第十六章-机械波课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十六章 机械波,16,-,1 机械波的产生和传播,16,-,3 平面简谐波的波函数,16,-,4 波的能量 能流密度,16,-,5 惠更斯原理及其应用,16,-,6 波的叠加原理 波的干射,16,-,8 多普勒效应,16,-,2 机械波的传播速度,16,-,7 驻波,1、确切理解描述波动各量的物理意义，并能熟练地确定这些物理量；,2、深刻理解平面简谐波波函数的物理意义，并会建立波函数，运用它来讨论与分析波动现象；,3、熟练掌握波的干涉原理和干涉强弱的条件；,4、熟练掌握驻波形成条件和干涉强弱条件；,教学要求,振动的传播叫波动，产生波动的振动系统称为波源。波动是物质常见的一种运动形式。,机械波：机械振动在弹性介质中的传播。,如绳波、声波、水面波等。,电磁波：变化电磁场在空间的传播。,如无线电波、光波、,X,射线等。,常见波动,机械波和电磁波在本质上并不相同，但它们都具有波动的共同特征和规律：,都具有传播速度；,在波传播过程中都伴随有能量的传播；,都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象。,一、机械波产生的条件：,波源。即作机械振动的物体。如声带、乐器的弦等。,能传播振动的介质。如空气、水、拉紧的绳索等。,16-1 机械波的产生和传播,波源带动弹性介质中的质点振动离开平衡位置，将受弹性回复力的作用，该作用力又施于邻近质点，从而带动邻近质点振动，这振动又会带动更远的质点振动。振动就由近及远地向各个方向传播形成波动。,质点平衡位置,质点位移方向,波传播方向,质点,F,F,二、横波和纵波：,横波：质点振动方向和波的传播方向相互垂直的波,t,=0,t,=,T,/4,t,=,T,/2,t,=3,T/4,t,=,T,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,15,纵波：质点振动方向和波的传播方向相同的波,t,=0,t,=,T,/4,t,=,T,/2,t,=3,T/4,t,=,T,1,2,3,4,5,波速,：单位时间内振动状态（或位相）传播的距离，又称为波的相速，用,v,表示。,波长,：,振动在一个周期内传播的距离。即两个相邻的同相位点之间的距离，用,表示。,三、波的传播速度、波长和周期以及它们之间的关系,周期,：,波前进一个波长所需的时间，用,T,表示。,频率,：,波的周期的倒数，用,表示。,它们之间的关系：,由波源决定,由介质决定,与波源和介质均有关,按波的形状波可分为,平面波：波阵面是平面的波。,球面波：波阵面是球面的波。,四、波动的几个概念,波阵面（波前）：某一时刻,t,，,波动到达的各点连成的曲面。,波面（同相面）：在波动介质中相位相同的点连成的曲面。,波线（波射线）：传播的方向。,平面波：,球面波：,波面,波阵面,波线,波阵面,波面,波线,例题16,-,1 空气中的声速为,320 m/s,时，振动频率为,400 Hz,的音叉产生的声波的波长是多少？当音叉完成 30 次振动时，声波传播了多远？,解 波源的频率就是波的频率，由波长、频率和波速之间的基本关系式得,音叉完成 1次振动所需的时间就是它的周期,所以完成 30次振动所需的时间为,在完成 30 次振动时间内声波传播的距离为：,物体在外力作用下产生形变，在外力撤除后物体会恢复原状的性质称为,弹性,。,物体形变时，每单位面积的恢复力称为,应力,。与物体内两部分的分界面垂直的应力称为,法向应力,，和分界面平行的应力称为,切向应力,。,16-2 机械波的传播速度,什么介质能够传播横波？什么介质能够传播纵波？波的速度与哪些因素有关？必须从物质的弹性谈起。,一、物质的弹性,线应变=,l/l,法向应力=,F,/,S,实验表明 ，其中,E,为杨氏弹性模量,应变分为三种：线应变、体应变和切应变。,线应变,A,S,F,F,B,l,l,物体在外力作用下发生弹性形变,其长度或体积的改变与原来的长度或体积之比称为应变.,体应变=,V,/,V,法向应力=,F,/,S,实验表明,S,F,体应变：,其中,K,称为体积弹性模量。,切应变=,切向应力=,实验表明,切应变,A B,D,F,F,C,其中,N,称为切变弹性模量。,二、传播横波和纵波的介质 波的传播速度,横波在介质中传播时，介质的形变是切变，故只有在固体内及液体的表面才能传播横波。,纵波在介质中传播时，介质的形变是体应变，故固体、液体和气体内都能传播纵波。,A,B,横波示意图,可以证明：,横波在固体中的传播速度为,固体的切变弹性模量,固体的密度,机械波的传播速度完全取决于介质的弹性和惯性，即取决于介质的弹性模量和密度。,纵波的传播速度为,介质的体积弹性模量,介质的密度,若纵波沿一细棒状的介质传播，则体积弹性模量可用杨氏弹性模量代替，即,机械波的传播速度完全取决于介质的各种弹性模量和波的性质（横波、纵波），以及介质的密度。波的频率就是波源振动的频率，与介质无关。,杨氏弹性模量,介质的密度,以长变为例，当棒在外力作用下伸长时，外力对棒作了功，此功转变为棒的势能。当棒伸长,x,时有：,则棒伸长,l,时，外力所作的功为：,物体弹性形变的势能,F,F,l,l,S,（,杨氏弹性模量）（线应变）,2,（体积）,形变势能为,单位体积存储的形变势能为,（,杨氏弹性模量）（线应变）,2,对于其它类型的弹性形变，上两式也适用，只须将,弹性模量,和,应变,换成相应量即可。,由于振动形式是各种各样的，故波动的形式也是多样的，但无论是什么形式的波，都可视为是由许多最简单、最基本的简谐波（余弦波）的合成。,简谐波：波源和各质点均作简谐振动的连续波。,16-3 平面简谐波的波函数,设有一平面简谐波，在均匀介质中沿,x,轴正向传播，振幅不变，波速为,v,。,x,轴就是波线，也是各质点振动的平衡位置。,平面简谐波的波函数,找出描述,x,轴上各点振动情况的函数,平面简谐波的波函数,目的：,波动从,O,点传到,P,点所需时间为,设,O,点为波线上的任一点，并取它为坐标原点，,t,时刻,O,点的振动方程为：,y,x,x,O,P,v,P,点,t,时刻振动状态,应和,O,点在（,t,t,）,时刻的振动状态,相同。,P,点是波线上任一点，上式表明了在波的传播过程中，任意时刻、任一点的振动状态。即在同一坐标上，用统一的时间描绘出波动中各质点的振动规律。,即在任意 时刻,t,，,P,点的位移为,沿,x,轴方向传播的平面简谐波的波函数,波函数可写成如下几种形式：,此即,x,=,x,0,处质点的振动方程。,波函数的物理意义,对波函数,若,x,不变,取,x,=,x,0,则上式变为,y,t,0,此即,t,=,t,0,时刻的波形方程。如同照相一样，给出各质点此时振动的分布情况。,若,t,不变,取,t,=,t,0,波函数变为,y,x,0,则波函数反映了波形的传播。,若,t,与,x,都变化,x,y,0,t,时刻的波形,t,+,t,时刻的波形,v,考察两个质点，平衡位置分别在,x,1,和,x,2,处,t+,t,时刻，对,x,2,处质点有,t,时刻，对,x,1,处质点有：,设两质点之间的距离恰为,x,y,0,v,t,时刻的波形,t,+,t,时刻的波形,x,1,x,2,波函数表明了波动介质中各质点在任一时刻的运动状态。这就是波函数的物理意义。,在,t+,t,时刻,x,2,处质点的位移（相位）恰好等于,t,时刻,x,1,处质点的位移（相位）。,有,表明经过,t,时间，相位向前推进了,x,=,x,2,-,x,1,=,v,t,的距离。,波沿,x,轴负向传播时的情况,P,点,t,时刻的振动状态与（,t,+,t,）,时刻,O,点,的振动状态相同,。,若已知,t,时刻,O,点的振动方程为：,y,x,x,O,P,v,则在,t,时刻,P,点的振动方程应为：,波沿,x,轴负向传播时的波函数为,O,点振动可以有初相位,，,波沿,x,轴负向传播时的波函数可写成：,例题16,-,2 沿,x,轴正向传播的平面余弦波，原点的振动方程为,y,=610,-,2,cos(,t,/9+,/3)，,其中,y,以,m,为单位，,t,以,s,为单位，波长为36,m，,试求,：（1）,波函数；（2）,x,=9m,处质点的振动方程；（3）,t,=3s,时的波形及该时刻波峰的位置坐标,。,解 （1）由 ，,其中,为原点振动的初相，根据题意，振幅,A,=610,-,2,m，,=/,2,=,1/18,s,-,1,，,=36m，,=,/,3,，,代入上式得波函数：,其中,x,、,y,以,m,为单位，,t,以,s,为单位。,（2）在上式中，令,x,=9m，,即得所求振动方程,（3）在波函数中，令,t,=3s，,即得该时刻的波形,波峰处位移最大，即,y,=610,-,2,m，,将之与上式相比较得：,由此得,x,=(12,36,k,)m,k,=0,1,2,这就是各波峰的位置坐标。,例题16,-,3 如图，实线为一平面余弦波在,t=0,时刻的波形图，此波形以,v,=0.08m/s,的速度沿,x,轴正向传播，,试求,：（1）,a,、,b,的振动方向；,（2）,O,点的振动方程；（3）波函数。,y/,m,-,0.2,x/,m,O,v,0.2,a,b,P,0.2,0.4,解 （1）波的传播是波形的传播，故经,t,时间后波形沿传播方向行进至图中虚线位置。,在波的传播过程中，各质点只在自己的平衡位置附近振动，并不随波前进，经,t,时间后，,a,点已经运动到它在,t,=0,时刻位置的下方，,b,点运动到它在,t,=0,时刻位置的上方，可见在,t,=0,时刻，,a,点向下运动，,b,点向上运动。,y/,m,x/,m,O,v,a,b,（2）由图看出波的振幅,A,=0.2m，,波长,=0.4m，,已知波速,v,=0.08 m/s，,由基本关系式,=,vT,得：,故,O,点的振动方程为,初相,可求之如下：,O,点的振动速度为,由第一式得,=,/2,或3,/2,，由第二式,sin,0,，,应取,=,/2，,得,O,点的振动方程,cos,=0,，,sin,0,，,t,=0,时，,O,点的位移,y,=0，,O,点向下运动，即,u,为负，代入以上二式得,其中,y,以,m,为单位，,t,以,s,为单位。,（3）由,O,点的振动方程可得该平面余弦波的波函数：,其中,t,以,s,为单位，,x,、,y,以,m,为单位。,波传到的介质元要发生振动，因而具有动能。同时该介质元要发生形变，又具有弹性势能。波的传播既是振动的传播，也是能量的传播。,16-4 波的能量、能流密度,一、波的能量,设平面简谐波在棒中传播，其波函数为,x,x,B,C,0,B,C,y,y+,y,密度为,的弹性介质中，考虑一体元,BC,，,其体积为,V,，质量为,波传到此体元时，,t,时刻的振动速度为,其振动动能为：,该时刻此体元的伸长为,y,，,线应变为,同时，此体积元具有弹性势能：,即，任一时刻体积元的动能和势能是相等的。,体积元的总能量为：,任一时刻体积元的动能和势能相位相同，同时达到最大，同时为零。体积元的总能量是随时间作周期性变化的（这和谐振动不同）。,介质中单位体积内波的能量叫做波的能量密度,，用,w,表示：,w,能,=0,w,能,最大,能量密度在一个周期内的平均值叫,平均能量密度,。,二、能流和能流密度,单位时间内通过某一平面的能量定义为通过该平面的能流,，用,P,表示,：,v,dt,v,S,能流也是随时间变化的，其时间平均值称为平均能流：,(J/s),能流密度,：通过与波传播方向相垂直单位面积的能流（单位时间内穿过与波传播方向相垂直单位面积的能量）。,能流密度的时间平均值叫做,平均能流密度,（,波的强度,），用,I,表示：,S,强度为,I,的波，传播方向与平面 的夹角为,，,则穿过该平面的平均能流密度为：,(,J/sm,2,即,W/m,2,),三、平面波和球面波的振幅,S,v,S,p,1,p,2,设平面简谐波的波函数为,该平面简谐波通过两个面积均为,S，,且垂直于波传播方向的平面，若平均能流为 ：,其中,A,1,、,A,2,分别为波在这两个面积处的振幅,1,2,如果,A,1,=,A,2,，,则 。所以平面简谐波振幅不变的意义是介质没有吸收波的能量。,S,1,S,2,r,2,r,1,O,球面波的情况,设波源在,O,点的球面波通过半径分别为,r,1,、,r,2,的,两个球面，介质不吸收能量时，平均能流相等：,其中,A,1,、,A,2,分别为两个球面处的振幅,于是,因此，球面简谐波的波函数为,其中,r,为离开波源的距离。,振幅与离开波源的距离成反比。,介质中波动传到的各点都可以看作新的波源，这些新波源发射的波称为次级子波，其后任一时刻这些新的子波的前方包络就是该时刻的新波阵面。,惠更斯原理,16-5 惠更斯原理及其应用,一 、惠更斯原理,R+r,R,球面波的传播,t,+,t,时刻的波面,t,时刻的波面,平面波的传播,二、波的衍射,波在传播过程中遇到障碍物，其传播方向绕过障碍物发生偏折，称为波的衍射现象。,B,A,衍射现象显著与否与障碍物的大小与波长之比有关。,波长,d,(,缝宽）衍射显著，,d,不显著,B,A,a,三、波的反射与折射,入射线、反射线与界面的法线在一平面内，入射角等于反射角。,A,A,B,C,D,M,N,I,R,e,n,i,B,C,C,B,A,波的反射定律,反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，要形成反射波与折射波。,用作图法可以求出折射波的传播方向,A,C,=,v,1,t,=,AC,sin,i,AE,=,v,2,t,=,AC,sin,波的折射定律,i,入射角,折射角，,n,21,相对折射率,波的折射定律,A,C,i,B,E,A,B,M,N,D,e,n,I,L,v,1,v,2,几列波在同一种介质中传播，相遇后仍然保持它们各自原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，按照原传播方向继续传播，就象没有遇到其它波一样。,在相遇区域，介质质点的振动为各列波分别引起的振动的合成（叠加）。,波的叠加原理,16-6 波的叠加原理 波的干涉,一、波的叠加原理,两列波在相遇区域使某些地方振动始终加强（振幅增大），另一些地方振动始终减弱（振幅减小）的现象，叫波的干涉。,二、波的干涉,两个同性质振子产生的波在相遇区域叠加的结果：,能够产生干涉现象的波，叫做相干波，必须满足三个条件：,频率相同、振动方向相同、位相相同或位相差恒定,。,相干条件,三、两列波相互加强与减弱的条件,设有两个相干波源,S,1,、S,2,，,振动方程分别为：,当二波传到,P,点时，,P,点同时参与两个振动：,合振动仍应是同方向、同频率的谐振动,其中,令：,两波传到,P,点时的相位差,讨论：,当 （,k,=0、1、2、）,时,A,=,A,max,=A,1,+,A,2,振动最强。,当 （,k,=0、1、2、）,时,A,=,A,min,=,A,1,-,A,2,振动最弱。,当,为其它值时，,合振幅在 ,A,1,-,A,2,（,A,1,+,A,2,）,之间,当,1,=,2,时则有,此时位相差的数值仅决定于两相干波源到,P,点的路程差,，,称为波程差。,强,强,强,弱,弱,S,1,S,2,讨 论,振动最强。,当,时,（半波长的偶数倍）,振动最弱。,当,时,（半波长的奇数倍）,驻波的形成,入射波与反射波叠加，有的位置振动的振幅为零，称为波节，而有的位置振动的振幅达到最大，称为波腹 驻波现象。,16-7 驻波,波腹,波节,驻波的产生,驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播叠加而成的,。,驻波方程（选择波腹处为坐标原点）,其振幅为：,沿,x,轴正向传播的波：,沿,x,轴负向传播的波：,在,x,处叠加：,振幅,相位,可见，驻波振幅随位置坐标,x,的值不同而异。,这是一个振动方程。所以驻波方程实际上是一个振动方程而不是一个波动方程。,驻波方程：,令,上式变为：,驻波的特征,波节和波腹,波节位置,两相邻波节、相邻,波腹,间的距离：,因为振幅为：,波腹位置,相位：,相位为,相位为,同一时刻，,相邻波节之间各点相位相同，而波节两侧各点相位相反,。,半波损失,实验发现，入射波从波疏介质射向波密介质,又反射回波疏介质，相位突变,，,称为半波损失,。,入射波从波密介质射向波疏介质,又反射回波密介质时，无半波损失现象。,介质的密度和波速的积,v,叫做该介质的波阻。波阻,较大的,介质称为波密介质，相反为波疏介质。,如果波源与观察者之间有相对运动，观察者接受到的波频率不同于波源。,波源：频率为,波长为,；波的传播速度为,v,16-8 多普勒效应,多普勒效应,波源,相对于介质的速度,观察者,v,S,v,O,波源,S,观察者,O,v,v,O,v,S,设波源和观察者在同一直线上运动。,波源与观察者相对介质为静止时,观察者接收的频率=波源的频率,波相对于观察者的速度,波源静止（,v,S,=0），,观察者以,v,O,运动时,波源静止,观察者运动,v,O,观察者接收到的波长等于波源发出的波的波长，观察者接收到的频率为：,观察者远离波源运动,观察者向波源运动,波源,S,静止,v,v,O,观察者,O,运动,观察者静止（,v,O,=0），,波源以,v,S,运动时,波源在单位时间内发出的波的个数不变，原来分布在,v,的长度内，但现在它们被挤在 （,v,-,v,S,）,长度内，故波长变短了。,波源,运动,观察者,静止,观察者,o,静止,v,波源,S,运动,v-v,S,v,S,o,o,运动的前方波长压缩,S,当波源向观察者运动时()，有,当波源远离观察者运动时()，有,波源和观察者都相对于介质运动时,O,向,S,运动时，,V,O,取正，反之取负；,S,向,O,运动时，,V,S,取负，反之取正。,实验和理论都证明，电磁波也有多普勒效应，并被广泛应用于科学研究和工程。,银 河 系,近距离星系,中距离星系,远距离星系,不同星系光谱的吸收线 单位,nm,马赫锥,v,S,t,ut,v,S,马赫锥,波源的速度超过波速时，多普勒效应失效，波阵面是以波源为顶点的锥面 马赫锥,马赫角：,马赫数：,子弹在空气中运动,小舟在水面上划行,