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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十五章 机械振动,基本内容:,谐振动的特征,谐振动的描述,谐振动的合成,机械振动:,物体在一定位置附近来回往复的运动。其轨迹可以是直线,也可以是平面曲线或空间曲线。,机械振动可分为周期性振动和非周期性振动,最简单的机械振动是周期性的直线振动简谐振动。,任何复杂的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的。,第十五章 机械振动基本内容:谐振动的特征,1,15.1 简谐振动的特点,A,位置A:小球所受合力为零的位置,称为,振动系统的平衡位置,。,将小球推离平衡位置并释放,小球来回振动,如果摩擦阻力小,小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有,小球只受弹性回复力,振动将永久持续下去,这种理想化的振动是,简谐振动,。,一、,谐振动中的理想模型,弹簧振子,15.1 简谐振动的特点 A位置A:小球所受合力为零的,2,如果振动物体可表示为一质点,而与之相连接的所有弹簧等效为一轻弹簧,忽略所有摩擦,可用弹簧振子描述简谐振动。,m,k,X,0,以平衡位置为坐标原点,水平向右为正,则小球所受弹性力,F,与小球离开平衡位置的位移,x,有以下关系:,二、谐振动的特点:,1、动力学特征:,如果振动物体可表示为一质点,而与之相连接的所,3,从,动力学观点,,若物体仅受线性回复力作用,它就作简谐振动。,动力学特征:质点所受得力大小与位移成正比,方向相反。,K是弹簧的弹性系数,负号表示力和位移方向相反。,回复力,2、运动学特征:,令,从动力学观点,若物体仅受线性回复力作用,它就作简谐振,4,积分得:,从,运动学观点,,若物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数,它就作简谐振动。,运动学特征:物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数。,3、能量特征:,其中,积分得:从运动学观点,若物体离开平衡位置的位,5,能量特征:,谐振动的机械能等于x为A时的弹性势能,或速度最大时(平衡位置)的动能。振动过程中动能和势能相互转换,,机械能守恒。,一个周期内的平均动能与平均势能:,能量特征:谐振动的机械能等于x为A时的弹性势能,或速度最大时,6,例6.谐振子在相位为 ,其动能为 ,求其机械能。,解:,例6.谐振子在相位为 ,其动能为 ,求其机械能。,7,1、方程中各参量的物理意义,x,:表示,t 时刻质点离开平衡位置的位移。,A,:质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值振幅。,15.2 简谐振动的描述,一、谐振动的代数描述法,:,又,1、方程中各参量的物理意义x:表示 t 时刻质点离开,8,比较知,称为圆频率,仅决定于振动系统的力学性质。,t+,:,称位相或相位或周相,是表示任意 t 时刻振动物体动状态的参量。,:,称为初位相,是表示 t=0 时刻振动物体状态的参量。,2、位移、速度 加速度,v,的位相超前,x,/2,比较知称为圆频率仅决定于振动系统的力学性质。t+:,9,其中,是加速度的幅值,a,与,x,的位相相反,a,t,v,x,a,x,v,0,其中是加速度的幅值a 与 x 的位相相反atvxaxv0,10,问题:,是描述t=0时刻振动物体的状态,当给定计时时刻振动物体的状态(t=0 时的位置及速度:x,0,v,0,),如何求解相对应的?,(1)、已知 t=0 振动物体的状态x(0),v(0),求,可得:,A与,由系统的初始条件,x(0),v(0),决定,问题:是描述t=0时刻振动物体的状态,当给定计时时刻振动,11,(2)已知 t=0 振动物体的状态x(0)及,A时求,最终确定初位相,的值,(2)已知 t=0 振动物体的状态x(0)及A时求最终,12,m,k,X,0,例1:如图所示,将小球拉至A释放,小球作谐振动。如果已知,k,,以小球运动至A/2处,且向x负方向运动作为计时的起点,求小球的振动方程。,解:问题归结于求,t=0 小球向 x 负方向运动,因而 v,0 =+60,0,mkX0例1:如图所示,将小球拉至A释放,小球作谐振动。如果,13,例2 如图所示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统的振动方程。,m,1,k,X,0,v,m,2,解:,t=0,x(0)=0,v(0)=v,例2 如图所示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统的振动方,14,例,3,垂直悬挂的弹簧下端系一质量为,m,的小球,弹簧伸长量为,b,。求证:放手后小球作简谐振动,并写出,振动方程。,b,自然长度,mg,平衡位置,F,取平衡位置为坐标原点,静平衡受力分析如图,kb-mg=0,证明:,则有:,x,任意位置时小球所受到的合外力为:,F=mg,-,k,(,b+x,),=,-,kx,小球作谐振动,例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球,弹簧,15,=,k,m,g,b,=,A=b,=,由,mg-kb,=0,得:,由题知:,t=0时,,x,0,=-,b,,,v,0,=0,则可得:,所以运动方程为:,=kmgb=A=b,=由mg-kb=0得,16,二、谐振动的图线描述法,t,x,0,t,1,A,两类问题:,1、已知谐振动方程,描绘谐振动曲线,2、已知谐振动曲线,描绘谐振动方程,二、谐振动的图线描述法tx0t1A两类问题:1、已知谐振动方,17,三、简谐振动的旋转矢量表示法,1、旋转矢量,A,M,x,0,P,(,t+,),x,旋转矢量的长度,:,振幅,A,旋转矢量旋转的角速度,:,旋转矢量旋转的方向为逆时针方向,旋转矢量与参考方向,x,的夹角,:,振动周相,圆频率,M,点在,x,轴上投影,P,点的运动,规律为,振动方程,:,三、简谐振动的旋转矢量表示法 1、旋转矢量AMx0P(,18,M,P,x,A,注意:旋转矢量在第1象限速度,v,0,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,注意:旋转矢量在第2象限速度,v,0,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,注意:旋转矢量在第4象限速度,v,0,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,MPxA注意:旋转矢量在第1象限速度v 0MPxAMPxA,19,则称振动,2,超前,振动,1,,振动,1,滞后,振动,2,若周相差,=,2,-,1,0,A,1,A,2,0,A,2,A,1,0,A,A,2,2,1,1,0,x,2、用旋转矢量分析位相与振动的关系,若周相差,=,0,则称两振动,同步,若周相差,=,,则称两振动,反相,则称振动 2 超前振动 1,振动 1 滞后振动 2 若周相差,20,A,2,x,x,A,A,2,1.0,0,t,t,=1,时,x,1,=0,d,1,0,v,=,d,x,t,例4 一谐振动的振动曲线如图所示,,求、以及振动方程,。,x,A,3,t,=,0,时,0,x,=,A,2,0,0,v,=,3,1,=,2,解:,1,=,t,1,+,=,5,6,A2xxAA21.00tt=1时x1=0d10v=d,21,x,=,A,cos(,5,6,t,3,),本题,的另一种求法:,3,x,A,t=0,2,A,t=1,2,+,3,2,=,T,1,T,=,12,5,=,5,6,x=A cos(56t3)本题的另一种求法:,22,15.3 简谐振动的合成,一、同方向、同频率两个谐振动的合成,1、利用三角函数公式合成,15.3 简谐振动的合成一、同方向、同频率两个,23,令,则可得:,其中:,令则可得:其中:,24,2、利用旋转矢量合成,x,A,1,A,2,A,结论:同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动,其频率与分振动频率相同。,2、利用旋转矢量合成xA1A2A结论:同方向同频率的两个简谐,25,讨论:合振动的加强与减弱,1,2,A,A,合振动加强,1,合振动减弱,A,A,2,相位相反,1,2,=,A,A,A,、,+,(1)若,=,2k,1,2,(,k,=0,1,2,.,、,+,),1,2,=,A,A,A,+,相位相同,、,+,(,k,=0,1,2,.,、,+,),(2)若,(2k+1),1,2,=,一般情形:二分振动既不同相位也不反相位,合振动振幅在A,1,+A,2,与|A,1,-A,2,|,之间。,讨论:合振动的加强与减弱12AA合振动加强1合振动减弱AA2,26,二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成,一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。,一种特殊情况,拍现象,1,2,拍频,=,1,2,2,1,x,x,=,=,A,A,cos,cos,2,t,t,2,x,=,x,x,+,1,2,2,2,1,1,1,1,1,2,2,=,2,A,cos,2,(,(,),),2,cos,t,t,2,+,2,二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成一般情况下合成后的振动,27,t,t,t,x,x,1,2,x,=,2,0.25s,0.75s,0.50s,=,=,2,16,18,1,tttxx12x=20.25s0.75s0.50s=,28,利用旋转矢量分析,作出李萨如图形(观察演示),三、相互垂直的同频率的两个谐振动的合成,例5已知,求:合振动的振幅及初相位,并写出合振动的表达式。,解:,利用旋转矢量分析,作出李萨如图形(观察演示)三、相互垂直的同,29,例6一物体沿x,轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s,当t=0时位移为0.06m,且向x轴正方向运动,求(1)振动表达式;,(2)t=0.5s时,物体的位置、速度和加速度;,(3)从x=-0.06m且向x轴负方向运动到返回平衡位置所需的时间,解:(1),由于物体此时向x正向运动,,故,(2),例6一物体沿x轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s,30,(3)注意相位与状态相对应。,质点沿x轴负向运动,,设 时,x=-0.06m.,故,质点返回平衡位置的相位为 ,设该时刻为,。,所以,(3)注意相位与状态相对应。质点沿x轴负向运动,设,31,第十六章 波动学基础,波动是振动的传播过程,也是动量和能量传播的过程。,机械波:机械振动在媒质中的传播过程。,电磁波:交变电磁场在空间的传播过程。,基本内容:,机械波的产生与传播,机械波的几个特征量,波动方程,波的叠加原理,(特例)波的干涉。,各类波的本质不同,但都伴有能量的传播,都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象,且有相似的数学描述。,第十六章 波动学基础 波动是振动的传播过程,也是动量和能量传,32,16.1 机械波的产生与传播,1、,波源,2、,弹性媒质,横波:,质点的振动方向和波的传播方向垂直,纵波:,质点的振动方向和波的传播方向平行,二、机械波的分类,一、产生机械波的条件,特点:具有波峰和波谷,(如绳子上的波),特点:具有疏密相间的区域,(如声波),16.1 机械波的产生与传播1、波源 2、弹性媒质,33,横波的波动,波的传播方向,x,y,振,动,方,向,特点:具有波峰和波谷,横波的波动波的传播方向xy振特点:具有波峰和波谷,34,纵波的波动,波的传播方向,质点振动方向,疏,密,疏,密,疏,特点:具有疏密相间的区域,纵波的波动波的传播方向质点振动方向疏密疏密疏特点:具有疏密相,35,三、波的形成和传播(以横波为例),1、过程分析:由于媒质内各质点间存在相互作用力,故当一个质点振动后,在媒质内部的弹性力作用下,将带动其周围其它的质点也相继振动起来如此依次带动,振动状态由近及远地传播开去,形成机械波。,(静止),1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,(振动状态传至4),1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,(振动状态传至7),三、波的形成和传播(以横波为例)1、过程分析:由于媒质内各质,36,(振动状态传至10),(振动状态传至13),1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,2.结论,(1)各质点仅在自己的平衡位置附近振动,并不,随波前进。,(2),振动状态,以一定的速度传播波速。(注意,波速不是质点的振动速度),(振动状态传至10)(振动状态传至13)1 2,37,(3)波的周期与质点的振动周期相同。,沿波的传播方向,各质点的相位依次落后。,(4)波形在空间移动行波。,四、波的几何描述,同相面(波面):,由振动周相相同的点所组成的面。,波阵面(波前):,某时刻波动所到达的点所组成的面。,波线(波法线):,表示波的传播方向的线。在各向同性介,质中与波面法线相同。,在各向同性媒质中波线和波阵面垂直,(3)波的周期与质点的振动周期相同。(4)波形在空间移动行,38,平面波,波,线,波,阵,面,球面波,波阵,面,波,线,平面波:,球面波:,波阵面为一球面。,波阵面为一平面。,平面波波波球面波波阵波平面波:球面波:波阵面为一球面。波阵面,39,横波波速,s,F,F,G,切变弹性模量,密度(单位体积质量),波长,在同一条波线上,周相差为2,的两,质点间的距离。,周期,传播一个波长距离所用的时间。,频率,在单位时间内通过某一观察点的完整波数目。,波速,波在单位时间内所传播的距离。,16.2 机械波的几个特征量,频率,和,周期,只决定于波源,和媒质无关。,横波波速sFFG 切变弹性模量波长 在同一条波线上,周相,40,纵波波速,流体(气体、液体),固体,Y:,杨氏弹性模量,V,V,P,P,B:,容变弹性模量,波速是与媒质有关的一个物理量,纵波波速流体(气体、液体)固体Y:杨氏弹性模量VVPPB:,41,任意点(,B,点)的振动方程为:,参考点,O,点的振动方程为:,u,y,x,x,o,B,y表示在波线上任意一点(距原点为,x,处)质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波的波动方程。,16.3 波动方程,一、平面简谐波的波动方程,任意点(B点)的振动方程为:参考点O点的振动方程为:uyxx,42,质点的振动速度:,平面简谐波的波动方程为:,其中减号表示波向x轴正向传播,加号表示波向x轴负向传播,质点的振动速度:平面简谐波的波动方程为:其中减号表示波向x轴,43,表示在t,1,时刻的波形,y,t,o,3,、,t,与,x,都发生变化,t,=,t,1,时,y,x,o,表示x,1,处质点的振动方程,二、波动方程的物理意义,1、,x,=,x,1,(常数),2、,t,=,t,1,(常数),t,=,t,1,+t时,表示在t1 时刻的波形yto3、t 与 x 都发生变化t=,44,y,y,1,x,ut,x,y,t,x,表示在,t,1,时刻,x,处的位移,y,1,,,在经过,t,时间后,同样的位移发生在,x,处,波向前传播了,ut,的距离,即某一固定周相传播了,ut,的距离。,y,1,=,令,y,x,x,=,+,u,t,得:,yy1xutxytx表示在t1时刻x处的位移y1,在经过t,45,可以证明三维的波动方程为:,其中为,质点的位移,从上两式可得波动方程:,三、波动方程的一般形式,可以证明三维的波动方程为:其中为质点的位移从上两式可得波动,46,例1,、,已知波源在原点的平面简谐波的方程为,式中A、B、C为正值恒量。,试求:,(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长;,(3)任何时刻,在波传播方向上相距为D的两点的周相差。,(2)写出传播方向上距离波源,l,处一点的振动方程;,解:(1)波动方程的标准形式,例1、已知波源在原点的平面简谐波的方程为式中A、B、C为正值,47,波的振幅为A,波速,频率,波长,(2),(3),波的振幅为A,波速频率波长(2)(3),48,例,2,以,P,点在平衡位置向正方向运动作为计时零点,写出波动方程。,y,x,P,o,u,d,解:,p,=,2,y,p,=,A,A,A,cos,cos,cos,d,d,t,t,t,),),),(,(,(,2,2,2,y,=,=,o,+,+,u,u,y,x,u,例2 以P 点在平衡位置向正方向运动作为计时零点,写,49,例,3,波速,u,=400m/s,t,=0 s,时刻的波形如图所示。写出波动方程。,u,y,(m),p,4,5,3,2,o,x,(m),2,3,=,=,0,p,t,=,=,=,A,y,v,0,0,0,(o,点,),2,2,0,=,y,v,0,0,t,0,(p,点,),=,0,0,得:,得:,例3 波速 u=400m/s,t=0 s时,50,2,p,=,0,d,0,p,=,2,d,=,=,2,2,3,5,(,),3,4(m),y,(m),2,3,=,=,0,p,u,p,4,5,3,2,o,x,(m),d,2p=0d0p=2d=2235(),51,y,=,=,2,200,2,u,=,=,=,2,400,4,0,4,cos,),(,200,3,t,S,1,=,4(m),(,),例4,一横波在弦上传播,其方程是,式中x、y以米计,t与秒计。,(1)求波长、周期、波速;,(2)画出 t=0,0.0025s,0.005s时弦的形状。,y=22002u=2400404cos,52,解:(1)方法一:,与标准方程相比较,波长,周期 T=0.01S,波速,方法二、,依各量的物理意义求解,解:(1)方法一:与标准方程相比较波长周期 T=0.01S,53,(2)方法一:根据各时刻的波形方程逐一画出波形。,方法二:只画出t=0的波形,然后采用移动波形的方法。,0.4,0.2,y,x,o,(2)方法一:根据各时刻的波形方程逐一画出波形。方法二:只画,54,例5、一平面简谐波在空间以速度u 传播,已知p点的振,就下面四种选定的坐标系,写出各自的波函数。,动方程为,o,p,y,x,u,u,x,y,o,p,u,x,y,o,p,l,o,p,y,x,u,l,例5、一平面简谐波在空间以速度u 传播,已知p点的振就下面四,55,例6,、,沿x轴,负向,传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图,设波速,u,=0.5m/s求原点0的振动表达式。,t=0,x,0,y,0.5,-1,1,2,t=2s,解:由图知,t=0原点0:,例6、沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图,,56,例7、,一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅和圆频率为,A、,波速为 u,设t=0时的波形曲线如图。,(1)写出该波的波函数;,(2)求距,0点为,(3)求距,0点为,处的质点的振动表达式;,处的质点在t=0时的振动速度。,y,x,0,u,例7、一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅和圆频率为A、波速为,57,解:(1)t=0时,0点的相位,即初相位,故波函数,(2),(3),解:(1)t=0时,0点的相位,即初相位故波函数(2)(3,58,16.4 波的能量 能流密度,一、能量密度,p,d,E,d,E,=,可以证明:,k,d,m,d,V,取体积元,d,V,,,体元内质量为,d,V,d,m,=,16.4 波的能量 能流密度一、能量密度pdEdE=,59,d,E,d,E,=,2,k,+,d,E,p,=,d,E,k,能量密度:,平均能量密度:,dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度:,60,能流,P,:,单位时间通过某一面积的波能。,P=S w u,二、能流密度,平均能流,P,:,能流在一个周期内的平均值。,u,u,S,能流P:单位时间通过某一面积的波能。P=S w u二,61,波的强度,I,(能流度):通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流。,w,1,2,2,2,u,I,=,u,=,A,总结:,波是能量传播的一种形式。,波真正传播的是振动、波形和能量。波形传,播是现象,振动传播是本质,能量传播是量度。,波的强度 I(能流度):通过垂直于波的传播方向的单,62,t+,t,u,t,u,t,t+,t,t,时刻波阵面,t,时刻波阵面,16.5 惠更斯原理,一、惠更斯原理,波动所到达的媒质中各点,都可以看作为发射子波的波源,而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,t+tututt+tt时刻波阵面t时刻波阵面,63,用惠更斯原理解释折射定律,sin,sin,i,r,=,CB,AB,AD,AB,=,u,u,1,1,2,2,=,u,2,u,=,=,n,n,1,n,1,2,t,t,i,u,u,t,1,2,t,r,n,n,1,2,C,B,A,D,i,r,u,t,1,2,二、惠更斯原理的应用,用惠更斯原理解释折射定律sinsinir=CBABADAB=,64,沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加,两水波的叠加,16.6 波的叠加原理,一、波的叠加原理,1、,波的独立传播原理:,有几列波同时在媒质中传播时,它们的传播特性(波长、频率、波速、波形)不会因其它波的存在而发生影响。,2、,波的叠加原理:,在几列波相遇的区域内,媒质质点同时参与这几列波所引起振动,其位移为各波单独存在时在该点所引起振动的合振动。,沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加两水波的叠加 16.6 波,65,二、波的干涉,相干波源:,若有两个波源,它们的振动方向相同、频率相同、周相差恒定,称这两波源为,相干波源,。,波源,cos,=,+,t,y,2,2,2,A,),(,S,t,=,y,1,1,1,A,cos,),(,+,S,1,r,*,2,s,r,1,1,y,*,2,2,s,P,y,.,P,点,r,r,=,2,2,2,1,1,(,),y,t,2,+,r,=,2,2,2,2,cos,),A,(,+,t,=,y,2,1,1,A,cos,),(,1,1,r,二、波的干涉 相干波源:若有两个波源,它们的振,66,干涉加强(A最大)条件:,干涉减弱(A最小)条件:,=,2k,k=0,1,2,+,+,+,2k,=,(,1,),k=0,1,2,1,1,1,A,cos,cos,sin,sin,=,+,2,r,r,(,),),),(,(,(,2,1,1,tg,2,2,2,A,A,A,2,2,1,r,r,),+,2,2,2,2,A,A,A,A,cos,=,2,+,+,2,2,2,1,1,A,),2,2,2,1,=,r,r,(,1,干涉加强(A最大)条件:干涉减弱(A最小)条件:=2k,67,2,波程差,r,r,1,=,+,k,干涉加强,r,2,(,),波程差,r,1,+,2k,2,=,+,1,干涉减弱,=,1,2,若:,则有:,+,+,2k,(,1,),=,=,r,r,),(,2,1,2,r,r,=,),(,2,1,2k,+,=,2,r,r,),2,2,2,1,=,(,1,问题:,对于相干光波,干涉条件如何?,2波程差rr1=+k干涉加强r2()波程差r1+2k2=,68,两波的波动方程分别为:,y,y,2,2,A,A,+,x,x,t,t,T,T,cos,cos,2,1,=,=,),),(,(,驻波,:一对振幅相同的相干波,在同一条直线上,沿相反方向传播时,叠加而成的波。,A,A,x,cos,=,振幅,2,2,y,2,2,A,+,t,T,cos,2,1,=,y,y,=,x,cos,2,三、驻波,两波的波动方程分别为:yy22AA+xxttTTcoscos,69,x,A,A,cos,=,振幅:,2,2,波腹位置:,波节位置:,2k+1,2k+1,=,(,),),(,x,x,=,2,2,4,2,2k,x,x,=,=,2k,2,4,相邻两波节(或波腹)的距离:,x,x,k+1,k,=,2,xAAcos=振幅:22波腹位置:波节位置:2k+12k,70,驻波的特点:,1.,有波节、波腹;,2.,波节两侧质点的振动周相相反,相邻两波节之间的质点振动周相相同。,3.,波的强度为零,不发生能量由近及远的传播。是一种特殊的振动状态。,波节,波腹,驻波的特点:波节波腹,71,四、半波损失,u,u,2,2,1,1,若,媒质,1,媒质,1,u,1,1,u,2,2,媒质,2,称媒质,1,为,波疏媒质;,媒质,2,为,波密媒质。,四、半波损失uu2211 若媒质1媒质1u11u,72,1.,绳子波在固定端反射,入射波,反射波,叠加后的波形,墙,体,),波,密,媒,质,(,y,y,在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相反,即入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变,称为,半波损失,。,1.绳子波在固定端反射入射波反射波叠加后的波形墙体),73,入射波,反射波,叠加后的波形,y,y,自,由,端,2.,绳子波在自由端反射,在反射端形成波腹在反射端入射波和反射波周相相同,无半波损失,。,入射波反射波叠加后的波形yy自 2.绳子波在自由端反射,74,y,=,A,cos,t,它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求:驻波方程、波节及波腹的位置。,考虑到半波损失后,P,点的振动方程:,y,d,cos,=,+,p,(,),u,t,A,y,y,cos,cos,=,=,d,p,(,(,),),u,u,t,t,入射波,入,A,A,x,d,y,墙,面,p,入射波,o,x,例,8,设波源(在原点,O,)的振动方程为:,y=Acost它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求:驻波方,75,墙,面,d,y,x,p,(,叠加点,),m,入射波,反,射,波,o,考虑到半波损失后,P,点的振动方程:,d,u,cos,y,=,+,p,(,),t,A,反射波在叠加点,(m,点,),的振动方程:,cos,2,d,u,t,A,=,+,(,),x,y,cos,d,d,u,u,t,A,=,+,),(,反,x,墙dyxp(叠加点)m入射波反射波o考虑到半波损失后P点的振,76,
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