对坐标曲线积分课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,*,目录 上页 下页 返回 结束,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念,与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,1,ppt课件,第二节一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.,引例,:,变力沿曲线所作的功,.,设一质点受如下变力作用,在,xOy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,“,大化小”,“,常代变”,“,近似和”,“,取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法,:,动过程中变力所作的功,W,.,2,ppt课件,一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所,1),“,大化小,”,.,2),“,常代变,”,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,F,沿,则,用有向线段,上任取一点,在,3,ppt课件,1)“大化小”.2)“常代变”把L分成 n 个小弧段,有,3),“,近似和,”,4),“,取极限,”,(,其中,为,n,个小弧段的,最大长度,),4,ppt课件,3)“近似和”4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的,2.,定义,.,设,L,为,xOy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑,弧,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,.,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,5,ppt课件,2.定义.设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向,若,为空间曲线弧,记,称为对,x,的曲线积分,;,称为对,y,的曲线积分,.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,6,ppt课件,若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对,3.,性质,(1),若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),用,L,表示,L,的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例,.,说明,:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,!,7,ppt课件,3.性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2),二、对坐标的曲线积分的计算法,定理,:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,8,ppt课件,二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义,特别是,如果,L,的方程为,则,对空间光滑曲线弧,:,类似有,定理,9,ppt课件,特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有,例,1.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法,1,取,x,为参数,则,解法,2,取,y,为参数,则,从点,的一段,.,10,ppt课件,例1.计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数,则,例,2.,计算,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a,0),沿,x,轴到点,B,(,a,0).,解,:,(1),取,L,的参数方程为,(2),取,L,的方程为,则,则,11,ppt课件,例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的,例,3.,计算,其中,L,为,(1),抛物线,(2),抛物线,(3),有向折线,解,:,(1),原式,(2),原式,(3),原式,12,ppt课件,例3.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3,例,4.,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,:,(1),(2),的参数方程为,试求力场对质点所作的功,.,其中,为,13,ppt课件,例4.设在力场作用下,质点由沿 移动到解:(1)(2,例,5.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向,.,解,:,取,的参数方程,14,ppt课件,例5.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解:取,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧,L,以弧长为参数,的参数方程为,已知,L,切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,15,ppt课件,三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的,类似地,在,空间曲线,上的两类曲线积分的联系是,16,ppt课件,类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是16ppt,例,7,.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中,L,沿上半圆周,17,ppt课件,例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周17pp,2.,已知,为折线,ABCOA,(,如图,),计算,提示,:,18,ppt课件,2.已知为折线 ABCOA(如图),计算提示:18ppt,1.,解,:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到,xOy,面的距离成反比,.,沿直,求,F,所作的功,W,.,已知,F,的方向指,一质点在力场,F,作用下由点,19,ppt课件,1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距,