轴的扭转课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,工程力学,工程应用实例,工程应用实例,1,工程应用实例,工程应用实例,2,几个重要概念,扭转,：,是杆的又一种基本变形形式。其,受力特点,是：构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。,扭转角,：,任意,两横截面间的相对角位移,。,轴,：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。,M,M,O,B,A,A,B,O,几个重要概念扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构,3,一、外力偶矩,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,设电机输入功率为,N,(kW),，,轴的转速为,n,(r/min),，,则,N=m,，,将,=2,n,/60,带入整理可得外力偶矩计算公式：,一、外力偶矩8.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图 设电机输入功,4,电机传递扭矩,转动机器,已知匀速转速,n,转,/,分钟,；,输出功率,N,千瓦,，,求,扭矩,T,（图中,T,是机器对于,电机扭矩,的反作用力矩）,解,:,出发点,计算一分钟的功,W,从扭矩看,从电机看,两式得扭矩,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,电机传递扭矩 转动机器已知匀速转速n转/分钟；输出,5,二、扭矩和扭矩图,扭矩矢量,背离,截面为,+,，,指向,截面为,-,符号规定：,用,矢量,表示，采用,右手,螺旋法则,：,绕轴线旋转,由截面法,扭矩,（,T,）,的内力偶矩,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,二、扭矩和扭矩图扭矩矢量背离截面为+，指向截面为-符号,6,扭矩图,扭矩沿轴线的变化图线,2.,正,值画在,上,方，,扭矩图的,做法,：,1.,横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩；,负值画在下方。,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,扭矩图扭矩沿轴线的变化图线 2.正值画在上方，扭矩图的做,7,例,8-1,某传动轴受力如图所示，已知：,M,e,A,=350N,m,，,1,.,求,扭矩,解,：,M,e,B,=1000Nm,，,M,e,C,=650Nm,。作此轴的扭矩图。,对,AB,段：,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,例 8-1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm,8,1,.,求,扭矩,对,AB,段：,对,BC,段：,M,e,B,=1000Nm,，,M,e,C,=650Nm,。作此轴的扭矩图。,解,：,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,例,8-1,某传动轴受力如图所示，已知：,M,e,A,=350N,m,，,1.求扭矩 对AB段：对BC段：MeB=1000Nm,9,1,.,求,扭矩,解,：,对,AB,段：,对,BC,段：,2,.,作,扭矩图,M,e,A,A,C,B,M,e,B,M,e,C,M,e,B,=1000Nm,，,M,e,C,=650Nm,。作此轴的扭矩图。,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,例,8-1,某传动轴受力如图所示，已知：,M,e,A,=350N,m,，,1.求扭矩 解：对AB段：对BC段：2.作扭矩,10,3.,讨论,将轮,B,与轮,C,的位置对调,结论：,为了减小传动轴内的,扭矩，,应合理的安排主动,轮与从动轮的位置。,。,M,e,A,A,C,B,M,e,B,M,e,C,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,3.讨论 将轮B与轮C的位置对调 结论：为了减小传动,11,求扭矩的法则：,任意横截面上的扭矩,实用法则：,取,左,(,右,),段时，向,左,(,右,),的外扭矩,矢量,，在截面上,=,截面一侧所有外扭矩的,代数和,产生,正扭矩,，反之，产生负扭矩；代数和为正，则扭矩,为正，代数和为负，则扭矩为负。,M,e,A,A,C,B,M,e,B,M,e,C,8.1,外力偶矩、扭矩和扭矩图,求扭矩的法则：任意横截面上的扭矩 实用法则：取左(,12,薄壁圆筒：,壁厚,（,r,0,：,为平均半径）,薄壁圆筒扭转实验,（,1,）实验前：,绘纵向线，圆周线；,施加一对外力偶,m,。,1,、薄壁圆筒扭转时的切应力,8.2,受扭构件的应力及强度条件,薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）薄壁圆筒扭转实验（1）实验,13,（,2,）实验后：,圆周线不变；,纵向线变成斜直线。,（,3,）结论：,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改,变，只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度,。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形,。,8.2,受扭构件的应力及强度条件,（2）实验后：圆周线不变；（3）结论：8.2 受扭构件的,14,推论,横截面上无正应力，只有切应力；,切应力方向垂直半径或与圆周相切,.,d,x,t,圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。,M,e,M,e,A,B,D,C,8.2,受扭构件的应力及强度条件,推论横截面上无正应力，只有切应力；切应力方向垂直半径或与圆周,15,薄壁圆筒扭转时的切应力,：,A,：平均半径所作圆的面积,r,：圆筒平均半径,T,8.2,受扭构件的应力及强度条件,薄壁圆筒扭转时的切应力：A：平均半径所,16,x,d,y,d,z,d,x,y,z,2,、切应力互等定理,2.1,在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于,y,轴平行,.,可知，两侧面的内力元素,d,y,d,z,大小相等，方向相反，将组成,一个力偶。,由平衡方程,其矩为,(,d,y,d,z,)d,x,8.2,受扭构件的应力及强度条件,xdydzdxyz2、切应力互等定理 2.1 在单元体,17,x,y,d,y,d,z,z,d,x,2.2,要满足平衡方程,在单元体的上、下两平面上必有大小,相等，指向相反的一对内力元素,它们组成力偶，其矩为,此力偶矩与前一力偶矩,数量相等而转向相反，从而可得,(,d,y,d,z,)d,x,8.2,受扭构件的应力及强度条件,xydydzzdx2.2 要满足平衡方程在单元体的上、,18,2.3,切应力互等定理,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,x,y,d,y,d,z,z,d,x,8.2,受扭构件的应力及强度条件,2.3 切应力互等定理在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必,19,8.2,受扭构件的应力及强度条件,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为,纯剪切应力状态。,a,c,d,d,x,b,d,y,t,z,纯剪切单元体：,单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为,纯剪切单元体,.,8.2 受扭构件的应力及强度条件单元体的四个侧面上只有剪应,20,扭转时,单元体,abcd,的,ab,边相对于,cd,发生了微小的相对错动，引起单元体,abcd,的,剪切变形,。,如图所示：,ab,边对,cd,边相对错动的距离是：,直角,abc,的角度改变量：,3,、剪切胡克定律,8.2,受扭构件的应力及强度条件,扭转时,单元体abcd的ab边相对于cd发生了,21,m,m,l,式中，,r,为薄壁圆筒的平均半径,.,由图所示的几何关系得到,薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶,m,在某一范围内时，与,m,（在数值上等于,T,）成正比,.,8.2,受扭构件的应力及强度条件,mml式中，r 为薄壁圆筒的平均半径.由图所示的几何关系得,22,m,切应力低于剪切比例极限时：,m,8.2,受扭构件的应力及强度条件,m 切应力低于剪切比例极限时：m,23,式中：,G,是材料的一个弹性常数，称为,剪切弹性模量,，因,无量纲，故,G,的量纲与,相同，不同材料的,G,值可通过实验确定，钢材的,G,值约为,80GPa,。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,8.2,受扭构件的应力及强度条件,剪切胡克定律,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模,24,二、圆轴扭转时横截面上的应力,1,、变形几何关系,8.2,受扭构件的应力及强度条件,扭转变形现象：,取一等直圆轴，在其表面上作圆周线和纵向线，在扭转力偶矩,m,作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象，即各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周间的距离不变。,在小变形的情况下，纵向线近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的矩形，变形后错动成平行四边形。,圆轴扭转平面假设：,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直径，且相邻两截面间的距离不变。,二、圆轴扭转时横截面上的应力1、变形几何关系 8.2 受扭,25,扭转时,单元体,abcd,的,ab,边相对于,cd,发生了微小的相对错动，引起单元体,abcd,的,剪切变形,。,如图所示：,ab,边对,cd,边相对错动的距离是：,直角,abc,的角度改变量：,8.2,受扭构件的应力及强度条件,扭转时,单元体abcd的ab边相对于cd发生了,26,可以求得距圆心为,处的切应变为：,8.2,受扭构件的应力及强度条件,可以求得距圆心为处的切应变为：8.2 受扭构件的应力及,27,2,、物理关系,由剪切胡克定律,同一圆周上各点剪应力,均相同，,且其值与,成正比，,与半径垂直,。,8.2,受扭构件的应力及强度条件,2、物理关系 由剪切胡克定律 同一圆周上各点剪应力,28,3,、静力学关系,令：,I,P,为横截面对形心的,极惯性矩,则：,或：,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式,:,8.2,受扭构件的应力及强度条件,3、静力学关系 令：IP 为横截面对形心的 极惯性矩则：或,29,横截面周边上各点处,(,=R),的最大切应力为,:,引入,:,式中,W,p,称为,抗扭截面系数,，其单位为,m,3,。,8.2,受扭构件的应力及强度条件,横截面周边上各点处(=R)的最大切应力为:引入:式中,30,4,、圆截面的极惯性矩,I,p,和扭转截面系数,W,p,实心圆截面,：,空心圆截面：,8.2,受扭构件的应力及强度条件,4、圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp实心圆截面：空心圆,31,强度条件,扭转强度条件同样可以用来解决,三类问题,：,三、圆轴扭转时的强度计算,圆轴扭转时,的强度条件,设计截面尺寸,强度校核,确定许用载荷,8.2,受扭构件的应力及强度条件,强度条件扭转强度条件同样可以用来解决三类问题：三、圆轴扭转时,32,例,8-2,如图所示为阶梯形圆轴，其中实心,AB,段直径,d,1,=40mm,；,BD,段为空心部分，外径,D,=55mm,，内径,d,=45mm,。轴上,A,、,D,、,C,处为皮带轮，已知主动轮,C,输入的外力偶矩为,M,C,=1.8kN,，从动轮,A,、,D,传递的外力偶矩分别为,M,A,=0.8kNm,，,M,D,=1kNm,，材料的许用切应力,=80MPa,。试校核该轴的强度。,解：,1,）画扭矩图：,用截面法（或简捷方法）可作出该阶梯形圆轴的扭矩图如图所示。,1.0kN,m,0.8kN,m,8.2,受扭构件的应力及强度条件,例8-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段,33,2,）,强度校核,：由于两段轴的截面面积和扭矩值不,同，故要,分别,进行强度,校核,。,AB,段：,CD,段：轴的内外径之比,故：此阶梯形圆轴满足强度条件。,8.2,受扭构件的应力及强度条件,2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不AB段：CD段,34,一、扭转变形,扭转角,：,圆轴扭转时，两横截面相对转过的角度称为这两截面的相对扭转角。,抗扭刚度,：式中的,GI,P,称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴,抵抗,扭转变形的,能力,。,M,M,O,B,A,若在圆轴的,l,长度内，,T,、,G,、,I,P,均为,常数,，则圆轴两端截面的,相对扭转角,为：,8.3,圆轴扭转时的变形和刚度计算,一、扭转变形扭转角：圆轴扭转时，两横截面相对转过的角度称为这,35,工程上,的单位通常用度,/,米（,/m,），由于,1,弧度,=180,/,，故上述刚度条件又可写成,单位长度扭转角,刚度条件,刚度条件,二、刚度计算,8.3,圆轴扭转时的变形和刚度计算,工程上 的单位通常用度/米（/m），由于1弧,36,单位长度许用扭转角,的,大致取值,如下：,刚度条件,说 明,精密机器、仪器的轴：,=,/m,（,0.25,0.50,）,精度要求不高的传动轴：,=,/m,（,2.0,4.0,）,一般传动轴：,=,/m,（,0.5,1.0,）,8.3,圆轴扭转时的变形和刚度计算,单位长度许用扭转角 的大致取值如下：刚度条件说 明,37,例,8-3,传动轴如图所示，已知轴的直径,d,=45mm,，转速,n,=300r/min,。主动轮,A,输入的功率,P,A,=36.7KW,；从动轮,B,、,C,、,D,输出的功率分别为,P,B,=14.7KW,，,P,C,=,P,D,=11KW,。轴材料的剪切弹性模量,G,=80GPa,，许用切应力,=40MPa,，单位长度的许用扭转角,=1.5,/m,，试校核轴的强度和刚度。,解：,1,）计算外力偶矩,同理,8.3,圆轴扭转时的变形和刚度计算,例8-3 传动轴如图所示，已知轴的直径d=,38,2,）绘制扭矩图,用截面法求,1-1,截面的扭矩,2-2,截面的扭矩,3-3,截面的扭矩,绘出的扭矩图如图所示。显然,AC,段,扭矩,最大,，由于是等截面圆轴，故危险截面在,AC,段内。,1,1,2,2,3,3,700N,m,350N,m,468N,m,B A,C D,8.3,圆轴扭转时的变形和刚度计算,2）绘制扭矩图 用截面法求2-2截面的扭矩3,39,3,）强度校核,4,）刚度校核,因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是,安全,的。,轴满足,强度条件,8.3,圆轴扭转时的变形和刚度计算,3）强度校核 4）刚度校核 因轴同时满足刚度条件，所以,40,例,8-4,若将前题中的圆轴改为同样强度的,空心,圆轴，其内外径之比,=,d/D=0.7,，试设计其内外径尺寸，并与前题所消耗材料作一,比较,。,解：,要求与前题之轴具有同样强度，即要求该空心圆轴工作时的最大切应力与实心圆轴的最大切应力相同：,max,38.4MPa,，即有,8.3,圆轴扭转时的变形和刚度计算,例8-4 若将前题中的圆轴改为同样强度的空心圆轴，其内外径,41,二者所费材料比就是横截面积之比,可见空心圆轴所用材料只占实心轴所用材料的,61%,，,节约了材料,。,8.3,圆轴扭转时的变形和刚度计算,二者所费材料比就是横截面积之比 可见空心圆,42,