大学物理振动和波课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十五章 机械振动,基本内容：,谐振动的特征,谐振动的描述,谐振动的合成,机械振动：,物体在一定位置附近来回往复的运动。其轨迹可以是直线，也可以是平面曲线或空间曲线。,机械振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简单的机械振动是周期性的直线振动简谐振动。,任何复杂的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的。,第十五章 机械振动基本内容：谐振动的特征,1,15.1 简谐振动的特点,A,位置A：小球所受合力为零的位置，称为,振动系统的平衡位置,。,将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦阻力小，小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力，振动将永久持续下去，这种理想化的振动是,简谐振动,。,一、,谐振动中的理想模型,弹簧振子,15.1 简谐振动的特点 A位置A：小球所受合力为零的,2,如果振动物体可表示为一质点，而与之相连接的所有弹簧等效为一轻弹簧，忽略所有摩擦，可用弹簧振子描述简谐振动。,m,k,X,0,以平衡位置为坐标原点，水平向右为正，则小球所受弹性力,F,与小球离开平衡位置的位移,x,有以下关系：,二、谐振动的特点：,1、动力学特征：,如果振动物体可表示为一质点，而与之相连接的所,3,从,动力学观点,，若物体仅受线性回复力作用，它就作简谐振动。,动力学特征：质点所受得力大小与位移成正比，方向相反。,K是弹簧的弹性系数，负号表示力和位移方向相反。,回复力,2、运动学特征：,令,从动力学观点，若物体仅受线性回复力作用，它就作简谐振,4,积分得：,从,运动学观点,，若物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数，它就作简谐振动。,运动学特征：物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数。,3、能量特征：,其中,积分得：从运动学观点，若物体离开平衡位置的位,5,能量特征：,谐振动的机械能等于x为A时的弹性势能，或速度最大时（平衡位置）的动能。振动过程中动能和势能相互转换，,机械能守恒。,一个周期内的平均动能与平均势能：,能量特征：谐振动的机械能等于x为A时的弹性势能，或速度最大时,6,例6.谐振子在相位为 ,其动能为 ,求其机械能。,解：,例6.谐振子在相位为 ,其动能为 ,求其机械能。,7,1、方程中各参量的物理意义,x,:表示,t 时刻质点离开平衡位置的位移。,A,:质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值振幅。,15.2 简谐振动的描述,一、谐振动的代数描述法,：,又,1、方程中各参量的物理意义x:表示 t 时刻质点离开,8,比较知,称为圆频率,仅决定于振动系统的力学性质。,t+,:,称位相或相位或周相，是表示任意 t 时刻振动物体动状态的参量。,:,称为初位相，是表示 t=0 时刻振动物体状态的参量。,2、位移、速度 加速度,v,的位相超前,x,/2,比较知称为圆频率仅决定于振动系统的力学性质。t+:,9,其中,是加速度的幅值,a,与,x,的位相相反,a,t,v,x,a,x,v,0,其中是加速度的幅值a 与 x 的位相相反atvxaxv0,10,问题：,是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物体的状态（t=0 时的位置及速度：x,0,v,0,)，如何求解相对应的？,（1）、已知 t=0 振动物体的状态x(0),v(0),求,可得：,A与,由系统的初始条件,x(0),v(0),决定,问题：是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动,11,（2）已知 t=0 振动物体的状态x(0)及,A时求,最终确定初位相,的值,（2）已知 t=0 振动物体的状态x(0)及A时求最终,12,m,k,X,0,例1：如图所示，将小球拉至A释放，小球作谐振动。如果已知,k,，以小球运动至A/2处，且向x负方向运动作为计时的起点，求小球的振动方程。,解：问题归结于求,t=0 小球向 x 负方向运动，因而 v,0 =+60,0,mkX0例1：如图所示，将小球拉至A释放，小球作谐振动。如果,13,例2 如图所示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统的振动方程。,m,1,k,X,0,v,m,2,解：,t=0,x(0)=0,v(0)=v,例2 如图所示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统的振动方,14,例,3,垂直悬挂的弹簧下端系一质量为,m,的小球，弹簧伸长量为,b,。求证：放手后小球作简谐振动，并写出,振动方程。,b,自然长度,mg,平衡位置,F,取平衡位置为坐标原点，静平衡受力分析如图,kb-mg=0,证明：,则有：,x,任意位置时小球所受到的合外力为：,F=mg,-,k,(,b+x,),=,-,kx,小球作谐振动,例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧,15,=,k,m,g,b,=,A=b,=,由,mg-kb,=0,得：,由题知：,t=0时，,x,0,=-,b,，,v,0,=0,则可得：,所以运动方程为：,=kmgb=A=b,=由mg-kb=0得,16,二、谐振动的图线描述法,t,x,0,t,1,A,两类问题：,1、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线,2、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程,二、谐振动的图线描述法tx0t1A两类问题：1、已知谐振动方,17,三、简谐振动的旋转矢量表示法,1、旋转矢量,A,M,x,0,P,（,t+,）,x,旋转矢量的长度,：,振幅,A,旋转矢量旋转的角速度,：,旋转矢量旋转的方向为逆时针方向,旋转矢量与参考方向,x,的夹角,：,振动周相,圆频率,M,点在,x,轴上投影,P,点的运动,规律为,振动方程,：,三、简谐振动的旋转矢量表示法 1、旋转矢量AMx0P（,18,M,P,x,A,注意：旋转矢量在第1象限速度,v,0,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,注意：旋转矢量在第2象限速度,v,0,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,注意：旋转矢量在第4象限速度,v,0,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,MPxA注意：旋转矢量在第1象限速度v 0MPxAMPxA,19,则称振动,2,超前,振动,1，,振动,1,滞后,振动,2,若周相差,=,2,-,1,0,A,1,A,2,0,A,2,A,1,0,A,A,2,2,1,1,0,x,2、用旋转矢量分析位相与振动的关系,若周相差,=,0，则称两振动,同步,若周相差,=,，则称两振动,反相,则称振动 2 超前振动 1，振动 1 滞后振动 2 若周相差,20,A,2,x,x,A,A,2,1.0,0,t,t,=1,时,x,1,=0,d,1,0,v,=,d,x,t,例4 一谐振动的振动曲线如图所示，,求、以及振动方程,。,x,A,3,t,=,0,时,0,x,=,A,2,0,0,v,=,3,1,=,2,解：,1,=,t,1,+,=,5,6,A2xxAA21.00tt=1时x1=0d10v=d,21,x,=,A,cos(,5,6,t,3,),本题,的另一种求法:,3,x,A,t=0,2,A,t=1,2,+,3,2,=,T,1,T,=,12,5,=,5,6,x=A cos(56t3)本题的另一种求法:,22,15.3 简谐振动的合成,一、同方向、同频率两个谐振动的合成,1、利用三角函数公式合成,15.3 简谐振动的合成一、同方向、同频率两个,23,令,则可得：,其中：,令则可得：其中：,24,2、利用旋转矢量合成,x,A,1,A,2,A,结论：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率与分振动频率相同。,2、利用旋转矢量合成xA1A2A结论：同方向同频率的两个简谐,25,讨论：合振动的加强与减弱,1,2,A,A,合振动加强,1,合振动减弱,A,A,2,相位相反,1,2,=,A,A,A,、,+,（1）若,=,2k,1,2,(,k,=0,1,2,.,、,+,),1,2,=,A,A,A,+,相位相同,、,+,(,k,=0,1,2,.,、,+,),（2）若,(2k+1),1,2,=,一般情形：二分振动既不同相位也不反相位，合振动振幅在A,1,+A,2,与|A,1,-A,2,|,之间。,讨论：合振动的加强与减弱12AA合振动加强1合振动减弱AA2,26,二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成,一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。,一种特殊情况,拍现象,1,2,拍频,=,1,2,2,1,x,x,=,=,A,A,cos,cos,2,t,t,2,x,=,x,x,+,1,2,2,2,1,1,1,1,1,2,2,=,2,A,cos,2,(,(,),),2,cos,t,t,2,+,2,二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成一般情况下合成后的振动,27,t,t,t,x,x,1,2,x,=,2,0.25s,0.75s,0.50s,=,=,2,16,18,1,tttxx12x=20.25s0.75s0.50s=,28,利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）,三、相互垂直的同频率的两个谐振动的合成,例5已知,求：合振动的振幅及初相位，并写出合振动的表达式。,解：,利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）三、相互垂直的同,29,例6一物体沿x,轴作简谐振动，振幅为0.12m,周期为2s，当t=0时位移为0.06m，且向x轴正方向运动，求（1）振动表达式；,（2）t=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；,（3）从x=-0.06m且向x轴负方向运动到返回平衡位置所需的时间,解:（1）,由于物体此时向x正向运动，,故,（2）,例6一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m,周期为2s,30,（3）注意相位与状态相对应。,质点沿x轴负向运动，,设 时，x=-0.06m.,故,质点返回平衡位置的相位为 ，设该时刻为,。,所以,（3）注意相位与状态相对应。质点沿x轴负向运动，设,31,第十六章 波动学基础,波动是振动的传播过程，也是动量和能量传播的过程。,机械波：机械振动在媒质中的传播过程。,电磁波：交变电磁场在空间的传播过程。,基本内容：,机械波的产生与传播,机械波的几个特征量,波动方程,波的叠加原理,（特例）波的干涉。,各类波的本质不同，但都伴有能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，且有相似的数学描述。,第十六章 波动学基础 波动是振动的传播过程，也是动量和能量传,32,16.1 机械波的产生与传播,1、,波源,2、,弹性媒质,横波：,质点的振动方向和波的传播方向垂直,纵波：,质点的振动方向和波的传播方向平行,二、机械波的分类,一、产生机械波的条件,特点：具有波峰和波谷,（如绳子上的波）,特点：具有疏密相间的区域,（如声波）,16.1 机械波的产生与传播1、波源 2、弹性媒质,33,横波的波动,波的传播方向,x,y,振,动,方,向,特点：具有波峰和波谷,横波的波动波的传播方向xy振特点：具有波峰和波谷,34,纵波的波动,波的传播方向,质点振动方向,疏,密,疏,密,疏,特点：具有疏密相间的区域,纵波的波动波的传播方向质点振动方向疏密疏密疏特点：具有疏密相,35,三、波的形成和传播（以横波为例）,1、过程分析：由于媒质内各质点间存在相互作用力，故当一个质点振动后，在媒质内部的弹性力作用下，将带动其周围其它的质点也相继振动起来如此依次带动，振动状态由近及远地传播开去,形成机械波。,（静止）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,（振动状态传至4）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,（振动状态传至7）,三、波的形成和传播（以横波为例）1、过程分析：由于媒质内各质,36,（振动状态传至10),（振动状态传至13）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,2.结论,（1）各质点仅在自己的平衡位置附近振动，并不,随波前进。,（2）,振动状态,以一定的速度传播波速。（注意,波速不是质点的振动速度）,（振动状态传至10)（振动状态传至13）1 2,37,（3）波的周期与质点的振动周期相同。,沿波的传播方向，各质点的相位依次落后。,（4）波形在空间移动行波。,四、波的几何描述,同相面（波面）：,由振动周相相同的点所组成的面。,波阵面（波前)：,某时刻波动所到达的点所组成的面。,波线（波法线）：,表示波的传播方向的线。在各向同性介,质中与波面法线相同。,在各向同性媒质中波线和波阵面垂直,（3）波的周期与质点的振动周期相同。（4）波形在空间移动行,38,平面波,波,线,波,阵,面,球面波,波阵,面,波,线,平面波：,球面波：,波阵面为一球面。,波阵面为一平面。,平面波波波球面波波阵波平面波：球面波：波阵面为一球面。波阵面,39,横波波速,s,F,F,G,切变弹性模量,密度（单位体积质量）,波长,在同一条波线上,周相差为2,的两,质点间的距离。,周期,传播一个波长距离所用的时间。,频率,在单位时间内通过某一观察点的完整波数目。,波速,波在单位时间内所传播的距离。,16.2 机械波的几个特征量,频率,和,周期,只决定于波源，和媒质无关。,横波波速sFFG 切变弹性模量波长 在同一条波线上,周相,40,纵波波速,流体（气体、液体）,固体,Y:,杨氏弹性模量,V,V,P,P,B:,容变弹性模量,波速是与媒质有关的一个物理量,纵波波速流体（气体、液体）固体Y:杨氏弹性模量VVPPB:,41,任意点（,B,点）的振动方程为：,参考点,O,点的振动方程为：,u,y,x,x,o,B,y表示在波线上任意一点（距原点为,x,处）质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波的波动方程。,16.3 波动方程,一、平面简谐波的波动方程,任意点（B点）的振动方程为：参考点O点的振动方程为：uyxx,42,质点的振动速度：,平面简谐波的波动方程为:,其中减号表示波向x轴正向传播，加号表示波向x轴负向传播,质点的振动速度：平面简谐波的波动方程为:其中减号表示波向x轴,43,表示在t,1,时刻的波形,y,t,o,3,、,t,与,x,都发生变化,t,=,t,1,时,y,x,o,表示x,1,处质点的振动方程,二、波动方程的物理意义,1、,x,=,x,1,（常数）,2、,t,=,t,1,（常数）,t,=,t,1,+t时,表示在t1 时刻的波形yto3、t 与 x 都发生变化t=,44,y,y,1,x,ut,x,y,t,x,表示在,t,1,时刻,x,处的位移,y,1,，,在经过,t,时间后，同样的位移发生在,x,处，波向前传播了,ut,的距离，即某一固定周相传播了,ut,的距离。,y,1,=,令,y,x,x,=,+,u,t,得：,yy1xutxytx表示在t1时刻x处的位移y1，在经过t,45,可以证明三维的波动方程为：,其中为,质点的位移,从上两式可得波动方程：,三、波动方程的一般形式,可以证明三维的波动方程为：其中为质点的位移从上两式可得波动,46,例1,、,已知波源在原点的平面简谐波的方程为,式中A、B、C为正值恒量。,试求：,（1）波的振幅、波速、频率、周期与波长；,（3）任何时刻，在波传播方向上相距为D的两点的周相差。,（2）写出传播方向上距离波源,l,处一点的振动方程；,解：（1）波动方程的标准形式,例1、已知波源在原点的平面简谐波的方程为式中A、B、C为正值,47,波的振幅为A,波速,频率,波长,（2）,（3）,波的振幅为A,波速频率波长（2）（3）,48,例,2,以,P,点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。,y,x,P,o,u,d,解：,p,=,2,y,p,=,A,A,A,cos,cos,cos,d,d,t,t,t,),),),(,(,(,2,2,2,y,=,=,o,+,+,u,u,y,x,u,例2 以P 点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写,49,例,3,波速,u,=400m/s,t,=0 s,时刻的波形如图所示。写出波动方程。,u,y,(m),p,4,5,3,2,o,x,(m),2,3,=,=,0,p,t,=,=,=,A,y,v,0,0,0,(o,点,),2,2,0,=,y,v,0,0,t,0,(p,点,),=,0,0,得：,得：,例3 波速 u=400m/s,t=0 s时,50,2,p,=,0,d,0,p,=,2,d,=,=,2,2,3,5,(,),3,4(m),y,(m),2,3,=,=,0,p,u,p,4,5,3,2,o,x,(m),d,2p=0d0p=2d=2235(),51,y,=,=,2,200,2,u,=,=,=,2,400,4,0,4,cos,),(,200,3,t,S,1,=,4(m),(,),例4,一横波在弦上传播，其方程是,式中x、y以米计，t与秒计。,（1）求波长、周期、波速；,（2）画出 t=0,0.0025s,0.005s时弦的形状。,y=22002u=2400404cos,52,解：（1）方法一：,与标准方程相比较,波长,周期 T=0.01S,波速,方法二、,依各量的物理意义求解,解：（1）方法一：与标准方程相比较波长周期 T=0.01S,53,（2）方法一：根据各时刻的波形方程逐一画出波形。,方法二：只画出t=0的波形，然后采用移动波形的方法。,0.4,0.2,y,x,o,（2）方法一：根据各时刻的波形方程逐一画出波形。方法二：只画,54,例5、一平面简谐波在空间以速度u 传播，已知p点的振,就下面四种选定的坐标系，写出各自的波函数。,动方程为,o,p,y,x,u,u,x,y,o,p,u,x,y,o,p,l,o,p,y,x,u,l,例5、一平面简谐波在空间以速度u 传播，已知p点的振就下面四,55,例6,、,沿x轴,负向,传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速,u,=0.5m/s求原点0的振动表达式。,t=0,x,0,y,0.5,-1,1,2,t=2s,解：由图知,t=0原点0:,例6、沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，,56,例7、,一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率为,A、,波速为 u，设t=0时的波形曲线如图。,（1）写出该波的波函数；,（2）求距,0点为,（3）求距,0点为,处的质点的振动表达式；,处的质点在t=0时的振动速度。,y,x,0,u,例7、一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率为A、波速为,57,解：（1）t=0时，0点的相位，即初相位,故波函数,（2）,（3）,解：（1）t=0时，0点的相位，即初相位故波函数（2）（3,58,16.4 波的能量 能流密度,一、能量密度,p,d,E,d,E,=,可以证明：,k,d,m,d,V,取体积元,d,V,，,体元内质量为,d,V,d,m,=,16.4 波的能量 能流密度一、能量密度pdEdE=,59,d,E,d,E,=,2,k,+,d,E,p,=,d,E,k,能量密度:,平均能量密度：,dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：,60,能流,P,:,单位时间通过某一面积的波能。,P=S w u,二、能流密度,平均能流,P,:,能流在一个周期内的平均值。,u,u,S,能流P:单位时间通过某一面积的波能。P=S w u二,61,波的强度,I,（能流度）:通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流。,w,1,2,2,2,u,I,=,u,=,A,总结：,波是能量传播的一种形式。,波真正传播的是振动、波形和能量。波形传,播是现象，振动传播是本质，能量传播是量度。,波的强度 I（能流度）:通过垂直于波的传播方向的单,62,t+,t,u,t,u,t,t+,t,t,时刻波阵面,t,时刻波阵面,16.5 惠更斯原理,一、惠更斯原理,波动所到达的媒质中各点，都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,t+tututt+tt时刻波阵面t时刻波阵面,63,用惠更斯原理解释折射定律,sin,sin,i,r,=,CB,AB,AD,AB,=,u,u,1,1,2,2,=,u,2,u,=,=,n,n,1,n,1,2,t,t,i,u,u,t,1,2,t,r,n,n,1,2,C,B,A,D,i,r,u,t,1,2,二、惠更斯原理的应用,用惠更斯原理解释折射定律sinsinir=CBABADAB=,64,沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加,两水波的叠加,16.6 波的叠加原理,一、波的叠加原理,1、,波的独立传播原理:,有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。,2、,波的叠加原理:,在几列波相遇的区域内,媒质质点同时参与这几列波所引起振动，其位移为各波单独存在时在该点所引起振动的合振动。,沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加两水波的叠加 16.6 波,65,二、波的干涉,相干波源：,若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为,相干波源,。,波源,cos,=,+,t,y,2,2,2,A,),(,S,t,=,y,1,1,1,A,cos,),(,+,S,1,r,*,2,s,r,1,1,y,*,2,2,s,P,y,.,P,点,r,r,=,2,2,2,1,1,(,),y,t,2,+,r,=,2,2,2,2,cos,),A,(,+,t,=,y,2,1,1,A,cos,),(,1,1,r,二、波的干涉 相干波源：若有两个波源，它们的振,66,干涉加强(A最大)条件：,干涉减弱(A最小)条件：,=,2k,k=0,1,2,+,+,+,2k,=,(,1,),k=0,1,2,1,1,1,A,cos,cos,sin,sin,=,+,2,r,r,(,),),),(,(,(,2,1,1,tg,2,2,2,A,A,A,2,2,1,r,r,),+,2,2,2,2,A,A,A,A,cos,=,2,+,+,2,2,2,1,1,A,),2,2,2,1,=,r,r,(,1,干涉加强(A最大)条件：干涉减弱(A最小)条件：=2k,67,2,波程差,r,r,1,=,+,k,干涉加强,r,2,(,),波程差,r,1,+,2k,2,=,+,1,干涉减弱,=,1,2,若：,则有：,+,+,2k,(,1,),=,=,r,r,),(,2,1,2,r,r,=,),(,2,1,2k,+,=,2,r,r,),2,2,2,1,=,(,1,问题：,对于相干光波，干涉条件如何？,2波程差rr1=+k干涉加强r2()波程差r1+2k2=,68,两波的波动方程分别为：,y,y,2,2,A,A,+,x,x,t,t,T,T,cos,cos,2,1,=,=,),),(,(,驻波,：一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，沿相反方向传播时，叠加而成的波。,A,A,x,cos,=,振幅,2,2,y,2,2,A,+,t,T,cos,2,1,=,y,y,=,x,cos,2,三、驻波,两波的波动方程分别为：yy22AA+xxttTTcoscos,69,x,A,A,cos,=,振幅：,2,2,波腹位置：,波节位置：,2k+1,2k+1,=,(,),),(,x,x,=,2,2,4,2,2k,x,x,=,=,2k,2,4,相邻两波节（或波腹）的距离:,x,x,k+1,k,=,2,xAAcos=振幅：22波腹位置：波节位置：2k+12k,70,驻波的特点：,1.,有波节、波腹；,2.,波节两侧质点的振动周相相反，相邻两波节之间的质点振动周相相同。,3.,波的强度为零，不发生能量由近及远的传播。是一种特殊的振动状态。,波节,波腹,驻波的特点：波节波腹,71,四、半波损失,u,u,2,2,1,1,若,媒质,1,媒质,1,u,1,1,u,2,2,媒质,2,称媒质,1,为,波疏媒质；,媒质,2,为,波密媒质。,四、半波损失uu2211 若媒质1媒质1u11u,72,1.,绳子波在固定端反射,入射波,反射波,叠加后的波形,墙,体,),波,密,媒,质,(,y,y,在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变，称为,半波损失,。,1.绳子波在固定端反射入射波反射波叠加后的波形墙体),73,入射波,反射波,叠加后的波形,y,y,自,由,端,2.,绳子波在自由端反射,在反射端形成波腹在反射端入射波和反射波周相相同,无半波损失,。,入射波反射波叠加后的波形yy自 2.绳子波在自由端反射,74,y,=,A,cos,t,它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求：驻波方程、波节及波腹的位置。,考虑到半波损失后,P,点的振动方程：,y,d,cos,=,+,p,(,),u,t,A,y,y,cos,cos,=,=,d,p,(,(,),),u,u,t,t,入射波,入,A,A,x,d,y,墙,面,p,入射波,o,x,例,8,设波源（在原点,O,）的振动方程为：,y=Acost它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求：驻波方,75,墙,面,d,y,x,p,(,叠加点,),m,入射波,反,射,波,o,考虑到半波损失后,P,点的振动方程：,d,u,cos,y,=,+,p,(,),t,A,反射波在叠加点,(m,点,),的振动方程：,cos,2,d,u,t,A,=,+,(,),x,y,cos,d,d,u,u,t,A,=,+,),(,反,x,墙dyxp(叠加点)m入射波反射波o考虑到半波损失后P点的振,76,