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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,*,第十二节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容,:,一、曲线弧的微分,二、曲率与曲率半经,弧微分与曲率,第,二,章,1,ppt课件,第十二节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内,一、曲线弧的微分,设,在,(,a,b,),内有连续导数,其图形为,AB,弧长,2,ppt课件,一、曲线弧的微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为,则弧长微分公式为,或,几何意义,:,若曲线由参数方程表示,:,称为曲线,的,弧微分公式,。,3,ppt课件,则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:称为曲线的,例,1,求正弦曲线,解,因为,，所以,例,2,求第一象限内星形线,的弧微分。,所以,的弧微分。,解,因为,4,ppt课件,例1求正弦曲线解 因为，所以 例2 求第一象限内星形,二、曲率与曲率半经,在光滑弧上自点,M,开始取弧段,其长为,定义,弧段 上的平均曲率,点,M,处的,曲率,注意,:,直线上任意点处的曲率为,0!,对应切线转角为,5,ppt课件,二、曲率与曲率半经在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为定,例,1.,求半径为,R,的圆上任意点处的曲率,.,解,:,如图所示,可见,:,R,愈小,则,K,愈大,圆弧弯曲得愈厉害,;,R,愈大,则,K,愈小,圆弧弯曲得愈小,.,6,ppt课件,例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率,K,的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,7,ppt课件,有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K 的计算公式二阶可,说明,:,(1),若曲线由参数方程,给出,则,(2),若曲线方程为,则,若曲线,在点,M,处的曲率,K,不为零，称,为曲线在点,M,处的,曲率半经,。,8,ppt课件,说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程,例,2,求曲线,在点,处的曲率半径。,解,方程两边同时对,x,求导，整理得,两边再对,x,求导，整理得,将点,代人（,1,）得,将点,代人（,2,）得,故曲线在点,处的曲率半径,9,ppt课件,例2 求曲线在点处的曲率半径。解 方程两边同时对x求导，,例,3.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率,.,点击图片任意处播放,暂停,说明,:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,且,l,R,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化,.,10,ppt课件,例3.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片,例,3.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且,l,R,.,处的曲率,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解,:,显然,11,ppt课件,例3.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R.,内容小结,1.,弧长微分,或,2.,曲率公式,3.,曲率半径,12,ppt课件,内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率半径12pp,作业,P166 1,；,2,；,4;5.,13,ppt课件,作业P166 1；2；4;5.13ppt课件,例,4.,求椭圆,在何处曲率最大,?,解,:,故曲率为,K,最大,最小,求驻点,:,14,ppt课件,例4.求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K 最大最小求驻点,设,从而,K,取最大值,.,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值,:,最大,.,15,ppt课件,设从而 K 取最大值.这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数,例,5,设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适,?,解,:,设椭圆方程为,由例,3,可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题,.,16,ppt课件,例5 设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,
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