高中数学《组合》公开课课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,组 合,组 合,问题一：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天的一项活动，其中,1,名同学参加上午的活动，,1,名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,并成一组,问题二,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,按照一定的顺序排成一列,.,问题一,排列,组合,有,顺,序,无,顺,序,从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二从已知,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素,并成一组,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,.,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,组合定义,:,?,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一,组合定义,:,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素,并成一组,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,排列定义,:,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素，,按照一定的顺序排成一列,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,排列,.,共同点,:,都要“从,n,个不同元素中任取,m,个元素”,不同点,:,排列,与元素的顺序有关，,而组合,则与元素的顺序无关,.,组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并,思考一,:,a,B,与,B,a,是相同的排列 还是相同的组合,?,为什么,?,思考二,:,两个相同的排列有什么特点,?,两个相同的组合呢,?,）元素相同；,）元素排列顺序相同,.,元素相同,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤,.,思考三,:,组合与排列有联系吗,?,思考一:aB与Ba是相同的排列 还是相同的组合?为什么?,判断下列问题是组合问题还是排列问题,?,(1),设集合,A=,a,b,c,d,e,，则集合,A,的含有,3,个元素的子集有多少个,?,(2),某铁路线上有,5,个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票,?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10,人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次,?,组合问题,组合问题,组合是选择的结果，排列,是选择后再排序的结果,.,判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A=a,1.,从,a,b,c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是,:,ab,ac,bc,2.,已知,4,个元素,a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合,.,a,b c d,b,c d,c,d,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3,个,),(6,个,),1.从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有,从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）个元素的所有组合的个数，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,组合数,，用符号 表示,.,如,:,从,a,b,c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是,:,如,:,已知,4,个元素,a,、,b,、,c,、,d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：,组合数,注意：,是一个数，应该把它与“组合”区别开来,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫,1.,写出从,a,b,c,d,四个元素中任取三个元素的所有组合,abc,，,abd,，,acd,，,bcd.,b,c,d,d,c,b,a,c,d,1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合a,组合,排列,abc,abd,acd,bcd,abc bac cab,acb bca cba,abd bad dab,adb bda dba,acd cad dac,adc cda dca,bcd cbd dbc,bdc cdb dcb,（三个元素的）,1,个组合，对应着,6,个排列,你发现了什么,?,组合排列abcabdacdbcdabc bac,对于,，我们可以按照以下步骤进行,对于，我们可以按照以下步骤进行,组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,一般地，求从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数，可以分为以下,2,步：,第,1,步，先求出从这,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数 ,第,2,步，求每一个组合中,m,个元素的全排列数,根据分步计数原理，得到：,因此：,这里,m,n,是自然数，且,m,n,，这个公式叫做,组合数公式,组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系,组合数公式,:,从,n,个不同元中取出,m,个元素的排列数,组合数公式:从 n个不同元中取出m个元素的排列数,例题分析,例,1.,计算：,（,1,）和；（,2,）和,组合数的性质,（,1,）,（,2,）,例题分析例1.计算：组合数的性质（1）（2）,例,2,计算：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,例2计算：（1）（2）（3）,练习,（,1,）求 的值,（,2,）求满足 的,x,值,（,3,）求证：,（,4,）求 的值,161700,5,或,2,511,练习（2）求满足 的x值（3）求,例,3.,例3.,1.,理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系,.,（,2,）同是从,n,个元素中取,m,个元素，但是组合,一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序,（,1,）有序与无序的区别,2.,理解组合数的的定义与公式,（,1,）,（,2,）,1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.（2）同是从n,有关组合的应用题,例,1,一位教练的足球队共有,17,名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是,11,人问：,（,1,）这位教练从这,17,名学员中可以形成多少种学员上场方案？,（,2,）如果在选出,11,名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？,有关组合的应用题 例1一位教练的足球队共有17名初级学员，,例,2,（,1,）平面内有,10,个点，以其中每,2,个点为端点的线段共有多少条？,（,2,）平面内有,10,个点，以其中每,2,个点为端点的有向线段共有多少条？,例,2,有,4,本不同的书，一个人去借，有多少种不同的借法？,例,3,有,13,本不同的书，其中小说,6,本，散文,4,本，诗歌,3,本，某人借,6,本，其中有,3,本小说，,2,本散文，,1,本诗歌，问有几种借法？,例2（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有,（,1,）某些特殊元素包含在（或不包含在）所要求的组合中：,例,1,一个口袋内装有大小相同的,7,个白球和,1,个黑球，,（,1,）从口袋内取出,3,个球，共有多少种取法？,（,2,）从口袋内取出,3,个球，使其中含有,1,个黑球，有多少种取法？,（,3,）从口袋内取出,3,个球，使其中不含黑球，有多少种取法？,（1）某些特殊元素包含在（或不包含在）所要求的组合中：,例,2,100,件产品中，有,98,件合格品，,2,件次品从这,100,件产品中任意抽出,3,件,（,1,）一共有多少种不同的抽法；,（,2,）抽出的,3,件都不是次品的抽法有多少种？,（,3,）抽出的,3,件中恰好有,1,件是次品的抽法有多少种？,（,4,）抽出的,3,件中至少有,1,件是次品的取法有多少种？,例2100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产,（,2,）某些特殊元素有特殊归类问题：,例,1,平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个兰点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？,例,2,有划船运动员,10,人，其中人会划右舷，人会划左舷，其余人都会划，现要从中选出人，平均分配在船的两舷，有多少种选法？,（2）某些特殊元素有特殊归类问题：,（,3,）组合中的有重复问题：,例,1,由数,1,、,2,、,3,、,4,可组成多少个不同的和？,例,2,以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？,（,4,）“不相邻”的组合问题：,例,1,现有十只灯，为节约用电，将其中的三只灯关掉，但不能关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，关灯方法有多少种？,例,2,某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可显示多少种不同的信号？,（3）组合中的有重复问题：（4）“不相邻”的组合问题：,3,“名额分配”问题：,例,1,有,10,个参加数学竞赛的名额，要分给,7,所学校，每校至少一个名额，有多少种不同的名额分配方法？,3“名额分配”问题：,例,3,第,17,届世界杯足球赛于,2002,年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有,32,支球队有幸参加，他们先分成,8,个小组循环赛，决出,16,强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级,16,强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？,例3第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、,例,1.,在产品检验中，常从产品中抽出一部分,进行检查,.,现有,100,件产品，其中,3,件次品，,97,件,正品,.,要抽出,5,件,进行检查，根据下列各种要求，,各有多少种不同的抽法？,(1),无任何限制条件；,(2),全是正品；,(3),只有,2,件正品；,(4),至少有,1,件次品；,(5),至多有,2,件次品；,(6),次品最多,.,解答：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,，或,（,5,）,（,6,）,例1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分(1)无任何,1.,有,10,道试题，从中选答,8,道，共有,种选法、又若其中,6,道必答，共有,不同的种选法,.,2.,某班有,54,位同学，正、副班长各,1,名，现选派,6,名同学,参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种,不同的选法？,（,1,）无任何限制条件；,（,2,）正、副班长必须入选；,（,3,）正、副班长只有一人入选；,（,4,）正、副班长都不入选；,（,5,）正、副班长至少有一人入选；,（,5,）正、副班长至多有一人入选；,练习：,小结：至多至少问题常用分类的或排除法,.,1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选,例,2,从数字,1,2,5,7,中任选两个,练习,有不同的英文书,5,本,不同的中文书,7,本,从中选出两本书,.,(1),若其中一本为中文书,一本为英文书,.,问共有多少种选法,?,(1),可以得到多少个不同的和,?,(2),可以得到多少个不同的差,?,(2),若不限条件,问共有多少种选法,?,6,个,12,个,35,种,66,种,例2 从数字1,2,5,7中任选两个,例,4,有,12,名划船运动员,其中,3,人只会划左舷,4,人只会划右舷,其它,5,人既会划左舷,又会划,右舷,现要从这,12,名运动员中选出,6,人平均分,在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法,?,例,3,在,MON,的边,ON,上有,5,个异于,O,点的点,OM,上有,4,个异于,O,点的点,以这十个点,(,含,O,),为,顶点,可以得到多少个三角形,?,N,O,M,A,B,C,D,E,F,G,H,I,例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,例3 在,练习,如图,在以,AB,为直径的半圆周上有异于,A,B,的六个点,C,1,C,2,C,3,C,4,C,5,C,6,AB,上有异于,A,B,的四个点,D,1,D,2,D,3,D,4,问,(1),以这,10,个点中的,3,个点为顶点可作多少个三角形,?,(2),以图中,12,个点,(,包括,A,B,),中的四个为顶点,可作多少个四边形,?,A,B,D,1,D,2,D,3,D,4,C,1,C,2,C,3,C,4,C,5,C,6,练习 如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六个点,1.,排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步,.,2.,理解组合数的性质,3.,解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）,.,思悟小结,P,27,习题,1.2 10,、,11,1.排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：,习题课,习题课,组合与组合数,通过前面的学习，我们已经知道了,组合的定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用,（一）组合数的公式及其性质：,组合数性质,1,：,2,：,特别地：,组合与组合数 通过前面的学习，我们已经知道了组,7,0,1,或,5,练习一,（,5,）求 的值,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,511,701,或5练习一（5）求,例,1,、计算：,例,2.,甲、乙、丙、丁,4,支足球队举行单循环赛，,（,1,）列出所有各场比赛的双方；,（,2,）列出所有冠亚军的可能情况,.,（,2,）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,乙甲,、,丙甲,、,丁甲,、,丙乙,、,丁乙,、,丁丙,（,1,）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,（,3,）已知：，求,n,的值,35,(2),120,例1、计算：例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环,例,1,6,本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：,（,1,）分给甲、乙、丙三人，每人,2,本；,例题解读：,解：,（,1,）根据分步计数原理得到：,种,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：例题解读,例,1,6,本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：,(2),分为三份，每份,2,本；,解析：,(2),分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种,方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每,份两本，设有,x,种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、,丙三名同学有 种方法根据分步计数原理,所以,可得：,例題解读,：,因此，分为三份，每份两本一共有,15,种方法,所以,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(2)分,点评：,本题是分组中的,“均匀分组”,问题,一般地：将,mn,个元素均匀分成,n,组（每组,m,个元,素）,共有,种方法,点评：本题是分组中的“均匀分组”问题 一般地：将mn个元素,例,1,6,本不同的书，按下列要求各有多少种不同,的选法：,（,3,）分为三份，一份,1,本，一份,2,本，一份,3,本；,（,4,）分给甲、乙、丙三人，一人,1,本，一人,2,本，,一人,3,本；,解：,（,3,）这是,“不均匀分组”,问题，一共有,种方法,（,4,）在（,3,）的基础上再进行全排列，所以一共有 种方法,例题解读：,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同（3）分为三份，,例,1,6,本不同的书，按下列要求各有多少种不同,的选法：,（,5,）分给甲、乙、丙三人，每人至少,1,本,解：,（,5,）可以分为三类情况：,“2,、,2,、,2,型”的分配情况，有,种方法；,“1,、,2,、,3,型”的分配情况，有,种方法；,“1,、,1,、,4,型”，有 种方法，,所以，一共有,90+360+90,540,种方法,例题解读：,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同解：（5）可以分,元素相同问题隔板策略,例,.,有,10,个运动员名额，再分给,7,个班，每,班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为,10,个名额没有差别，把它们排成,一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有,_,种分法。,一班,二班,三班,四班,五班,六班,七班,将,n,个相同的元素分成,m,份（,n,，,m,为正整数）,每份至少一个元素,可以用,m-1,块隔板，插入,n,个元素排成一排的,n-1,个空隙中，所有分法数为,元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额，再分给7个班，每,例,2,、,（,1,）,10,个优秀指标分配给,6,个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？,（,2,）,10,个优秀指标分配到,1,、,2,、,3,三个班，若名,额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？,分析,：,（,1,）这是同种元素的“不平均分组”问题,.,本小题可构造数学模型，用,5,个隔板插入,10,个指标中的,9,个空隙，既有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为,1,班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为,2,班的指标，以此类推，因此共有 种分法,.,例题解读：,例2、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，,（,2,）先拿,3,个指标分给二班,1,个，三班,2,个，,然后，问题转化为,7,个优秀指标分给三个班，,每班至少一个,.,由（,1,）可知共有 种分法,注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的,4,个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有 种分法,.,例题解读：,（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，注：第一小题也可以,例,3,（,1,）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共,有多少种不同的放法？,（,2,）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空,盒的放法有多少种？,解：,（,1,）根据分步计数原理：一共有 种方法；,（,2,）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以，一共有 ,144,种方法,例题解读,例3（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共解：（2）,例,4,马路上有编号为,1,，,2,，,3,，,，,10,的十盏路,灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中,3,盏灯,关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在,两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的,关灯方法？,解：,（插空法）本题等价于在,7,只亮着的路灯之间,的,6,个空档中插入,3,只熄掉的灯，故所求方法总数,为 种方法,例题解读：,例4马路上有编号为1，2，3，10的十盏路解：（插空法,例,5,一生产过程有,4,道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等,6,名工人中安排,4,人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排,1,人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排,1,人，则不同的安排方案共有（）,A,24,种,B,36,种,C,48 D,72,种,B,例题解读：,例5 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从,例,6,甲、乙、丙,3,位志愿者安排在周一至周五的,5,天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）,A.20,种,B.30,种,C.40,种,D.60,种,A,例6甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志,例,7,某人有,4,种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（,16,）图所示的,6,个点,A,、,B,、,C,、,A,1,、,B,1,、,C,1,上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有,种（用数字作答）,.,216,例7某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题,1,5,个人分,4,张同样的足球票，每人至多分一张，而且,票必须分完，那么不同的分法种数是,2,某学生要邀请,10,位同学中的,6,位参加一项活动，其中,有,2,位同学要么都请要么都不请，共有,种邀请方法,.,3.,一集合有,5,个元素，则该集合的非空真子集共有,个,.,4.,平面内有两组平行线，一组有,m,条，另一组有,n,条，这,两组平行线相交，可以构成,个平行四边形,.,5,空间有三组平行平面，第一组有,m,个，第二组有,n,个，第三组有,t,个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成,个平行六面体,98,30,课堂练习：,15个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且2某学生,6.,高二某班第一小组共有,12,位同学，现在要调换座位，,使其中有,3,个人都不坐自己原来的座位，其他,9,人的座位,不变，共有,种不同的调换方法,7.,某兴趣小组有,4,名男生，,5,名女生：,（,1,）从中选派,5,名学生参加一次活动，要求必须有,2,名男,生，,3,名女生，且女生甲必须在内，有,种选派方法；,（,2,）从中选派,5,名学生参加一次活动，要求有女生但人,数必须少于男生，有,_,种选派方法；,（,3,）分成三组，每组,3,人，有,_,种不同分法,.,36,45,280,课堂练习：,6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，7.某兴,8.,九张卡片分别写着数字,0,，,1,，,2,，,，,8,，从中取出三,张排成一排组成一个三位数，如果,6,可以当作,9,使用，问,可以组成多少个三位数？,解：,可以分为两类情况：,若取出,6,，则有 种方法；,若不取,6,，则有 种方法，,根据分类计数原理，一共有,+,602,种方法,课堂练习：,8.九张卡片分别写着数字0，1，2，8，从中取出三解：可,9.,某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选,2,荤,2,素共,4,种不同的品种,.,现在餐厅准备了,5,种不同的荤菜，若要保证每位顾客有,200,种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜,_,种,.(,结果用数值表示,),7,【解题回顾】由于化为一元二次不等式,n,2,n,400,求解较繁，考虑到,n,为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法,.,9.某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤,10.,某电视台邀请了,6,位同学的父母共,12,人，请这,12,位家长中的,4,位介绍对子女的教育情况，如果这,4,位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是,(),(A)60 (B)120 (C)240 (D)270,C,11.,某次数学测验中，学号是,i,(,i=,1,、,2,、,3,、,4),的四位同学的考试成绩,f,(,i,)86,87,88,89,90,，且满足,f,(1),f,(2),f,(3),f,(4),，则四位同学的成绩可能情况有,(),(A)5,种,(B)12,种,(C)15,种,(D)10,种,C,10.某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长,B,12.,表达式 可以作为下列哪一问题的答案,(),(A),n,个不同的球放入不同编号的,n,个盒子中，只有一个盒子放两个球的方法数,(B),n,个不同的球放入不同编号的,n,个盒子中，只有一个盒子空着的方法数,(C),n,个不同的球放入不同编号的,n,个盒子中，只有两个盒子放两个球的方法数,(D),n,个不同的球放入不同编号的,n,个盒子中，只有两个盒子空着的方法数,B12.表达式 可以作,1,按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；,2,对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；,3,对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；,4,按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题,.,课堂小结,1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组,5.,需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将,3,个人分成,3,组，每组一个人，显然只有,1,种分法，而不是 种,一般地，将,m,、,n,个不同元素均匀分成,n,组，有,种分法；,5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合,高中数学组合公开课课件,