第二节传输线方程及其解课件

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二节 传输线方程及其解,传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线,上电压、电流变化规律及其相互关系的微分方程。,一、时变传输线方程,如图,2-5,，对,d,z,等效电路,应用,基尔霍夫定律,图,2-5,d,z,段传输线的等效电路,第二节 传输线方程及其解 传输线方程是传输线理论,1,(2-1,a),图,2-5,d,z,段传输线的等效电路,回路,节点,(2-1a)图2-5 dz 段传输线的等效电路回路节点,2,应用泰勒公式：,应用泰勒公式：,3,得时变传输线方程,(,分布参数电路微分方程,),：,用微分和极限概念,得时变传输线方程(分布参数电路微分方程)：用微分和极限,4,得时变传输线方程,(,分布参数电路微分方程,),：,二、时谐传输线方程及其解,1.时谐传输线方程,(,说明：时谐场即复数场,),对于角频率为,w,的余弦信号,式中,得时变传输线方程(分布参数电路微分方程)：二,5,得时谐场的传输线方程：,时变（时间函数）,时谐（时间无关）,时谐场的传输线方程,(2-2),暂时撇开时间因子,e,j,w,t,，,而只研究沿线电压、电流的复数幅度与传输线位置之间的关系，是一维空间的问题。,得时谐场的传输线方程：时变（时间函数）时谐（时间无关）,6,时谐场传输线方程：,单位长度传输线的,串联阻抗,单位长度传输线的,并联导纳,阻,抗,纳,导,阻导,抗纳,倒数关系,注意,?,时谐场传输线方程：单位长度传输线的串联阻抗 单位长度,7,2.,时谐均匀长线的波动方程,式,(2-2),对,z,求导,：,传播常数,2.时谐均匀长线的波动方程式(2-2)对 z 求导：传播常,8,时谐均匀长线的波动方程,(,电报方程,),：,这是一个二阶齐次常微分方程,。,传播常数,=,+j,衰减常数？,相位常数？,时谐均匀传输线波动方程的解？,Helmholtz,？,时谐均匀长线的波动方程(电报方程)：这是一个二阶齐次常微分方,9,式中，,A,1,、,A,2,为积分常数,(,复数,)，,其值取决于长线的端接条件(边界条件)。上式带入式,(2-2),得,3.时谐均匀传输线波动方程的解,1),电压、电流的通解,(1),通解的表达式,均匀传输线的,与,z,无关，式,(2-3,a,),的电压通解为,U,的通解得到,I,的表达式,式中，A1、A2为积分常数(复数)，其值取决于长线的端,10,Z,0,称为长线的,特性阻抗。,求解,U,，,I,的目的？,高频,?,系数,A1A2,怎么定？,Z0 称为长线的特性阻抗。求解U，I的目的？高频?系,11,(2),入射波与反射波,式中含,e,-j,b,z,的项表示沿,z,方向(由信号源向负载方向)传播的,行波，为入射波；,含,e,j,b,z,的项表示沿,-,z,方向(由负载向信号,源方向)传播的行波，为反射波。,分析电报方程通解的表达式,(2-3,c),沿线任何一处的电压,(,或电流,),等于该处电压,(,或电流,),的入、反射波的叠加，分别称为,视在电压,、,视在电流,。,且有：,(2)入射波与反射波式中含e-jb z 的项表示沿z方,12,(2),入射波与反射波,衰减常数？,相位常数？,(2)入射波与反射波 衰减常数？,13,(2)电压、电流的终端条件解,(,算例,),时谐传输线方程的通解式,(2-3,c),中的常数,A,1,、,A,2,必,须用边界条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最,常用的。,已知,终端电压 、电流 ，求沿线电压、电流的表达式。,图,2-6,已知终端电压、电流，求沿线电压、电流,坐标原点,z,=0,选在终端,(2)电压、电流的终端条件解(算例),14,以,代入,(2,-,4,a),解得,图,2-6,已知终端电压、电流，求沿线电压、电流,已得到通解,以,15,代入,(2,-,4,a),整理得,又称终端方程。,始端条件解可自习,P13,的2.，,注意坐标系与,1.,不一样,。,代入(2-4a)整理得又称终端方程。始端条件,16,(,无耗,),衰减常数,a,=,0,第三节 均匀无耗长线的基本特性,=,=,j,b,相位常数,均匀,:,R,0,G,0,L,0,C,0,分布与位置无关。,无耗,：,R,0,=0,，,G,0,=0,，,当信号源频率很高，或长线损耗很小而满足条件,R,0,w L,0,和,G,0,线上任一点反射系数,。,f=f2 2 b z 为G(z)的相位角。f2f2,29,4.,反射系数与输入阻抗的关系,5,个量，,1,个方程,4.反射系数与输入阻抗的关系5个量，1个方程,30,五、驻波比与行波比,当,Z,L,Z,0,、,即不匹配时,，,G,2,0,，,可用,G,来反映失配,程度,。,实际应用中，采用电压驻波比,(,VSWR,),来衡量失配,程度。,因为驻波比容易测量。,1.,驻波比,r,VSWR,定义,z,o,max,min,2,.,行波系数,K,与驻波比互为倒数,五、驻波比与行波比 当ZLZ0、即不匹配时，,31,五、驻波比与行波比,驻波,五、驻波比与行波比驻波,32,反射系数模的变化范围为,驻波比的变化范围为,行波系数的变化范围为,传输线的工作状态一般分为三种：,传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、驻波比和行波系数三个参量来描述。,(1),行波状态,(3),驻波状态,(2),行驻波状态,驻波比,r,与反射系数,|,G,|,有一一对应关系：,反射系数模的变化范围为行波系数的变化范围为 传输线的工作状态,33,六、无耗传输线的传输功率与功率容量,功率,1.无耗传输线的传输功率,P,(,z,),六、无耗传输线的传输功率与功率容量功率1.无耗传输线的传输,34,称为功率反射系数。,P,i,(,z,),、,P,r,(,z,),分别为通过,z,点处的入、反射波功率；,称为功率反射系数。Pi(z)、Pr(z)分别为通过 z,35,在电压波腹点,(即电流波节点)？,可见,当无耗长线的耐压一定或所承受的电流一定时，,行波系数,K,越大(线上匹配越好),所能传输的功率也越大。,均匀无耗线,通过线上任意点的传输功率都相同。可在电压波腹点或电压波节点处计算传输功率(该点的输入阻抗,Z,in,为纯阻)。,在电压波腹点 (即电流波节点)？可见,36,2.功率容量,P,br,传输线上的电压、电流受击穿电压和最大载流量限制。用,“,功率容量,P,br,”,来描写传输线是否处于容许的工作状态。,功率容量,P,br,：在不发生电击穿的情况下，传输线上,允许传输的最大功率。设,U,br,为击穿电压，得：,1,、,U,br,由传输线的结构、材料、填充介质等因素所决定。,2,、,P,br,不仅与,U,br,有关,还与行波系数,K,有关,。,3,、从功率角度看，传输线最佳工作状态是行波工作状态。,4,、为了在传输大功率时不被击穿,常取：,P=(1/31/5),P,br,2.功率容量 Pbr 传输线上的电压、电流受击穿电,37,提要,传输线方程，电报方程,传播特性：传播常数，相速，相波长,特性阻抗，输入阻抗,入射波与反射波：反射系数,反射系数与特性阻抗，负载阻抗关系,驻波比，行波比,入射功率，反射功率，功率容量,提要传输线方程，电报方程,38,25,均匀无耗传输线工作状态的分析,一、行波工作状态,(,无反射情况,),二、驻波状态（全反射情况）,1,、终端短路,2,、终端开路,3,、终端接纯电抗负载,1,）负载为纯感抗,2,）负载为纯容抗,三、行驻波状态（部分反射情况）,25 均匀无耗传输线工作状态的分析 一、行波工作状态(无反,39,25,均匀无耗传输线工作状态的分析,一、行波工作状态,(,无反射情况,)U=U,i,二、驻波状态（全反射情况）,1,、终端短路,U,2,=0,2,、终端开路,I,2,=0,3,、终端接纯电抗负载,1,）负载为纯感抗,Z,L,=+jX,2,）负载为纯容抗,Z,L,=-jX,三、行驻波状态（部分反射情况）,Z,L,=R+jX,1,、沿线电压、电流分布,2,、沿线阻抗变化规律,25 均匀无耗传输线工作状态的分析 一、行波工作状态(无反,40,25,均匀无耗传输线工作状态的分析,25 均匀无耗传输线工作状态的分析,41,一、行波状态,(,无反射情况,),由此可得行波状态下的分布规律：,(1),线上电压和电流的振幅恒定不变,(2),电压行波与电流行波同相，它们,的相位是位置,z,和时间,t,的函数,(3),线上的输入阻抗处处相等，且均,等于特性阻抗,只有入射波,U=U,i,一、行波状态(无反射情况)由此可得行波状态下的分布规律：(,42,二、驻波状态,(,全反射情况,),当传输线终端短路、开路或接纯电抗负载时，终端的入射波将被全反射，沿线入射波与反射波迭加形成驻波分布。驻波状态意味着入射波功率一点也没有被负载吸阿收，即负载与传输线完全失配。,1.,终端短路,U,2,=0,复数表达式为,即：,二、驻波状态(全反射情况)当传输线终端短路、开,43,短路时的驻波状态分布规律：,(1),瞬时电压或电流在传输线的某个固定位置上随时间,t,作正弦或余弦变化，而在某一时刻随位置,z,也作正弦或余弦变化，但瞬时电压和电流的时间相位差和空间相位差均为,90,度，表明传输线上没有功率传输。,(2),当,时，电压振幅恒为最大值，即,而电流振幅恒为零，这些点称之为电压的波腹点和电流的波节点；,当,时，,电流振幅恒为最大值，而电压振幅恒为零，这些点称之为电流的波腹点和电压的波节点。,(3),传输线终端短路时，输入阻抗为,短路时的驻波状态分布规律：(1)瞬时电压或电流在传输线的某,44,2.,终端开路,I,2,=0,沿线电压、电流的复数表达式为,传输线终端开路时，输入阻抗为,由于负载阻抗,2.终端开路 I2=0沿线电压、电流的复数表达式为传输,45,3.,终端接纯电抗负载,均匀无耗传输线终端接纯电抗负载时，沿线呈驻波分布。,终端电压反射系数为,(1),负载为纯感抗,(2),负载为纯容抗,此电抗也可用一段特性阻抗为,Z,0,、长度为,l,0,的短路线等效，长度,l,0,可由下式确定,因此，长度为,l,终端接电抗性负载的传输线，沿线电压、电流及阻抗的变化规律与长度为,(,l,+,l,0,),的短路线上对应段的变化规律完全一致，距终端最近的电压波节点在,范围内。,纯容抗,纯感抗,3.终端接纯电抗负载 均匀无耗传输线终端接纯电抗负载时，,46,综上所述，均匀无耗传输线终端无论是短路、开路还是接纯电抗负载，终端均产生全反射，沿线电压电流呈驻波分布，其特点为：,(i),驻波波腹值为入射波的两倍，波节值等于零。短路线终端为电压波节、电流波腹；开路线终端为电压波腹、电流波节；接纯电抗负载时，终端既非波腹也非波节。,(ii),沿线同一位置的电压电流之间相位差，所以驻波状态只有能量的存贮并无能量的传输。,综上所述，均匀无耗传输线终端无论是短路、,47,三、行驻波状态,(,部分反射情况,),当均匀无耗传输线终端接一般复阻抗,式中终端反射系数的模和相角分别为,传输线工作在行驻波状态。行波与驻波的 相对大小决定于负载与传输线的失配程度。,三、行驻波状态(部分反射情况)当均匀无耗传输线终端接一般,48,1.,沿线电压、电流分布,沿线电压电流振幅分布具有如下特点：,(1),沿线电压电流呈非正弦周期分布；,(2),当 时，即,在线上这些点处，电压振幅为最大值,(,波腹,),，电流振幅为最小值,(,波节,),，即,(3),当 时，即,在线上这些点处，电压振幅为最小值,(,波节,),，电流振幅为最大值,(,波腹,),，即,1.沿线电压、电流分布沿线电压电流振幅分布具有如下特点：,49,(4),电压或电流的波腹点与波节点相距 。,(5),当负载为纯电阻,R,L,，且,R,L,Z,0,时，第一个电压波腹点在终端。当负载为纯电阻,R,L,，且,R,L,Z,0,时，第一个电压波腹点的位置为,当负载为感性阻抗时，第一个电压波腹点在 范围内。,当负载为容性阻抗时，,第一个电压波腹点在 范围内。,沿线电压电流的振幅分布如图,(4)电压或电流的波腹点与波节点相距 。(5),50,2.,沿线阻抗分布,线上任一点处的输入阻抗为,它具有如下特点：,(1),阻抗的数值周期性变化，在电压的波腹点和波节点，阻抗分别为最大值和最小值,(,波腹,),(,波节,),(2),每隔 ，阻抗性质变换一次；每隔 ，阻抗值重复一次。,2.沿线阻抗分布线上任一点处的输入阻抗为它具有如下特点：,51,(,纯电抗,),G,=1,f,=0,电 压,波腹点,G,=,-,1,f,=p,电 压,波节点,行波,驻波,(纯电抗)G=1,f=0电 压G=-1,52,G,为,正实数,f,=0,为,纯电阻,电 压,波腹点,G,为,负实数,f,=p,为,纯电阻,电 压,波节点,行驻波,G 为正实数,f=0为纯电阻电 压G 为负实,53,有损耗均匀传输线,有损耗均匀传输线的方程及其解,方程的通解,传播特性：,a,）电压、电流为减幅波，沿线能量衰减；,b,）波速与频率有关，为,色散波,，引起信号失真；,c,）特性阻抗为复数，难以实现阻抗匹配。,式中 传播常数,电压、电流波动方程,特性阻抗,（复数）,图,8.6.1,有损耗均匀传输线等效电路,有损耗均匀传输线有损耗均匀传输线的方程及其解方程的通解传播特,54,均匀传输线的参数,特性阻抗,传播常数,，振幅畸变；，相位畸变,结论：低损耗线可近似为无损耗线，传播特性相似。,无畸变传输线,1.,采用无损耗或低损耗传输线,2.,采用满足无畸变条件 的有损耗传输线，此时,低损耗传输线,信号不发生畸变的主要条件是,或 不是频率的函数。,两种方法：,均匀传输线的参数特性阻抗传播常数 ，振幅,55,