分类计数原理与分步计数原理课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分类计数原理,与,分步计数原理,分类计数原理与,1,看下面问题,：,问题一,：,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有,3,班，汽车有,2,班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,因为一天中乘火车有,3,种走法，乘汽车有,2,种走法，每一,种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：,3,2,5,（种）,分类计数原理与分步计数原理,看下面问题：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车,2,问题,2,：如图,由,A,村去,B,村的道路有,3,条由,B,村去,C,村的道路有,2,条。从,A,村经,B,村去,C,村，共有多少种不同的走法,?,A,村,B,村,C,村,北,南,中,北,南,解：从,A,村经,B,村去,C,村有,2,步,第一步,由,A,村去,B,村有,3,种方法,第二步,由,B,村去,C,村有,2,种方法,根据分步计数原理，从,A,村经,B,村去,C,村共有,3 2=6,种不同的方法,问题2：如图,由A村去B村的道路有3条由B村去C村的道路有2,3,1,、分类计数原理,（加法原理）,完成一件事，有,n,类方式,在第一类方式中有,m,1,种不同的方法,在第二类方式中有,m,2,种不同的方法，,，在第,n,类方式中有,m,n,种不同的方法。那么完成这件事共有,种不同的方法,N=m,1,+m,2,+m,n,1、分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类方式,4,2,、分步计数原理,完成一件事，需要分成,n,个步骤，完成第一步有,m,1,种不同的方法，完成第二步有,m,2,种不同的方法，,，完成第,n,步有,m,n,种不同的方法，那么完成这件事有种 不同的方法,。,（乘法原理）,N=m,1,m,2,m,n,2、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，完成,5,分类计数与分步计数的异同比较,一、共同点：,它们都是研究完成一件事，共有多少种,不同的方法。,二、不同点,1,、分类计数原理是“分类完成”的，每类方式之间是彼此,独立的，即任何一类方式中的任何一个方法都能达到完,成这件事的目的。,分步计数原理是“分步完成”的，每个步骤顺次相依，只有完成所有步骤才能达到完成这件事的目的,2,、分类完成用“,加法,”分步完成用“,乘法,”,分类计数与分步计数的异同比较一、共同点：它们都是研究完成一,6,例,1,在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到,A,、,B,两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：,A,大学,B,大学,生物学,化学,医学,物理学,工程学,数学,会计学,信息技术学,法学,如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？,解：这名学生填写高考志愿分两类；第一类在,A,大学选择自己感,兴趣的专业，在,5,种不同的填法；,第二类在,B,大学选择一个自己感兴趣的专业，有,4,种不同的填法。,根据分类计数原理共有,5+4=9,（种）填法,例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学,7,变式：,若还有,C,大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学,.,那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？,A,大学,B,大学,生物学,化学,医学,物理学,工程学,数学,会计学,信息技术学,法学,C,大学,新闻学,金融学,人力资源学,注意：分类加法计数做到不重，不漏！,略解：分三类；共有,5+4+3,（种）,变式：A大学B大学生物学数学C大学新闻学注意：分类加法计数做,8,例,2,：,两个袋子里分别装有,60,个红球，,40,个白球，从中任取一个球，有多少种取法？从中各取一个，有多少种不同的取法？,分析：任取一个球的方法可以分成两类：,40,个,60,个,各取一个球的方法可以分为两步来完成,例2：两个袋子里分别装有60个红球，40 个白球，从中任取,9,解（,2,）：取一个白球和一个红球可以,分成两步,来完成,第一步从装白球的袋子里取一个白球，有,60,种取法,第二步从装红球的袋子里取一个红球，,有,40,种取法,根据分步计数原理共有,6040=2400,种取法,第二步从装红球的袋子里取一个红球，,有,40,种取法,根据分步计数原理共有,6040=2400,种取法,解（,1,）：任取一个球的方法可以,分成两类,：,第一类是从装白球的袋子里取一个白球，有,40,种取法。,第二类是从装红球的袋子里取一个红球，有,60,种取法。,因此根据分类计数原理取法种数共有,40+60=100,（种）,取法,解（2）：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成解（1）：任,10,例,3,：,用前,6,个大写英文字母和,19,个阿拉伯数字,以,A,1,A,2,B,1,B,2,的方式给教室的座位编号,.,有多少种不同的编号？,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,A,7,A,8,A,9,9,种,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,种,分析：以,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,为首字母的编号分,6,类每类有,9,种编号，根据加法原理共有,6 9=54,（种）,分析：,A1A19种B19种分析：以A、B、C、D、E、F为首字母的,11,例,4,要从甲、乙、丙,3,幅不同的画中选出,2,幅，分别挂在,左右两边墙上的指定位置，,问共有多少种不同的挂法？,3,2,解：从甲乙丙三幅不同的画中选择,2,幅分别挂在左右两边墙上，分两步,第一步：从甲乙丙三幅不同的画中选,1,幅挂在左国边墙上，有,3,种不同的选法,第二步：从剩下的两幅中选,1,幅挂在右边墙上，有,2,种不同的选法,根据分步计数原理，共有,32=6,种不同的挂法,32解：从甲乙丙三幅不同的画中选择2幅分别挂在左右两边墙上,12,变式,1:,要把,3,个球放入,2,两个不同的口袋,有几种不同的放法,?,变式,2:,要从甲、乙、丙,3,名工人中选出,2,名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,分三步，放每个球都有两个不同的放法，根据乘法原理，共有,222=8,种不同的放法,分两步，第一步，先从,3,名工人中选,1,人上日班，有,3,种不同的选法,第二步，再从剩下的,2,名工人中选,1,人上晚班，有,2,种不同的选法,根据分步计数原理：共有,32=3,种不同的选法,变式1:要把3个球放入2两个不同的口袋,有几种不同的,13,变式,3,：,0-9,这十个数一共可以组成多少,3,位数字？,分析：分三步：第一步首先要确定首位（,0,）不能做首位,然后再分别确定十位和个位十位、个位数字允许重复。,故有,91010=900,个,3,位数,变式,4,：用,0-9,这十个数一共可以组成多少个没有重复,数字的,3,位数,分析：分三步：第一步首先要确定首位（,0,）不能做首位，有,9,种选法。然后再分别确定十位，百位用过的不能用，但,0,可以选，还是,9,种选法，第三步确定个位，百位和十位用过的都以能再选，有,8,种选法。,故有,998=648,个,3,没有重复数字的三位数,变式3：0-9这十个数一共可以组成多少3位数字？分析：分,14,（,1,）,5,名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有,4,种报名方法，,5,名学生都报了项目才能算完成这一事件。故报名方法种数为,44444=,种,.,（,2,）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有,5,种故有,n,=5,=,种,.,变式,5,：,五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？五名学生争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？,注意,：利用分步计数原理计数，关键要分清几步，算好每一步,的方法数。,（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4,15,一个三位密码锁,各位上数字由,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码,(,各位上的数字允许重复,)?,首位数字不为,0,的密码数是多少,?,首位数字是,0,的密码数又是多少,?,分析,:,按密码位数,从左到右依次设置第一位、,第二位、第三位,需分为三步完成,;,第一步,m,1,=10;,第二步,m,2,=10;,第三步,m,3,=10.,根据乘法原理,共可以设置,N=101010,=10,3,种三位数的密码。,练习,1,首位数字不为,0,，第一步，,m1=9,；,首位数字为,0,，,m1=,1,一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,16,给程序模块命名，需要用,3,个字符，其中首个字符要求用字母,AG,或,UZ,，后两个要求用数字,1,9,，问最多可以给多少个程序命名？,分析：,要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字母字符；第二步，先中间数字字符；第三步，选末位数字字符。,解：,要给一个程序模块命名，可分三个,步骤，第一步字母首字符共有,7+6,13,种不同的选法，,答：,最多可以给,1053,个程序命名。,第二步中间数字字符有,9,种不同的选法,第三步，末位数字字符有,9,种不同的选法,根据分步计数原理,，最多可以有,1399,1053,种不同的选法,练习,2,给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母AG,17,1,、乘积,展开后共有几项？,2,、某商场有,6,个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？,练习,3,分析 分三步，第一步从第一个因式中任取一项有,3,种不同的取法,第二步从第二个因式中任取一项，有,3,种不同的取法；,第三步从第三个因式中任取一项有,5,种不同的取法。,根据分步计数原理 共有,335=45,（项）,分析 进出商场分两步，第一步从,6,个门中选一门进入商场，有,6,种,不同的进法；第二步从其它,5,个门出去，有,5,种不同的出法。,根据分步原理。共有,65=30,（种）不同的进出方式,1、乘积2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商,18,3,.,如图,该电路,从,A,到,B,共有多少条不同的线路可通电？,A,B,练习,4,3.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB,19,所以,根据分类原理,从,A,到,B,共有,N=3+1+4=8,条不同的线路可通电。,在解题有时既要分类又要分步。,解,:,从总体上看由,A,到,B,的通电线路可分三类,第一类,m,1,=3,条,第二类,m,2,=1,条,第三类,m,3,=22=4,条,所以,根据分类原理,从A到B共有在解题有时既要分类又要分,20,1,、从,5,名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职方案有多少种？,2,、三层书架上，上层放着,10,本不同的语文书，中层放着,9,本不同的数学书，下层放着,8,本不同的英语书，,（,1,）从书架上任取一本，有多少种取法？,（,2,）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？,3,、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,4,某中学的一幢,5,层教学楼共有,3,处楼梯，问从,1,楼到,5,楼共有多少种不同的走法？,判断下列用分类 还是分步原理，并说出式子,练习,5,1、从5名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职方案有多少种,21,有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理请看下面的例题：,注意,有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分,22,实际问题,从甲地到乙地有,3,条路，从乙地到丁地有,2,条路；从甲地到丙地有,3,条路，从丙地到丁地有,4,条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？,甲,乙,丙,丁,实际问题 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路,23,要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理,先分两类，即,甲,乙,丁和甲,丙,丁,.,每一类中又分两步。,第一类：从甲,乙,丁有,3,2=6,种不同的走法,。,第二类,甲,丙,丁有,34=12,种不同的走法。,根据分类计数原理共有,6+12=18,种不同走法,要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理先分两类，即甲,24,1,有不同的中文书,9,本，不同的英文书,7,本，不同的日文书,5,本从其中取出不是同一国文字的书,2,本，问有多少种不同的取法？,2,集合,A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4,从,A,B,中各取,1,个元素作为点,P(x,y),的坐标,（,1,）可以得到多少个不同的点？,（,2,）这些点中，位于第一象限的有几个？,3.,用,6,张一角硬币，,4,张一元硬币，,3,张五元纸币，共能组成不同币值为多少种？,课堂作业,1有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本,25,4,、填空（,1,）将,3,封信投入,4,个不同的信箱，共有,_,种不同的投法；,（,2,）,4,名学生争夺,3,项冠军，每项冠军只能由一人获得，则获得冠军的可能性有,_,种；,（,3,）将,4,个不同的球放入,3,个不同的盒子，共有,_,种不同的放法；,4,3,4、填空（1）将3封信投入4个不同的信箱，共有_,26,第二课时,第二课时,27,1,从,3,名女同学和,2,名男同学中选,1,人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为,(,),A,6,种,B,5,种,C,3,种,D,2,种,解析：,有,3,2,5,种,答案：,B,分类计数原理与分步计数原理课件,28,3,从,6,个人中选,4,个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这,6,个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有,(,),A,300,种,B,240,种,C,144,种,D,96,种,解析：,能去巴黎的有,4,个人，能去剩下三个城市的依次有,5,个、,4,个、,3,个人，所以不同的选择方案有,4,5,4,3,240(,种,),答案：,B,3从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市,29,答案：,8,答案：8,30,热点之一,分类加法计数原理,分类加法计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干,“,类别,”,，先分类解决，各个击破，再将其整合，得出原问题的答案运用该原理解决问题的突破口是明确什么是,“,完成一件事,”,分类计数原理与分步计数原理课件,31,例,1,在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的数共有多少个？,思路探究,该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了即可，因此可考虑按十位上的数字情况进行分类,课堂记录,根据题意，按十位数上的数字分别是,1,2,3,4,5,6,7,8,的情况分成,8,类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有,8,个，,7,个，,6,个，,5,个，,4,个，,3,个，,2,个，,1,个,由分类加法计数原理，符合题意的两位数共有,8,7,6,5,4,3,2,1,36(,个,),例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的数共有多少,32,即时训练,集合,P,x,1,，,Q,y,1,2,，其中,x,，,y,1,2,3,，,，,9,，且,P,Q,.,把满足上述条件的一对有序整数对,(,x,，,y,),作为一个点的坐标，则这样的点的个数是,(,),A,9 B,14 C,15 D,21,解析：,P,Q,，,x,y,或,x,2.,当,x,2,时，,y,1,2,，,y,有,7,种选法；,当,x,y,时，,y,1,2,，,y,也有,7,种选法,共有满足条件的点,7,7,14,个,答案：,B,即时训练 集合Px,1，Qy,1,2，其中x,33,热点之二,分步乘法计数原理,如果完成一件事需要分成,n,个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理,热点之二分步乘法计数原理,34,例,2,已知集合,M,3,，,2,，,1,0,1,2,，,P,(,a,，,b,),表示平面上的点,(,a,，,b,M,),，问：,(1),P,可表示平面上多少个不同的点？,(2),P,可表示平面上多少个第二象限的点？,(3),P,可表示多少个不在直线,y,x,上的点？,思路探究,本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问题中的应用这里应该注意两点：一是集合,M,中的每个元素可作为同一点的横、纵坐标；二是第,(3),问用逆向求解的间接法,例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(,35,即时训练,已知集合,M,3,，,2,，,1,0,1,2,，若,a,，,b,，,c,M,，则,(1),y,ax,2,bx,c,可以表示多少个不同的二次函数,(2),y,ax,2,bx,c,可以表示多少个图象开口向上的二次函数,解：,(1),a,的取值有,5,种情况，,b,的取值有,6,种情况，,c,的取值有,6,种情况，因此,y,ax,2,bx,c,可以表示,5,6,6,180,个不同的二次函数,即时训练 已知集合M3，2，1,0,1,2，若,36,例,3,将红、黄、绿、黑,4,种不同的颜色分别涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？,思路探究,五个区域，四种颜色，所以至少有两个区域涂的是同一种颜色，结合图形，可以先选出涂同一种颜色的区域，再进行涂色,例3将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入下图中的五个,37,即时训练,用,n,种不同的颜色为两块广告牌着色如下图甲、乙所示，要求在，四个区域中相邻,(,有公共边界,),的区域不用同一种颜色,(1),若,n,6,，为甲着色时共有多少种不同的方法？,(2),若为乙着色时共有,120,种不同的方法，求,n,的值,即时训练 用n种不同的颜色为两块广告牌着色如下图甲、乙所示,38,例,4,(2010,全国,),某校开设,A,类选修课,3,门，,B,类选修课,4,门，一位同学从中共选,3,门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有,(,),A,30,种,B,35,种,C,42,种,D,48,种,分类计数原理与分步计数原理课件,39,1,(2010,全国,),将标号为,1,2,3,4,5,6,的,6,张卡片放入,3,个不同的信封中，若每个信封放,2,张，其中标号为,1,2,的卡片放入同一信封，则不同的放法共有,(,),A,12,种,B,18,种,C,36,种,D,54,种,分类计数原理与分步计数原理课件,40,2,(2010,重庆,),某单位安排,7,位员工在,10,月,1,日至,7,日值班，每天安排,1,人，每人值班,1,天若,7,位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在,10,月,1,日，丁不排在,10,月,7,日，则不同的安排方案共有,(,),A,504,种,B,960,种,C,1008,种,D,1108,种,2(2010重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值,41,3,(2010,湖北高考,),现安排甲、乙、丙、丁、戊,5,名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是,(,),A,152 B,126,C,90 D,54,3(2010湖北高考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参,42,小结,2.,分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？,1:,分类计数原理和分步计数原理定义,作业,：,P12 1,2,3,4,小结2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什,43,如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条,?,A,1,B,1,C,1,D,1,A,C,D,B,练习,如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬,44,解,:,如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点,A,爬到顶点,C,1,有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m,1,=12=2,条,第二类,m,2,=12=2,条,第三类,m,3,=12=2,条,所以,根据加法原理,从顶点,A,到顶点,C,1,最近路线共有,N,=2+2+2=6,条。,A,1,B,1,C,1,D,1,A,C,D,B,解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方,45,