四边形周长最小值问题解析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,四边形周长最小值问题解析,郑永杰,201,3,年,9,月,22,日,四边形周长最小值问题解析,1,四边形周长最小值问题主要有以下几种情形：,一、一边长确定,【例一】已知抛物线y=与y轴交于点A(0，3),与x轴交于点B(1，0),C(5，0)两点，如图所示。（1）求此抛物线的解析式。,（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；,（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某一点（设为E)，再到达抛物线的对称轴上某点（设为F），后到达点A，最后回到点M，求使点P运动的总路程最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路程的长。,四边形周长最小值问题主要有以下几种情形：一、一边长确定【例一,2,小贴士1,在一边确定的情况下，要使四边形的周长最小，应通过做已知线段端点的对称点，把另外三条线段转化到一条线段上来。,小贴士1,3,二、相对两边确定,【例2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，点D为边OB的中点。（1）若点E为边OA上一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标。（2）若点E,F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E,F的坐标。并求CDEF周长的最小值。,二、相对两边确定【例2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OAC,4,四边形周长最小值问题解析,5,【,例3,】,如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为,A（-2,0）,O(0，0),B(0，4),把AOB绕点O按顺时针方向旋转90，得到COD.(1)求C,D两点坐标。（2）求经过A，B，D三点的抛物线解析式,（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E,F（E在F上方），且EF=1，当E,F在什么位置时，四边形ACEF的周长最小？并求出最小值。,【例3】如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别,6,小贴士2,当四边形中相对两边的长确定时，要使四边形的周长最小，仍然是通过做对称点加平移，把另外两边转化到同一条直线上。,小贴士2,7,三、三边和确定，第四边的长不确定,【例4】如图，抛物线y=与x轴交于A,B两点，直线BD的函数表达式为y=,抛物线的对称轴L与直线BD交于点C，与x轴交于点E。（1）求A,B,C三点坐标。（2）若点P为线段AB上的一个动点（点A,B不重合），以点A为圆心，以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以B为圆心，BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN,BM,MN.,求证：AN=BM,在点P运动的过程中，四边形AMNB的周长是否有最小值，若有，求出该最小值,三、三边和确定，第四边的长不确定【例4】如图，抛物线y=,8,如图所示，抛物线y=+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y=,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E,（1）求A、B、C三个点的坐标；,（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN,求证：AN=BM；,在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值,如图所示，抛物线y=+2x+3与x轴交于A、B两,9,小贴士3,当一边长确定，另外两边的长不确定，但其和确定时，要使四边形周长最小，只要使第四边最小，为此要把第四边与和确定的两边联系起来，得到关于第四边的函数关系式，再运用函数的有关知识确定第四边的最小值。,F,小贴士3F,10,四、相邻两边的长确定,【例5】如图，已知A(-1，5),B(-3，3),C(-4，1),在y轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，并求出点D的坐标。,四、相邻两边的长确定【例5】如图，已知A(-1，5),B(-,11,小贴士4,当相邻两边的和确定时，要使四边形的周长最小时，只要使另外两边的和最小，为此用到一个常见的基本图形，如图左，点M,N是两定 点，点P是直线L上一个动点，作M关于L的对称点M，连结MN交直线L与点P,则PM+PN=PM+PN=MM最小。,M,M,P,N,小贴士4MMPN,12,初中数学最值问题说,zhengyongjie,2012年12月18日,初中数学最值问题说 zhengyongjie,13,求最值是近年中考试题的一个热点问题，也是一个难点，笔者根据多年教学经验，结合自己的教学体会，对其进行归纳总结。,求最值是近年中考试题的一个热点问题，也是一个难点，笔者根据多,14,一、利用轴对称性求最值,【例1】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB,BC上的中点，且AB=6，DAB=60，点P是AC上的一个动点，则PE,+,PF的最小值为,。,变式,：菱形两条对角线分别为,6,、,8,，其他条件不变，则则PE,+,PF的最小值为,。,一、利用轴对称性求最值变式：菱形两条对角线分别为6、8，其他,15,二、把立体转化为平面求最值,【例2】如图 圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁从底面圆周上的点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D,问蚂蚁眼怎样的路线爬行，使路程最短？最短路程是多少？,二、把立体转化为平面求最值,16,三、利用点到直线的距离垂线段最短求最值,【例3】如图，在气象站台A的正西方向240km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60的BD方向移动，在距离台风中心130km内的地方都要受其影响。,（1）台风中心在移动的过程中，与气象台A的最短距离是多少？,（2）台风中心在移动过程中，气象台将受到台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？,三、利用点到直线的距离垂线段最短求最值,17,四边形周长最小值问题解析,18,四、利用换元法求最值,【例4】求函数y=2x+1的最大值。,五、利用根的判别式求最值,【例5】讨论函数 的最值,四、利用换元法求最值,19,七、利用构造几何图形求最值,【例7】已知a,b是正数，,且a+b=2,求 的最大值和最小值。,六、利用韦达定理求最值,若a,b为实数，且 令k=,试求k的最大值和最小值。,七、利用构造几何图形求最值六、利用韦达定理求最值,20,八、构造函数模型，利用函数的增减性求最值,【例8】抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲乙两个粮库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的A,B两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量有110吨，从甲乙两库到A,B两库的路程和运费如下表：（表中“元/吨.千米,意思是每吨粮食运送1000米所需人民币）。,八、构造函数模型，利用函数的增减性求最值,21,路程（千米）,运费（元,/,吨,.,千米）,甲库,乙库,甲库,乙库,A,库,20,12,12,12,B,库,25,20,10,8,（1）若甲库运往a库粮食x吨，写出将粮食运往a b两库的总运费y元与x吨的函数关系；,（2）当甲乙两库各运往ab两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？,路程（千米）运费（元/吨.千米）甲库乙库甲库乙库A库2012,22,九、变式题目要有代表性通性通法,（1）题目类型要有代表性，题目涉及的知识点要尽量覆盖复习的内容，具有一定的综合性，如：复习一元二次方程时，可设计如下题目：已知：x+x-1=0,不解方程求下列算式的值：,(,1,),(,2,),(3)(4),九、变式题目要有代表性通性通法,23,上述小题包括了代数式变形的主要方式：通分、整体代换、分解因式、整式乘法、其他变形题目均为这四种方式或者他们的组合，学生通过这一题目就可以归纳出此类题目的主要解决方式。,要选择体现“通性通法”即包含最基本的数学思想方法的题目，不要追求偏、怪、难，最好是一题多解，一题多变“的训练题，比如复习三角形中角度求法时，设计如下题目：,上述小题包括了代数式变形的主要方式：通分、整体代换、分解因式,24,如图，,ABC,中，,AB=AC,两底角平分线,BD,CE,相交于点,O,A=50,，求,BOC,的度数。若把条件“,AB=AC”,去掉，其他条件不变，,BOC,的度数还能求出吗？请说明理由。,如图，ABC中，AB=AC,两底角平分线BD,CE相交于点,25,如图，,OP,是,AOB,的平分线，请你利用该图形画一对以,OP,所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（,1,）如图，在,ABC,中，,ACB,是直角，,B=60,，,AD,、,CE,分别是,BAC,、,BCA,的平分线，,AD,、,CE,相交于点,F,请你判断并写出,FE,与,FD,之间的数量关系；（,2,）如图，在,ABC,中，如果,ACB,不是直角，而（,1,）中的其它条件不变，请问，你在（,1,）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由,如图，OP是AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所,26,四边形周长最小值问题解析,27,（盐城市2011）27,情境观察,：,将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示.将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示观察图2可知：与BC相等的线段是,，,CAC=,图,1,图,2,（盐城市2011）27图1,28,问题探究,如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.,图,3,问题探究图3,29,拓展延伸,如图,4,，,ABC,中，,AGBC,于点,G,，分别以,AB,、,AC,为一边向,ABC,外作矩形,ABME,和矩形,ACNF,，射线,GA,交,EF,于点,H.,若,AB=k AE,，,AC=k AF,，试探究,HE,与,HF,之间的数量关系，并说明理由,.,图,4,拓展延伸图4,30,拓展,如图,5：,，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半,拓展如图5：，分别以ABC的边AC、BC为一边，在ABC,31,全新的思考方式：思维方式、反思性教学、,君子和而不同此为素质，小人同而不和此为应试。,三不主义不读书、不研究、不合作。,大脑潜在能力尚待开发。,全新的思考方式：思维方式、反思性教学、,32,