题,.,本小题可构造数学模型,用,5,个隔板插入,10,个指标中的,9,个空隙,既有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为,1,班的指标,第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为,2,班的指标,以此类推,因此共有 种分法,.,例题解读:,例2、(1)10个优秀指标分配给6个班级,每个班级至少一个,,(,2,)先拿,3,个指标分给二班,1,个,三班,2,个,,然后,问题转化为,7,个优秀指标分给三个班,,每班至少一个,.,由(,1,)可知共有 种分法,注:第一小题也可以先给每个班一个指标,然后,将剩余的,4,个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类,共有 种分法,.,例题解读:,(2)先拿3个指标分给二班1个,三班2个,注:第一小题也可以,例,3,(,1,)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共,有多少种不同的放法?,(,2,)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空,盒的放法有多少种?,解:,(,1,)根据分步计数原理:一共有 种方法;,(,2,)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有 种方法;第二步:从四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法,所以,一共有 ,144,种方法,例题解读,例3(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共解:(2),例,4,马路上有编号为,1,,,2,,,3,,,,,10,的十盏路,灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中,3,盏灯,关掉,但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏,在,两端的灯都不能关掉的情况下,有多少种不同的,关灯方法?,解:,(插空法)本题等价于在,7,只亮着的路灯之间,的,6,个空档中插入,3,只熄掉的灯,故所求方法总数,为 种方法,例题解读:,例4马路上有编号为1,2,3,10的十盏路解:(插空法,例,5,一生产过程有,4,道工序,每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等,6,名工人中安排,4,人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排,1,人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排,1,人,则不同的安排方案共有(),A,24,种,B,36,种,C,48 D,72,种,B,例题解读:,例5 一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看现从,例,6,甲、乙、丙,3,位志愿者安排在周一至周五的,5,天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有(),A.20,种,B.30,种,C.40,种,D.60,种,A,例6甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志,例,7,某人有,4,种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题(,16,)图所示的,6,个点,A,、,B,、,C,、,A,1,、,B,1,、,C,1,上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有,种(用数字作答),.,216,例7某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题,1,5,个人分,4,张同样的足球票,每人至多分一张,而且,票必须分完,那么不同的分法种数是,2,某学生要邀请,10,位同学中的,6,位参加一项活动,其中,有,2,位同学要么都请要么都不请,共有,种邀请方法,.,3.,一集合有,5,个元素,则该集合的非空真子集共有,个,.,4.,平面内有两组平行线,一组有,m,条,另一组有,n,条,这,两组平行线相交,可以构成,个平行四边形,.,5,空间有三组平行平面,第一组有,m,个,第二组有,n,个,第三组有,t,个,不同两组的平面都相交,且交线不都平行,可构成,个平行六面体,98,30,课堂练习:,15个人分4张同样的足球票,每人至多分一张,而且2某学生,6.,高二某班第一小组共有,12,位同学,现在要调换座位,,使其中有,3,个人都不坐自己原来的座位,其他,9,人的座位,不变,共有,种不同的调换方法,7.,某兴趣小组有,4,名男生,,5,名女生:,(,1,)从中选派,5,名学生参加一次活动,要求必须有,2,名男,生,,3,名女生,且女生甲必须在内,有,种选派方法;,(,2,)从中选派,5,名学生参加一次活动,要求有女生但人,数必须少于男生,有,_,种选派方法;,(,3,)分成三组,每组,3,人,有,_,种不同分法,.,36,45,280,课堂练习:,6.高二某班第一小组共有12位同学,现在要调换座位,7.某兴,8.,九张卡片分别写着数字,0,,,1,,,2,,,,,8,,从中取出三,张排成一排组成一个三位数,如果,6,可以当作,9,使用,问,可以组成多少个三位数?,解:,可以分为两类情况:,若取出,6,,则有 种方法;,若不取,6,,则有 种方法,,根据分类计数原理,一共有,+,602,种方法,课堂练习:,8.九张卡片分别写着数字0,1,2,8,从中取出三解:可,9.,某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选,2,荤,2,素共,4,种不同的品种,.,现在餐厅准备了,5,种不同的荤菜,若要保证每位顾客有,200,种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜,_,种,.(,结果用数值表示,),7,【解题回顾】由于化为一元二次不等式,n,2,n,400,求解较繁,考虑到,n,为正整数,故解有关排列、组合的不等式时,常用估算法,.,9.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤,10.,某电视台邀请了,6,位同学的父母共,12,人,请这,12,位家长中的,4,位介绍对子女的教育情况,如果这,4,位中恰有一对是夫妻,那么不同选择方法的种数是,(),(A)60 (B)120 (C)240 (D)270,C,11.,某次数学测验中,学号是,i,(,i=,1,、,2,、,3,、,4),的四位同学的考试成绩,f,(,i,)86,87,88,89,90,,且满足,f,(1),f,(2),f,(3),f,(4),,则四位同学的成绩可能情况有,(),(A)5,种,(B)12,种,(C)15,种,(D)10,种,C,10.某电视台邀请了6位同学的父母共12人,请这12位家长,B,12.,表达式 可以作为下列哪一问题的答案,(),(A),n,个不同的球放入不同编号的,n,个盒子中,只有一个盒子放两个球的方法数,(B),n,个不同的球放入不同编号的,n,个盒子中,只有一个盒子空着的方法数,(C),n,个不同的球放入不同编号的,n,个盒子中,只有两个盒子放两个球的方法数,(D),n,个不同的球放入不同编号的,n,个盒子中,只有两个盒子空着的方法数,B12.表达式 可以作,1,按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步,是处理组合应用题的基本思想方法;,2,对于有限制条件的问题,要优先安排特殊元素、特殊位置;,3,对于含“至多”、“至少”的问题,宜用排除法或分类解决;,4,按指定的一种顺序排列的问题,实质是组合问题,.,课堂小结,1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步,是处理组,5.,需要注意的是,均匀分组(不计组的顺序)问题不是简单的组合问题,如:将,3,个人分成,3,组,每组一个人,显然只有,1,种分法,而不是 种,一般地,将,m,、,n,个不同元素均匀分成,n,组,有,种分法;,5.需要注意的是,均匀分组(不计组的顺序)问题不是简单的组合,高中数学组合公开课课件,
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