课后答案第2章课件

单击此处编辑母版标题样式,时域离散信号和系统的频域分析,第,章,第,2,章时域离散信号和系统的频域分析,2.1,学习要点与重要公式,2.2,FT,和,ZT,的逆变换,2.3,分析信号和系统的频率特性,2.4,例题,2.5,习题与上机题解答,2.1,学习要点与重要公式,数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（,FT,）、,Z,变换（,ZT,）和离散傅里叶变换（,DFT,）。利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这方便了对信号和系统的分析和处理。,三种变换互有联系，但又不同。表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。,Z,变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的,Z,变换就是傅里叶变换。,在,z,域进行分析问题会感到既灵活又方便。离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。离散傅里叶变换具有快速算法,FFT,，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和,Z,变换，它将信号的时域和频域，都进行了离散化，这是它的优点。但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用,DFT,。本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其,FFT,将在下一章学习。,2.1.1,学习要点,（,1,）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。,（,2,）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。,（,3,）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。,（,4,）,Z,变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。,（,5,）,Z,变换的定理和性质：移位、反转、,z,域微分、共轭序列的,Z,变换、时域卷积定理、初,值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。,（,6,）系统的传输函数和系统函数的求解。,（,7,）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。,（,8,）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。,（,9,）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。,2.1.2,重要公式,（,1,）,这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件，即,（,2,）,这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对，可用以表现周期序列的频谱特性。,（,3,）,该式用以求周期序列的傅里叶变换。如果周期序列的周期是,N,，则其频谱由,N,条谱线组成，注意画图时要用带箭头的线段表示。,（,4,）若,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),则,这是时域卷积定理。,（,5,）若,y,(,n,)=,x,(,n,),h,(,n,),则,这是频域卷积定理或者称复卷积定理。,（,6,）,式中,x,e,(,n,),和,x,o,(,n,),是序列,x,(,n,),的共轭对称序列和共轭反对称序列，常用以求序列的,x,e,(,n,),和,x,o,(,n,),。,（,7,）,这两式分别是序列,Z,变换的正变换定义和它的逆,Z,变换定义。,（,8,）,前两式均称为巴塞伐尔定理，第一式是用序列的傅里叶变换表示，第二式是用序列的,Z,变换表示。如果令,x,(,n,)=,y,(,n,),，可用第二式推导出第一式。,（,9,）若,x,(,n,)=,a,|,n,|,则,x,(,n,)=,a,|,n,|,是数字信号处理中很典型的双边序列，一些测试题都是用它演变出来的。,2.2,FT,和,ZT,的逆变换,（,1,）,FT,的逆变换为,用留数定理求其逆变换，或将,z,=e,j,代入,X,(e,j,),中，得到,X,(,z,),函数，再用求逆,Z,变换的方法求原序列。注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域，或者说封闭曲线,c,可取,单位圆。,例如，已知序列,x,(,n,),的傅里叶变换为,求其反变换,x,(,n,),。将,z=,e,j,代入,X,(e,j,),中，得到,因极点,z,=,a,，取收敛域为,|,z,|,a,|,，由,X,(,z,),很容易得到,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),。,（,2,）,ZT,的逆变换为,求,Z,变换可以用部分分式法和围线积分法求解。用围线积分法求逆,Z,变换有两个关键。一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系，可以总结成几句话：收敛域包含点，序列是因果序列；收敛域在某圆以内，是左序列；收敛域在某圆以外，是右序列；收敛域在整个,z,面，是有限长序列；以上、均未考虑,0,与两点，这两点可以结合问题具体考虑。另一个关键是会求极点留数。,2.3,分析信号和系统的频率特性,求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。但分析频率特性使用,Z,变换却更方便。我们已经知道系统函数的极、零点分布完全决定了系统的频率特性，因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性，包括定性地画幅频特性，估计峰值频率或者谷值频率，判定滤波器是高通、低通等滤波特性，以及设计简单的滤波器（内容在教材第,5,章）等。,根据零、极点分布可定性画幅频特性。当频率由,0,到,2,变化时，观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化，在极点附近会形成峰。极点愈靠进单位圆，峰值愈高；零点附近形成谷，零点愈靠进单位圆，谷值愈低，零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。当然，峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近，谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。滤波器是高通还是低通等滤波特性，也可以通过分析极、零点分布确定，不必等画出幅度特性再确定。一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带；阻带在最靠近单位圆的零点附近，如果没有零点，则离极点最远的地方是阻带。参见下节例,2.4.1,。,2.4,例题,例,2.4.1,已知,IIR,数字滤波器的系统函数,试判断滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）。（某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）,解,：将系统函数写成下式,:,系统的零点为,z,=0,，极点为,z,=0.9,，零点在,z,平面的原点，不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的,0.9,处，因此滤波器的通带中心在,=0,处。毫无疑问，这是一个低通滤波器。,例,2.4.2,假设,x,(,n,)=,x,r,(,n,)+j,x,i,(,n,),，,x,r,(,n,),和,x,j,(,n,),为实序列，,X,(,z,)=ZT,x,(,n,),在单位圆的下半部分为零。已知,求,X,（,e,j,）,=FT,x,(,n,),。,解,：,X,e,(e,j,)=FT,x,r,(,n,),因为,X,(e,j,)=0,2,所以,X,(e,-j,)=,X,(e,j(2-,),)=0,0,当,0,时，故,当,2,时，,X,(e,j,)=0,，故,0,2,因此,Re,X,(e,j,),=,X,(e,j,),Im,X,(e,j,),=0,例,2.4.3,已知,0,n,N,N,+1,n,2,N,n,0,2,N,n,求,x,(,n,),的,Z,变换。,解,：题中,x,(,n,),是一个三角序列，可以看做两个相同的矩形序列的卷积。,设,y,(,n,)=,R,N,(,n,)*,R,N,(,n,),则,n,0,0,n,N,1,N,n,2,N,1,2,N,n,将,y,(,n,),和,x,(,n,),进行比较，得到,y,(,n,1)=,x,(,n,),。因此,Y,（,z,）,z,1,=,X,(,z,),Y,(,z,)=ZT,R,N,(,n,),ZT,R,N,(,n,),故,例,2.4.4,时域离散线性非移变系统的系统函数,H,(,z,),为,（,1,）要求系统稳定，确定,a,和,b,的取值域。（,2,）要求系统因果稳定，重复（,1,）。解：（,1,）,H,(,z,),的极点为,a,、,b,，系统稳定的条件是收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点。因此，只要满足,|,a,|1,|,b,|1,即可使系统稳定，或者说,a,和,b,的取值域为除单位圆以的整个,z,平面。（,2,）系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内，所以,a,和,b,的取值域为,0|,a,|1,0|,b,|1,例,2.4.5,f,1,=10 Hz,，,f,2,=25 Hz,，用理想采样频率,F,s,=40 Hz,对其进行采样得到。（,1,）写出的表达式,;,（,2,）对进行频谱分析，写出其傅里叶变换表达式，并画出其幅度谱；,（,3,）如要用理想低通滤波器将,cos(2,f,1,t,),滤出来，理想滤波器的截止频率应该取多少？,解：,（,2,）按照采样定理,的频谱是,x,(,t,),频谱的周期延拓，延拓周期为,F,s,=40 Hz,，,x,(,t,),的频谱为,画出幅度谱如图,2.4.1,所示。,图,2.4.1,（,3,）观察图,2.4.1,，要把,cos(2,f,1,t,),滤出来，理想低通滤波器的截止频率,f,c,应选在,10 Hz,和,20 Hz,之间，可选,f,c,15 Hz,。如果直接对模拟信号,x,(,t,)=cos(2,f,1,t,)+cos(2,f,2,t,),进行滤波，模拟理想低通滤波器的截止频率选在,10 Hz,和,25 Hz,之间，可以把,10 Hz,的信号滤出来，但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓，使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。,例,2.4.6,对,x,(,t,)=cos(2,t,)+cos(5,t,),进行理想采样，采样间隔,T,=0.25 s,，得到，再让通过理想低通滤波器,G,(j,),，,G,(j,),用下式表示,:,(1),写出的表达式,;,(2),求出理想低通滤波器的输出信号,y,(,t,),。,解,：,(1),（,2,）为了求理想低通滤波器的输出，要分析的频谱。中的两个余弦信号频谱分别为在,0.5,和,1.25,的位置，并且以,2,为周期进行周期性延拓，画出采样信号的频谱示意图如图,2.4.2,（,a,）所示，图,2.4.2,（,b,）是理想低通滤波器的幅频特性。显然，理想低通滤波器的输出信号有两个，一个的数字频率为,0.5,，另一个的数字频率为,0.75,，相应的模拟频率为,2,和,3,，这样理想,低通滤波器的输出为,y,(,t,)=0.25,cos(2,t,)+cos(3,t,),图,2.4.2,2.5,习题与上机题解答,1,设,X,(e,j,),和,Y,(e,j,),分别是,x,(,n,),和,y,(,n,),的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：,(1),x,(,n,n,0,)(2),x,*(,n,),(3),x,(,n,)(4),x,(,n,)*,y,(,n,),(5),x,(,n,),y,(,n,)(6),nx(n,),(7),x,(2,n,)(8),x,2,(,n,),(9),解,：（,1,）,令,n,=,n,n,0,即,n,=,n,+,n,0,，则,（,2,）,（,3,）,令,n,=,n,，则,（,4,）,FT,x,(,n,)*,y,(,n,),=,X,(e,j,),Y,(e,j,),下面证明上式成立：,令,k,=,n,m,则,（,5,）,或者,（,6,）因为,对该式两边,求导，得到,因此,（,7,）,令,n,=2,n,，则,或者,（,8,）,利用（,5,）题结果，令,x,(,n,)=,y,(,n,),则,（,9,）,令,n,=,n,/2,，则,2,已知,求,X,(e,j,),的傅里叶反变换,x,(,n,),。,解,：,3.,线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）,H,(e,j,)=|,H,(e,j,)|e,j,(,),，如果单位脉冲响应,h,(,n,),为实序列，试证明输入,x,(,n,)=A cos(,0,n,+,j,),的稳态响应为,解,：假设输入信号,x,(,n,)=e,j,0,n,，系统单位脉冲响应为,h,(,n,),，则系统输出为,上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用该性质解此题：,上式中,|,H,(e,j,)|,是,的偶函数，相位函数是,的奇函数，,|,H,(e,j,)|=|,H,(e,-j,)|,，,(,)=,(,),故,4,设,将,x,(,n,),以,4,为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出,x,(,n,),和的波形，求出的离散傅里叶级数,和傅里叶变换。,解：画出,x,(,n,),和的波形如题,4,解图所示。,题,4,解图,或者,5.,设题,5,图所示的序列,x,(,n,),的,FT,用,X,(e,j,),表示，不直接求出,X,(e,j,),，完成下列运算或工作：,题,5,图,(1),(2),(3),(4),确定并画出傅里叶变换实部,Re,X,(e,j,),的时间序列,x,a,(,n,),；,(5),(6),解,(1),(2),(3),（,4,）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即,按照上式画出,x,e,(,n,),的波形如题,5,解图所示。,题,5,解图,(5),(6),因为,因此,6,试求如下序列的傅里叶变换：,(1),x,1,(,n,)=(,n,3),(2),(3),x,3,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,(4),x,4,(,n,)=,u,(,n,+3),u,(,n,4),解,(1),(2),(3),(4),或者,:,7,设：,（,1,）,x,(,n,),是实偶函数，,（,2,）,x,(,n,),是实奇函数，,分别分析推导以上两种假设下，其,x,(,n,),的傅里叶变换性质。,解,：令,(1),因为,x,(,n,),是实偶函数，对上式两边取共轭，得到,因此,X(,e,j,)=,X,*,（,e,j,）,上式说明,x,(,n,),是实序列，,X,(e,j,),具有共轭对称性质。,由于,x,(,n,),是偶函数，,x,(,n,)sin,是奇函数，那么,因此,该式说明,X,(e,j,),是实函数，且是,的偶函数。,总结以上,x,(,n,),是实偶函数时，对应的傅里叶变换,X,(e,j,),是实函数，是,的偶函数。,（,2,）,x,(,n,),是实奇函数。,上面已推出，由于,x,(,n,),是实序列，,X,(e,j,),具有共轭对称性质，即,X,(e,j,)=,X,*(e,j,),由于,x,(,n,),是奇函数，上式中,x,(,n,)cos,是奇函数，那么,因此,这说明,X,(e,j,),是纯虚数，且是,的奇函数。,8,设,x,(,n,)=,R,4,(,n,),，试求,x,(,n,),的共轭对称序列,x,e,(,n,),和共轭反对称序列,x,o,(,n,),，并分别用图表示。,解,：,x,e,(,n,),和,x,o,(,n,),的波形如题,8,解图所示。,题,8,解图,9,已知,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,，分别求出其偶函数,x,e,(,n,),和奇函数,x,o,(,n,),的傅里叶变换。,解,：,因为,x,e,(,n,),的傅里叶变换对应,X,(e,j,),的实部，,x,o,(,n,),的傅里叶变换对应,X,(e,j,),的虚部乘以,j,，因此,10,若序列,h(n),是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：,H,R,(e,j,)=1+cos,求序列,h,(,n,),及其傅里叶变换,H,(e,j,),。,解,：,11,若序列,h,(,n,),是实因果序列，,h,(0)=1,，其傅里叶变换的虚部为,H,I,(e,j,)=,sin,求序列,h,(,n,),及其傅里叶变换,H,(e,j,),。,解,：,12,设系统的单位脉冲响应,h,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,，输入序列为,x,(,n,)=(,n,)+2(,n,2),完成下面各题：,(1),求出系统输出序列,y,(,n,),；,(2),分别求出,x,(,n,),、,h,(,n,),和,y,(,n,),的傅里叶变换。,解,(1),(2),13,已知,x,a,(,t,)=2 cos(2,f,0,t,),，式中,f,0,=100 Hz,，以采样频率,f,s,=400 Hz,对,x,a,(,t,),进行采样，得到采样信号和时域离散信号,x,(,n,),，试完成下面各题：（,1,）写出的傅里叶变换表示式,X,a,(j),；（,2,）写出和,x,(,n,),的表达式；（,3,）分别求出的傅里叶变换和,x,(,n,),序列的傅里叶变换。,解,：,上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数,函数，它的傅里叶变换可以表示成：,（,2,）,（,3,）,式中,式中,0,=,0,T,=0.5 rad,上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数,函数才能写出它的傅里叶变换表示式。,14,求出以下序列的,Z,变换及收敛域,:,(1)2,n,u,(,n,)(2),2,n,u,(,n,1),(3)2,n,u,(,n,)(4)(,n,),(5)(,n,1)(6)2,n,u,(,n,),u,(,n,10),解,(1),(2),(3),(4)ZT,(,n,),=10|,z,|,(5)ZT,(,n,1),=z,10|,z,|,(6),15,求以下序列的,Z,变换及其收敛域，并在,z,平面上画出极零点分布图。,(1),x,(,n,)=,R,N,(,n,),N,=4,(2),x,(,n,)=,Ar,n,cos(,0,n,+,j,),u,(,n,),r,=0.9,0,=0.5 rad,j,=,0.25 rad,(3),式中，,N,=4,。,解,(1),由,z,4,1=0,，得零点为,由,z,3,(,z,1)=0,，得极点为,z,1,2,=0,1,零极点图和收敛域如题,15,解图,(a),所示，图中,z,=1,处的零极点相互对消。,题,15,解图,(2),零点为,极点为,极零点分布图如题,15,解图,(b),所示。,(3),令,y,(,n,)=,R,4,(,n,),则,x,(,n,+1)=,y,(,n,)*,y,(,n,),zX(z)=,Y,(,z,),2,X,(,z,)=,z,1,Y,(,z,),2,因为,因此,极点为,z,1,=0,z,2,=1,零点为,在,z,=1,处的极零点相互对消，收敛域为,0|,z,|,，极零点分布图如题,15,解图,(c),所示。,16,已知,求出对应,X,(,z,),的各种可能的序列表达式。,解,：,X,(,z,),有两个极点：,z,1,=0.5,z,2,=2,，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：,|,z,|0.5,，,0.5|,z,|2,，,2|,z,|,。三种收敛域对应三种不同的原序列。,（,1,）收敛域,|,z,|0.5,：,令,n,0,时，因为,c,内无极点，,x,(,n,)=0;,n,1,时，,c,内有极点,0,，但,z,=0,是一个,n,阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有,z,1,=0.5,z,2,=2,，那么,(2),收敛域,0.5|,z,|2:,n,0,时，,c,内有极点,0.5,，,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,0,，但,0,是一个,n,阶极点，改成求,c,外极点留数，,c,外极点只有一个，即,2,，,x,(,n,)=,Res,F,(,z,),2,=,2 2,n,u,(,n,1),最后得到,（,3,）收敛域,|,z,|2:,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,2,，,n,0,时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此,x,(,n,)=0,；或者这样分析，,c,内有极点,0.5,、,2,、,0,，但,0,是一个,n,阶极点，改求,c,外极点留数，,c,外无极点，所以,x,(,n,)=0,。,最后得到,17,已知,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,。分别求：,(1),x,(,n,),的,Z,变换；,(2),nx,(,n,),的,Z,变换；,(3),a,n,u,(,n,),的,Z,变换。,解,：,(1),(2),(3),18,已知,分别求：,（,1,）收敛域,0.5|,z,|2,对应的原序列,x,(,n,),。,解,：,（,1,）收敛域,0.5|,z,|2:,n,0,时，,c,内有极点,0.5,，,x,(,n,)=Res,F,(,z,),0.5,=0.5,n,=2,n,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,0,，但,0,是一个,n,阶极点，改求,c,外极点留数，,c,外极点只有,2,，,x,(,n,)=,Res,F,(,z,),2,=2,n,最后得到,x,(,n,)=2,n,u,(,n,)+2,n,u,(,n,1)=2,|,n,|,n,2:,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,2,，,n,0,时，,c,内有极点,0.5,、,2,、,0,，但极点,0,是一个,n,阶极点，改成求,c,外极点留数，可是,c,外没有极,点，因此,x,(,n,)=0,最后得到,x,(,n,)=(0.5,n,2,n,),u,(,n,),19,用部分分式法求以下,X,(,z,),的反变换：,(1),(2),解,：,(1),(2),20,设确定性序列,x,(,n,),的自相关函数用下式表示：,试用,x,(,n,),的,Z,变换,X,(,z,),和,x,(,n,),的傅里叶变换,X,(e,j,),分别表示自相关函数的,Z,变换,R,xx,(,z,),和傅里叶变换,R,xx,(e,j,),。,解：解法一,令,m,=,n,+,m,则,解法二,因为,x,(,n,),是实序列，,X,(e,j,)=,X,*(e,j,),，因此,21,用,Z,变换法解下列差分方程：,(1),y,(,n,),0.9,y,(,n,1)=0.05,u,(,n,),，,y,(,n,)=0,n,1,(2),y,(,n,),0.9,y,(,n,1)=0.05,u,(,n,),，,y,(,1)=1,，,y,(,n,)=0,n,1,(3),y,(,n,),0.8,y,(,n,1),0.15,y,(,n,2)=(,n,),y,(,1)=0.2,y,(,2)=0.5,y,(,n,)=0,当,n,3,时。,解,：,(1),y,(,n,),0.9,y,(,n,1)=0.05,u,(,n,),，,y,(,n,)=0,n,1,n,0,时，,n,0,时，,y,(,n,)=0,最后得到,y,(,n,)=,0.5 (0.9),n,+1+0.5,u,(,n,),(2),y,(,n,),0.9,y,(,n,1)=0.05,u,(,n,),y,(,1)=1,y,(,n,)=0,n,1,n,0,时，,n,0,时，,y,(,n,)=0,最后得到,y,(,n,)=,0.45(0.9),n,+0.5,u,(,n,),(3),y,(,n,),0.8,y,(,n,1),0.15,y,(,n,2)=(,n,),y,(,1)=0.2,y,(,2)=0.5,y,(,n,)=0,当,n,2,时,Y,(,z,),0.8,z,1,Y,(,z,)+,y,(,1),z,0.15,z,2,Y,(,z,)+,y,(,1),z,+,y,(,2),z,2,=1,n,0,时，,y,(,n,)=,4.365 0.3,n,+6.375 0.5,n,n,0,时,y,(,n,)=0,最后得到,y,(,n,)=(,4.365 0.3,n,+6.375 0.5,n,),u,(,n,),22,设线性时不变系统的系统函数,H,(,z,),为,（,1,）在,z,平面上用几何法证明该系统是全通网络，即,|,H,(e,j,)|=,常数；,（,2,）参数,a,如何取值，才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。,解,：,(1),极点为,a,零点为,a,1,。,设,a,=0.6,，极零点分布图如题,22,解图,(a),所示。我们知道,|,H,(e,j,)|,等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，按照题,22,解图,(a),，得到,因为角,公用，,，且,AOB,AOC,，故,，即,故,H,(,z,),是一个全通网络。,或者按照余弦定理证明,:,题,22,解图,（,2,）只有选择,|,a,|1,才能使系统因果稳定。设,a,=0.6,，极零点分布图及收敛域如题,22,解图,(b),所示。,23,设系统由下面差分方程描述：,y,(,n,)=,y,(,n,1)+,y,(,n,2)+,x,(,n,1),（,1,）求系统的系统函数,H,(,z,),，并画出极零点分布图；（,2,）限定系统是因果的，写出,H,(,z,),的收敛域，并求出其单位脉冲响应,h,(,n,),；（,3,）限定系统是稳定性的，写出,H,(,z,),的收敛域，并求出其单位脉冲响应,h,(,n,),。解：（,1,）,y,(,n,)=,y,(,n,1)+,y,(,n,2)+,x,(,n,1),将上式进行,Z,变换，得到,Y,(,z,)=,Y,(,z,),z,1+,Y,(,z,),z,2+,X,(,z,),z,1,因此,零点为,z,=0,。令,z,2,z,1=0,，求出极点：,极零点分布图如题,23,解图所示。,题,23,解图,(2),由于限定系统是因果的，收敛域需选包含点在内的收敛域，即。求系统的单位脉冲响应可以用两种方法，一种是令输入等于单位脉冲序列，通过解差分方程，其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应；另一种方法是求,H,(,z,),的逆,Z,变换。我们采用第二种方法。,式中,，,令,n,0,时，,h,(,n,)=Res,F,(,z,),z,1,+Res,F(z,),z,2,因为,h,(,n,),是因果序列,n,0,时，,h,(,n,)=0,，故,(3),由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即,|,z,2,|,z,|,z,1,|,n,0,时，,c,内只有极点,z,2,，只需求,z,2,点的留数，,n,0,时，,c,内只有两个极点：,z,2,和,z,=0,，因为,z,=0,是一个,n,阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点只有一个，即,z,1,那么,最后得到,24,已知线性因果网络用下面差分方程描述：,y,(,n,)=0.9,y,(,n,1)+,x,(,n,)+0.9,x,(,n,1),（,1,）求网络的系统函数,H,(,z,),及单位脉冲响应,h,(,n,),；,（,2,）写出网络频率响应函数,H,(e,j,),的表达式，并定性画出其幅频特性曲线；,（,3,）设输入,x,(,n,)=e,j,0,n,，求输出,y,(,n,),。,解：,（,1,）,y,(,n,)=0.9,y,(,n,1)+,x,(,n,)+0.9,x,(,n,1),Y,(,z,)=0.9,Y,(,z,),z,1+,X,(,z,)+0.9,X,(,z,),z,1,令,n,1,时，,c,内有极点,0.9,，,n,=0,时，,c,内有极点,0.9,，,0,，,最后得到,h,(,n,)=2 0.9,n,u,(,n,1)+(,n,),（,2,）,极点为,z,1,=0.9,零点为,z,2,=,0.9,。极零点图如题,24,解图,(a),所示。按照极零点图定性画出的幅度特性如题,24,解图,(b),所示。,（,3,）,题,24,解图,25,已知网络的输入和单位脉冲响应分别为,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),h,(,n,)=,b,n,u,(,n,)0,a,1,0,b,1,（,1,）试用卷积法求网络输出,y,(,n,),；,（,2,）试用,ZT,法求网络输出,y,(,n,),。,解,：（,1,）用卷积法求,y,(,n,),。,n,0,时，,n,0,时，,y,(,n,)=0,最后得到,（,2,）用,ZT,法求,y,(,n,),。,，,令,n,0,时，,c,内有极点：,a,、,b,因此,因为系统是因果系统,所以,n,0,时，,y,(,n,)=0,。,最后得到,26,线性因果系统用下面差分方程描述：,y,(,n,),2,ry,(,n,1)cos,+,r,2,y,(,n,2)=,x,(,n,),式中，,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),0,a,1,0,r,max(,r,|,a,|),，且,n,0,时，,y,(,n,)=0,，故,c,包含三个极点，即,a,、,z,1,、,z,2,。,27,如果,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),是两个不同的因果稳定实序列，,求证：,式中，,X,1,(e,j,),和,X,2,(e,j,),分别表示,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),的傅里叶变换。,解：,FT,x,1,(,n,)*,x,2,(,n,),=,X,1,(e,j,),X,2,(e,j,),进行,IFT,，得到,令,n,=0,则,由于,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),是实稳定因果序列，因此,(1),(2),(3),由（,1,）、（,2,）、（,3,）式，得到,28,若序列,h,(,n,),是因果序列，其傅里叶变换的实部如,下式：,求序列,h,(,n,),及其傅里叶变换,H,(e,j,),。,解：,求上式的,Z,的反变换，得到序列,h,(,n,),的共轭对称序列,h,e,(,n,),为,因为,h,(,n,),是因果序列，,h,e,(,n,),必定是双边序列，收敛域取：,a,|,z,|,a,1,。,n,1,时，,c,内有极点：,a,，,n,=0,时，,c,内有极点：,a,、,0,，,因为,h,e,(,n,)=,h,e,(,n,),，所以,29,若序列,h,(,n,),是因果序列，,h,(0)=1,，其傅里叶变换的虚部为,求序列,h,(,n,),及其傅里叶变换,H,(e,j,),。,解,：,令,z,=e,j,有,j,H,I,(e,j,),对应,h,(,n,),的共轭反对称序列,h,o,(,n,),，因此,j,H,I,(,z,),的反变换就是,h,o,(,n,),因为,h,(,n,),是因果序列，,h,o,(,n,),是双边序列，收敛域取,:,a,|,z,|,a,1,。,n,1,时，,c,内有极点：,a,n,=0,时，,c,内有极点：,a,、,0,，,因为,h,I,(,n,)=,h,(,n,),所以,30*.,假设系统函数如下式：,试用,MATLAB,语言判断系统是否稳定。,解,：调用,MATLAB,函数,filter,计算该系统。系统响应的程序,ex230.m,如下：,%,程序,ex230.m,%,调用,roots,函数求极点，并判断系统的稳定性,A=,3,，,3.98,，,1.17,，,2.3418,，,1.5147,；,%H(z),的分母多项式系数,p=roots(A)%,求,H(z),的极点,pm=abs(p),；,%,求,H(z),的极点的模,if max(pm)1 disp(,系统因果稳定,),，,else,，,disp(,系统不因果稳定,),，,end,程序运行结果如下：,极点：,0.7486 0.6996,0.7129i,0.6996+0.7129i,0.6760,由极点分布判断系统因果稳定。,31*.,假设系统函数如下式：,(1),画出极、零点分布图，并判断系统是否稳定；,(2),用输入单位阶跃序列,u,(,n,),检查系统是否稳定。,解,：（,1,）求解程序,ex231.m,如下：,%,程序,ex231.m,%,判断系统的稳定性,A=,2,，,2.98,，,0.17,，,2.3418,，,1.5147,；,%H(z),的分母多项式系数,B=,0,，,0,，,1,，,5,，,-50,；,%H(z),的分子多项式系数用极点分布判断系统是否稳定,subplot(2,，,1,，,1),；,zplane(B,，,A),；,%,绘制,H(z),的零极点图,p=roots(A),；,%,求,H(z),的极点,pm=abs(p),；,%,求,H(z),的极点的模,if max(pm)1 disp(,系统因果稳定,),，,else,，,disp(,系统不因果稳定,),，,end,%,画出,u(n),的系统输出波形进行判断,un=ones(1,，,700),；,sn=filter(B,，,A,，,un),；,n=0,：,length(sn),1,；,subplot(2,，,1,，,2),；,plot(n,，,sn),xlabel(n),；,ylabel(s(n),程序运行结果如下：系统因果稳定。系统的零极点图如题,31*,解图所示。,题,31*,解图,（,2,）系统对于单位阶跃序列的响应如题,31*,解图所示，因为它趋于稳态值，因此系统稳定。,32*.,下面四个二阶网络的系统函数具有一样的极点分布：,试用,MATLAB,语言研究零点分布对于单位脉冲响应的影响。要求：,（,1,）分别画出各系统的零、极点分布图；,（,2,）分别求出各系统的单位脉冲响应，并画出其,波形；,（,3,）分析零点分布对于单位脉冲响应的影响。,解,：求解程序为,ex232.m,，程序如下：,%,程序,ex232.m,A=,1,，,1.6,，,0.9425,；,%H(z),的分母多项式系数,B1=1,；,B2=,1,，,0.3,；,B3=,1,，,0.8,；,B4=,1,，,1.6,，,0.8,；,%H(z),的分子多项式系数,b1=,1 0 0,;b2=,1,0.3 0,;b3=,1,，,0.8,，,0,；,b4=,1,，,1.6,，,0.8,；,%H(z),的正次幂分子多项式系数,p=roots(A)%,求,H1(z),，,H2(z),，,H3(z),，,H4(z),的极点,z1=roots(b1)%,求,H1(z),的零点,z2=roots(b2)%,求,H2(z),的零点,z3=roots(b3)%,求,H3(z),的零点,z4=roots(b4)%,求,H4(z),的零点,h1n,，,n,=impz(B1,，,A,，,100),；,%,计算单位脉冲响应,h1(n),的,100,个样值,h2n,，,n,=impz(B2,，,A,，,100),；,%,计算单位脉冲响应,h1(n),的,100,个样值,h3n,，,n,=impz(B3,，,A,，,100),；,%,计算单位脉冲响应,h1(n),的,100,个样值,h4n,，,n,=impz(B4,，,A,，,100),；,%,计算单位脉冲响应,h1(n),的,100,个样值,%=,%,以下是绘图部分,subplot(2,，,2,，,1),；,zplane(B1,，,A),；,%,绘制,H1(z),的零极点图,subplot(2,，,2,，,2),；,stem(n,，,h1n,，,.),；,%,绘制,h1(n),的波形图,line(,0,，,100,，,0,，,0,),xlabel(n),；,ylabel(h1(n),subplot(2,，,2,，,3),；,zplane(B2,，,A),；,%,绘制,H2(z),的零极点图,subplot(2,，,2,，,4),；,stem(n,，,h2n,，,.),；,%,绘制,h2(n),的波形图,line(,0,，,100,，,0,，,0,),xlabel(n),；,ylabel(h2(n),figure(2),；,subplot(2,，,2,，,1),；,zplane(B3,，,A),；,%,绘制,H3(z),的零极点图,subplot(2,，,2,，,2),；,stem(n,，,h3n,，,.),；,%,绘制,h3(n),的波形图,line(,0,，,100,，,0,，,0,),xlabel(n),；,ylabel(h3(n),subplot(2,，,2,，,3),；,zplane(B4,，,A),；,%,绘制,H4(z),的零极点图,subplot(2,，,2,，,4),；,stem(n,，,h4n,，,.),；,%,绘制,h4(n),的波形图,line(,0,，,100,，,0,，,0,),xlabel(n),；,ylabel(h4(n),程序运行结果如题,32*,解图所示。,题,32*,解图,四种系统函数的极点分布一样，只是零点不同，第一种零点在原点，不影响系统的频率特性，也不影响单位脉冲响应。第二种的零点在实轴上，但离极点较远。第三种的零点靠近极点。第四种的零点非常靠近极点，比较它们的单位脉冲响应，会发现零点愈靠近极点，单位脉冲响应的变化愈缓慢，因此零点对极点的作用起抵消作用；同时，第四种有两个零点，抵消作用更明显。,