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3.7,布洛赫电子的准经典运动,本节主要内容：,一、,布洛赫电子的准经典模型,二、,布洛赫电子的加速度和有效质量,3.7 布洛赫电子的准经典运动本节主要内容：一、布洛赫电子的,前面我们讨论了晶体电子在周期势场中的,本征态和本征能量,，从本征态和本征能量出发可以进一步研究晶体中电子的,基态和激发态,3.7,布洛赫电子的准经典运动,因为只要知道了电子本征态的分布，就可以根据,统计物理,的基本原理去讨论系统中,电子按能量的平衡态分布问题,，也可以讨论在外场下的,量子跃迁问题,，比如热激发、光吸收和电子散射等。,另外,当讨论电子在外场中的运动问题时,如果采用量子力学处理,哈密顿中除了周期势外,还要考虑外势场,.,而且,由于外场使得电子的状态和能量随时间变化,所以必须求解包括外加势场在内的,含时薛定谔方程,.,前面我们讨论了晶体电子在周期势场中的本征态和本征能量，,求解,含时薛定谔方程,是很复杂的,为此人们把布洛赫电子近似当作,准经典粒子,来处理,这样就避免了复杂的数学运算,而且物理图像也比较直观,.,亦即,外电场、磁场对布洛赫电子的作用采用经典的处理方式,，,晶格周期场对电子的作用沿用能带论量子力学的处理方式,。,把布洛赫电子当作准经典粒子来处理的近似方法称为,准经典近似,。下面我们首先给出,布洛赫电子的准经典模型,，然后对这一模型的合理性给出解释。,求解含时薛定谔方程是很复杂的,为此人们把布洛赫电子近似,1.,模型的表述,一、,布洛赫电子的准经典模型,假设每个电子具有确定的位置,r,波矢,k,和能带指标,n,对于给定的,n,(,k,),在外电场,E,(,r,t,),和外磁场,B,(,r,t,),的作用下,位置、波矢、能带指标随时间的变化遵从如下规则,:,1).能带指标,n,是运动常数，,电子总呆在同一能带中,，忽略带间跃迁的可能性；,2).电子的速度满足：,3).波矢随时间的变化满足,：,电子的运动方程,1.模型的表述 一、布洛赫电子的准经典模型 假设每个电子,晶格周期场的量子力学处理的结果全部体现在 中,因而准经典模型提供了从能带结构推断输运性质，或反过来从输运性质的测量结果推断能带结构的理论基础。,在准经典模型中，能带仍然满足前面的对称性。,2.,模型合理性的说明,晶格周期场的量子力学处理的结果全部体现在,严格求解电子在外电场和外磁场作用下的行为，应从含时薛定谔方程中得到：,量子力学对应原理告诉我们,如果一个力学体系的态与态的变化可以用经典力学近似描述,则这个态在量子力学中可以表示为一个,波包,.,波包就是指该粒子的,空间分布,在,r,0,附近,r,范围内，,动量取值,在,k,0,附近,k,范围内，且,r,与,k,满足不确定性关系,。,下面我们从量子力学出发给出,模型的合理解释,严格求解电子在外电场和外磁场作用下的行为，应从含,由测不准关系,布洛赫电子,的波矢完全确定,则坐标是完全不确定的.,晶体中,一个电子的本征状态是由,布洛赫波函数,来描述的,它具有确定的波矢 和确定的能量 .,虽然波包的波矢不能完全确定，但是波包的空间位置有一定的确定性。也就是说，这个叠加态构成的波包,以牺牲波矢的完全确定来换取坐标的某种确定性,。,考虑到实际晶体中的电子态,往往是一些本征态的叠加.如果,布洛赫电子,的状态由 附近 范围内的,布洛赫,本征态叠加构成,它将构成一个波包.,粒子运动的平均速度相当于波包中心移动的速度,由测不准关系,布洛赫电子的波矢完全确定,则坐标是完全,前面写波函数时,考虑到,本征态是定态,没有考虑时间因子,现在考虑时间因子后，,布洛赫波函数,写成：,由于波包包含不同能量本征态(不同的 状态具有不同的能量).,忽略带间跃迁,可把 附近 范围内的,布洛赫,本征态叠加构成的波包函数写成:,归一化因子,求和写成积分是同一能带中波矢 是准连续的,前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考虑时间因子,令：,考虑到在 附近,调幅因子 变化不大，可近似用 代替，则波包函数近似为：,在 附近将 展开得：,令：考虑到在 附近,调幅因子 变化不大,考虑到,并把被积函数中的矢量用分量表示，且令：,则波包函数可表示为：,考虑到并把被积函数中的矢量用分量表示，且令：则波包函数可表示,上式即,布洛赫,波包函数,某时刻，在坐标空间内找到电子的概率为：,附加因子 的最大值为1(或,时,).,当 时,在坐标空间内找到电子的概率为 ,对应 本征态,电子的坐标完全不确定,.,上式即布洛赫波包函数某时刻，在坐标空间内找到电子的概率为：,如果 ,仅当 时,波包的振幅最大,而当 时,波包的振幅趋于零.这表明波包局限在晶体的一个区域内,且位置是时间的函数.,由此,我们可以把某时刻波包的中心位置 认定为电子的坐标，即：,写成矢量形式，即：,如果 ,仅当,波包的中心位置,所以，波包的速度：,这就证明了波包的速度(布洛赫电子的群速度)等于电子的平均速度,模型2,得以合理解释.,根据不确定性原理,k,越大,r,就越小,电子的位置就越确定,.,但是波矢通常限制在第一布里渊区,所以,k,的取值范围应远小于布里渊区的尺度,否则波矢完全不确定,.,因此,要求,波包的尺度远大于晶格常数,.,在这种意义上,准经典近似成立的条件是外场应随时间和空间缓慢变化,.,即波长远大于晶格常数,而频率要小,以,禁止带间跃迁,.,波包的中心位置所以，波包的速度：这就证明了波包的速度(布洛赫,由量子力学我们知道,电子的平均速度可写成：,容易证明,波包的速度,(,布洛赫电子的,群速度,),等于,电子的平均速度,由量子力学我们知道,电子的平均速度可写成：容易证明波,前面,将布洛赫波函数代入薛定谔方程得：,将上述方程两边对 取微分,且令：,则有：,前面,将布洛赫波函数代入薛定谔方程得：将上述方程两,又因为：,所以：,又因为：所以：,对上式左乘 再对 求积分得：,左1,左2,右1,右2,由于 是厄米算符，则左2为：,对上式左乘 再对 求积分得：左1,左1,右1,则布洛赫电子的平均速度：,说明：,1).,布洛赫态是与时间无关的定态，有确定的值.因而,尽管电子和周期排列的离子实相互作用,但其,平均速度将永远保持,不会衰减.也就是说,一个,理想金属晶体,将有无穷大的电导.,左1右1则布洛赫电子的平均速度：说明：1).布洛赫态是与时,2).,由于晶体结构上的,不理想性,存在杂质和缺陷,同时,离子实本身会有热运动,因而电子总会受到,散射,使得电子的,自由程,有限,从而,金属晶体不会有无穷大的电导.,此外，从上述的推导我们可以看出，布洛赫电子无论从,波包,还是从,平均速度,的观点来看，其运动速度都等于它的表象点在,k,空间中该点上的能量梯度的,1/,倍，或者说,晶体电子的速度与能谱曲线的斜率成正比,。,因此，,晶体电子在,k,空间任意点的速度垂直于经过该点的等能面,。所以，晶体电子在,k,空间任意点的速度不一定和波矢,k,平行。但,对于球形等能面,，则晶体电子的速度和波矢,k,平行，如自由电子的速度,v,=,k,/,m,，则,与波矢,k,平行且成正比,。,2).由于晶体结构上的不理想性,存在杂质和缺陷,同时,离子,下面对模型,3,作出解释,即在外力作用下，晶体电子的动力学行为的合理解释.,由量子力学，任意不显含时间的力学量,A,的平均值随时间的变化满足,Ehrenfest,关系。即,力学量,A,的平均值随时间的变化关系为,其中,H,是系统的哈密顿量.,下面对模型3作出解释 即在外力作用下，晶体电子的动力,令,A,为晶格的平移算符,T.,在考虑,一维情形,下(晶格常数为,a),有：,设没有外力时,系统的哈密顿量是,H,0,则有：,在均匀外力,F,作用下,系统的哈密顿量可表示为：,令A为晶格的平移算符T.在考虑一维情形下(晶格常数为a),两式相加得：,上式表示的是位于复平面内园的方程,实轴和虚轴分别为平移算符本征值的实部和虚部.且由该式可知,如果最初 是满足周期性边界条件的布洛赫,波,则有：,这样在外力的作用下,将沿着复平面内的单位园运动.因此,仍可表示为：,两式相加得：上式表示的是位于复平面内园的方程,实轴和虚轴分别,以上是一维的结果,推广到三维,则有：,这正是模型3,以上是一维的结果,推广到三维,则有：这正是模型3,这样我们就从量子力学出发对准经典模型做出了合理的解释。即运动方程是合理的,此外,上式也表明,在,均匀外力,F,作用下，,对于波包的每一个分量,波矢均以恒定的速率演变.,称为布洛赫电子的,准动量,或,晶体的动量.,这是因为,外力是对整个晶体的作用,改变的是整个电子、晶格系统的动量,而不单单是电子的动量。所以,布洛赫电子，,常被称为,晶体电子,或,准电子。,这样我们就从量子力学出发对准经典模型做出了合理的解释,3.,准经典模型的适用范围,(1).外场的波长要远远大于晶格常数,即,:,a,否则,形不成波包,.,这是禁止带间跃迁所要求的.,准经典模型描述晶体中电子的外场响应.外场作为一种力出现在描述波包的坐标和波矢变化的经典运动方程中.因此,要求,与波包的尺度相比,外场是一个时间和空间的缓变场.,(2).,外场变化的频率 必须满足：,为带隙,3.准经典模型的适用范围 (1).外场的波长要远远大,由,电子的平均速度,即可求出它的,平均加速度,。,三、布洛赫电子的加速度和有效质量,(,effective mass),1.加速度、有效质量,由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。三、布洛赫电子的加速,上式与 形式类似，只是现在一个,二阶张量,代替了，由此我们可以定义电子的,有效质量,。,电子加速度公式用矩阵表示为,上式与 形式类似，只是现在一个二阶张量,把 称为,电子的有效质量,电子有效质量,是一个二阶张量,写成分量形式为：,由于微分可以交换次序,所以这是对称张量.转换到,主轴坐标,上去,可,对角化,.,把 称为电子的有效质量 电子有效质量,选,k,x,k,y,k,z,轴沿,张量主轴方向,则有:,这时倒逆有效质量张量是对角化的,所以,在,主轴坐标系,中,：,倒逆有效质量张量的分量,为：,选kx,ky,kz 轴沿张量主轴方向,则有:这时倒逆,1）.紧束缚近似下一维布拉维格子中电子的情况,带底,带顶,2.,有效质量的计算和特点,1）.紧束缚近似下一维布拉维格子中电子的情况 带底带顶,加速度为正,加速度为负,带底附近,带顶附近(布里渊区边界附近),速度极值处,电子在,布里渊区边界附近,所表现的这种特殊行为，是,晶格周期场的作用，是电子受布拉格反射的结果,。在最近邻近似下，,k,c,=,/2,a,；对于实际情况，比如次近邻等的影响下,k,c,会略大于,/2,a,加速度为正加速度为负带底附近带顶附近(布里渊区边界附近)速,E,k,有效质量小,有效质量大,有效质量是,k,的函数,在能带底附近总是取正值,;,在能带顶附近总是取负值,.,有效质量反比于能谱曲线的曲率,Ek有效质量小有效质量大有效质量是k的函数,在能带底附近总是,解:由紧束缚近似可得体心立方,s,能带的,能量表达式,：,2,）,体心立方晶格,紧束缚近似下的,s,能带,电子,解:由紧束缚近似可得体心立方s能带的能量表达式：2）,易计算电子的速度和有效质量分别为,显然,此时,k,x,k,y,k,z,并非张量主轴坐标,因为交叉项不为零,.,易计算电子的速度和有效质量分别为 显然,此时kx,ky,kz,在,能带底部,k,x,=,k,y,=,k,z,=0,处，,在,能带顶部,，,而在 处，,都变成,但在带底,k,=(0,0,0),和带顶,(2,/,a,0,0);(0,2,/,a,0);(0,0,2,/,a,),处,却只有对角项存在,.,有效质量变成了标量,且有,在能带底部,kx=ky=kz=0处，在能带顶部，而在,在,能带底部,k,x,=,k,y,=,k,z,=0,附近，由于,k,很小，所以能带可近似为,上述在带底和带顶 处的结果也可由能带在带底和带顶附近的近似展开得到,表明在,k,=0,附近,等能面近似为球面,有效质量各向同性,.,易得有效质量,在能带底部 kx=ky=kz=0附近，由于k很小，所以能带,在带顶，比如,(2,/,a,，,0,，,0),附近，能量表达式可以近似为以,(2,/,a,，,0,，,0),为中心的圆,表明在,(2,/,a,，,0,，,0),附近,等能面近似为以,(2,/,a,，,0,，,0),为中心的球面,有效质量各向同性,.,易得有效质量,令 ，则在,(2,/,a,，,0,，,0),附近 、,k,y,、,k,z,为小量，可将能量展开为,在带顶，比如(2/a，0，0)附近，能量表达式可以近似,通过上述的例子可知，有效质量,m,*,可以是正值，也可以是负值。特别是在能带底附近，,m,*,总是正值；在能带顶附近，,m,*,总是负的。,在外场的作用下,晶体中的电子除受外力作用外,还和晶格相互作用,.,晶体中电子的有效质量为什么可能为负值,?,甚至还会变成无穷大呢,?,下面给出简单的分析。,设电子与晶格之间的作用力为,F,l,则由牛顿第二定律可得,通过上述的例子可知，有效质量m*可以是正值，也可以是,但是电子与晶格之间的作用力,F,l,的具体表达式是难以得知的，要使上式中不出现,F,l,，又要保持式子恒等，上式只好写成,也就是说,电子的有效质量,m,*,本身已概括了晶格的作用,二式比较得：,但是电子与晶格之间的作用力Fl的具体表达式是难以得知的,将冲量用动量的增量来代换,则有,从上式可以看出,当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时,有效质量,m,*,0;,当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时,m,*,0;,当电子从外场获得的动量全部交给晶格时,m,*,，,此时电子的平均加速度为零.可见，,有效质量不是电子的真实质量.,将冲量用动量的增量来代换,则有 从上式可以看出,当电,有效质量,m,*,是固体物理学中的一个重要概念。,(1),m,*,不是电子的惯性质量,，而是在能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上,相当于,牛顿力学中的惯性质量；,（2),m,*,不是一个常数，,而是 的函数.,有效质量取决于电子的状态.,一般情况下,它是一个张量,只有特殊情况下,它才可化为一标量的形式;,（3),m,*,可以是正值，也可以是负值,，特别有意义的是：,在能带底附近，,m,*,总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，,m,*,总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。,有效质量m*是固体物理学中的一个重要概念。(1)m*,(4).,电子的有效质量,m,*,本身已概括了晶格的作用.因为晶格势场对电子运动的影响在 中已经包含了.其值可通过解不含外场的薛定谔方程求得.,从数学角度来说,能带底对应 的极小,要求,反之,能带顶对应 的极大，,(4).电子的有效质量m*本身已概括了晶格的作用.因为晶,有效质量与准动量是人为定义的，用来描述晶体中电子的粒子性,。用这些概念，处理晶体中电子的输运问题，可以把,布洛赫电子,看成是具有,质量,m,*,、,动量为,的准电子,，使我们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动,。,由于通常晶体周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入这两个,量,，给处理问题带来很大的方便,。,（5）一般而言,对于,宽的能带,能量随波矢变化比较剧烈,m,*,小,;,而对于,窄能带,m,*,大一些.窄能带相当于电子波函数交叠较少,定域性强,不易动,质量大,对应原子的内层电子.,有效质量与准动量是人为定义的，用来描述晶体中电,（6）实际测量,电子的有效质量,常通过电子比热系数来确定.,为自由电子气的比热,系数的理论值,为实验测量值,这样定出的,m,*,也叫热有效质量。,（6）实际测量电子的有效质量,常通过电子比热系数来确定.为,有一类材料,通过低温,电子比热系数,确定的电子的有效质量,是自由电子质量的100-1000倍,把这类材料称为,重费米子(,heavy fermion),材料.,m,*,很高,意味着反常高的态密度 ，从而有窄的能带,电子应该很定域.实际上,这些材料都是些超导材料.是,非常规超导电性的研究对象,.,如:,（7）重费米子(,heavy fermion),材料,热有效质量很大的材料,重费米子材料,有一类材料,通过低温电子比热系数确定的电子的有效质,注意这里都是算符,所以,T,作用之后要保留,.,注意这里都是算符,所以T作用之后要保留.,
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