第九章---微积分在经济中的应用课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 微积分在经济中的应用,一、复利公式,(1)复利(逐年),年利率 ，,初始资金,n,年后的资金,若将来值为,C,，则本金为,若现在投资,A,，,每年获得,I,，,N,年后资金用尽，则,1,第九章 微积分在经济中的应用一、复利公式(1)复利(,反过来，,(2)连续复利,年利率,r,，,本金,A,，一年分 m 期计息，则,每期的利率为,按复利计算，一年末的本利和,t,年末的本利和为,若计息期,则第,t,年末的本利和为,2,反过来，(2)连续复利年利率 r，本金 A，一年分 m,(3)资金的贴现值与投资问题,资金,A,的终值：,按年利率,r,作连续复利计算，第,t,年末,的本利和为,称之为资金,A,的终值（或将来值）,资金,A,的贴现值：,第,t,年末要得到资金,A,，需要,的资金投入，,称之为第,t,年末资金,A,的贴现值.,注：在经济管理中，我们常把不同时期的资金转化为,收入(支出率),t,时刻的收入(支出)，记为,均匀收入(支出)流,同一时期的资金来进行比较.,3,(3)资金的贴现值与投资问题资金A 的终值：按年利率r,问题：,设在,时间段上，收入(支出)率为,年利率,r,，按连续复利计算，求该时间段上的总收入的,贴现值,M,与终值,N,.,解决方法：,微元分析法,第一步,利用“化整为零,以常代变”求出局部量,的近似值,第二步,利用“积零为整,无限累加”求出整体量,的精确值,4,问题：设在时间段上，收入(支出)率为年利率 r，按连续复利计,(a)求帖现值,(b)求终值,微元表达式,积分表达式,在,时间段上，,总收入,贴现值为,微元表达式,在,时间段上的总收入在其,积分表达式,后的,时间段收入的终值为,5,(a)求帖现值(b)求终值微元表达式积分表达式在时间,例1,若在未来7 年内每年年末支取资金10000元，在固,定利率为5%的情况下，现在需要投资多少？,解,例2 若投资2000元，固定利率为5%，按连续复利计,息，则8年后产资本是多少？,解,6,例1若在未来7 年内每年年末支取资金10000元，在固定利率,例3,某公司为了发展新业务，需要增加5 台电脑，如,果购进一台电脑需要一次性支付 5000 元现金，电脑的,使用寿命为15年；如果租用一台电脑，每年需要支付,600元租金，租金均匀支付，按连续年利计息：若银行,的年利率为12%，两种方式哪种合算？利率为6%呢？,解,方法一 将比较的时期定在现值上,租用,租用,故租比买合算.,7,例3某公司为了发展新业务，需要增加5 台电脑，如果购进一台电,例3,某公司为了发展新业务，需要增加5 台电脑，如,果购进一台电脑需要一次性支付 5000 元现金，电脑的,使用寿命为15年；如果租用一台电脑，每年需要支付,600元租金，租金均匀支付，按连续年利计息：若银行,的年利率为12%，两种方式哪种合算？利率为6%呢？,解,方法一 将比较的时期定在现值上,若,租用：,故买比租合算,8,例3某公司为了发展新业务，需要增加5 台电脑，如果购进一台电,方法二 将比较期定在将来值上,若,故租比买合算,若,故买比租合算,9,方法二 将比较期定在将来值上若故租比买合算若故买比租合算9,例4,某人决定按照抵押贷款的方式购买一套住房，若,房款10万美元，现有4万美元，申请贷款6万美元，期限,25年，月利率1%，复利计息，问他每月应还款多少？,解,美元.,个月,10,例4某人决定按照抵押贷款的方式购买一套住房，若房款10万美元,二、用需求弹性分析收益的变化,Elasticity,价格的变动会引起需求量的变动，但需求量对价格变动的反应程度是不同的。,P,Q,D,P,D,Q,问题：两条需求曲线为什么不同？,反应程度小,反应程度大,O,O,11,二、用需求弹性分析收益的变化 Elasticity价格的变,弹性（elasticity）的概念,弹性指的是因变量对自变量变化的反应程度，公式为：,12,弹性（elasticity）的概念12,二、用需求弹性分析收益的变化,Elasticity,问题一 价格的增加如何影响需求量的下降,问题二 降低价格会不会影响收益,求做,令,需求弹性,设价格,p,，收益,R,，需求量,q,13,二、用需求弹性分析收益的变化 Elasticity问,价格,p,，收益,R,，需求量,q,分析,(1)低弹性,收益最大,即低弹性时价格少许上涨带来收益增加。,(2)高弹性,即高弹性时价格少许上涨会使收益减少。,(3)单位弹性,14,价格p，收益R，需求量q分析(1)低弹性收益最大即低弹性,五种分类,价格无论如何变动，需求量都不会变动。,（如：急救药）,P,Q,D1,O,(1)完全无弹性,（perfect inelastic）,15,五种分类价格无论如何变动，需求量都不会变动。PQD1O(1,价格为既定时，需求量是无限的。,银行以某一固定的价格收购黄金,实行保护价的农产品,P,Q,D2,O,(2)无限弹性（,perfect elastic,）,16,价格为既定时，需求量是无限的。PQD2O(2)无限弹性（,价格变动的比率=需求量变动的比率。,这时的需求曲线是一条正,双曲线,。,如运输、住房服务,D3,O,P,Q,(3)单位弹性（,unitary elastic）,17,价格变动的比率=需求量变动的比率。D3OPQ(3)单,需求量变动的比率小于价格变动的比率。,主要是生活必需品,病人对药品（不包括滋补品）的需求的价格弹性1,若某商品价格上升20，其需求量下降10，则该商品的需求价格弹性为:,缺乏弹性,D4,P,Q,O,(4)低弹性(缺乏弹性),（inelastic）,18,需求量变动的比率小于价格变动的比率。病人对药品,需求量变动的比率大于价格变动的比率。,主要是奢侈品。,商品价格上升6%，而需求量减少9%时，该商品属于？,富有需求弹性。,D5,P,O,Q,(5)高弹性(富于弹性),（elastic）,19,需求量变动的比率大于价格变动的比率。商品价格上升6%，而需求,例如“谷贱伤农”：,需求缺乏弹性的商品，E 1,需求量变动的比率小于价格变动的比率。,价格上调,总收益增加,对生产者有利;,价格下调,总收益减少,对生产者不利。,征收消费税，会提高商品价格,需求越缺乏弹性，消费者负担的比重就越大，而对生产者有利；,需求越富有弹性，消费者负担的比重就越小，而生产者负担的比重就越大。,价格变动的百分比大于需求量变动的百分比时，提高价格会增加总收益。,Q,P,O,20,例如“谷贱伤农”：需求缺乏弹性的商品，E 1需求量变动的,例如：,为什么化妆品可以薄利多销而药品却不行？是不是所有的药品都不能薄利多销？为什么？,答：,（1）化妆品之所以能薄利多销，是因为它是需求富有弹性的商品，小幅度的降价可使需求量有较大幅度的增加，从而使总收益增加，而药品是需求缺乏弹性的商品，降价只能使总收益减少.,（2）并不是所有的药品都不能薄利多销.,例如一些滋补药品，其需求是富有弹性的，可以薄利多销.,21,例如：为什么化妆品可以薄利多销而药品却不行？是不是所有的药品,设某商品的需求函数(线性),试讨论,解 令,(1)低弹性,收益最大.,即价格少许上涨将带来收益增加.,(2)高弹性,需求下降的百分比大于价格增加的百分比,则收益减少.,(3)单位弹性,例5,弹性的变化.,最高价,如果涨价，,22,设某商品的需求函数(线性),定义9.1 供给弹性,设价格,p,，供给量,q,，供给函数,在 处可导,称为该商品在,与,两点间的供给弹性.,称为该商品在,处的供给弹性.,注,23,定义9.1 供给弹性设价格 p，供给量q，供给函数在,过原点,Es,=1,与Q平行,ES,=,与P轴平行,ES,=0,O,O,定义9.2 供给弹性的分类,24,过原点 Es=1与Q平行 ES=OO定义9.2,缺乏弹性与Q轴相交,ES,1,富有弹性与,P,轴相交,Es,1,P,Q,S,A,同时与P、Q相交：,价格下跌，反而要增加生产，才可以维持盈利.,ES,0,如粮食、铜的供给,电脑制品.,O,O,O,25,缺乏弹性与Q轴相交 ES1富有弹性与P轴相交Es1PQS,设商品的供给函数,求供给弹性数及,p,=1 时的供给弹性.,解,例6,26,设商品的供给函数求供给弹性数及p=1 时的供给弹性.解例6,定义9.3 局部弹性,(1)需求自身价格弹性,设商品,A,的多元需求函数为,即,当 和,y,保持不变,发生变化时，,需求量,的相,对改变量与自变量,的相对改变量之比的极限称为需,需求自身价格弹性，记作,注：,27,定义9.3 局部弹性(1)需求自身价格弹性设商品A,(2)需求的交叉价格弹性,即,当 和,y,保持不变,发生变化时，,需求量,的相,对改变量与自变量,的相对改变量之比的极限称为需,需求的交叉价格弹性，记作,28,(2)需求的交叉价格弹性即当 和 y 保持不变,注：,需求的交叉价格弹性表示一种商品价格的相对变,动所引起的相关商品需求量的相对变动.,(1),A,、,B,是相互竞争的商品，即,(2),A,、,B,是相互补充的商品，即,29,注：需求的交叉价格弹性表示一种商品价格的相对变动所引起的相关,即,y,发生变化时，,需求量,的相,对改变量与自变量,y,的相对改变量之比的极限称为需,求的收入弹性，记作,(3)需求的收入弹性,当 和,保持不变,注,30,即y 发生变化时，需求量的相对改变量与自变量 y 的相对改,例7 设需求函数,求当,时的,解,故,A,、,B,是相互竞争的商品.,31,例7 设需求函数求当时的解故A、B是相互竞争的商品.31,三、最大值与最小值的应用,1、利润最大化,“利润最大化”原则：最大利润时的产量水平在边际,收益与边际成本相等时达到.,32,三、最大值与最小值的应用1、利润最大化“利润最大化”原则：最,例8 设厂商总成本函数,C,=,C,(,q,)(,q,为产量=销售量=,需求量,),，需求函数为,P,=,P,(,q,),其中,C,(,q,)、,P,(,q,)均是,q,的二阶可导函数，且厂商的利润函数,L,=,L,(,q,)满足,试确定厂商获得最大利润的必要条件。,解 收益函数,利润函数,图形凸，,故只存在唯一的驻点，,即最值点.,33,例8 设厂商总成本函数 C=C(q)(q为产量=销售,例8 设厂商总成本函数,C,=,C,(,q,)(,q,为产量=销售量=,需求量,),，需求函数为,P,=,P,(,q,),其中,C,(,q,)、,P,(,q,)均是,q,的二阶可导函数，且厂商的利润函数,L,=,L,(,q,)满足,试确定厂商获得最大利润的必要条件.,解,设最值点为,则,即,称为厂商的均衡产量，,为均衡价格,厂商获得最大利润的必要条件是：,边际收益=边际成本 即,34,例8 设厂商总成本函数 C=C(q)(q为产量=,例9 设某厂生产某种产品,q,件的成本函数为,C,(,q,)=,20+4,q,(万元,),，产品的需求函数为,p,为产品的价格，若需求量等于产量，那么,(1)求,p=,6时，需求对价格的弹性，并解释经济意义.,其中,(2)求,p=,6时，收益对价格的弹性，并解释经济意义.,(3)问产量,q,分别为多大时，收益最大，求最大收益；,利润最大，并求最大利润.,解,(1),说明价格上涨1%，,需求量减少1/3%,35,例9 设某厂生产某种产品 q 件的成本函数为 C(q)=2,(2),说明价格上涨1%，,需求量增加2/3%.,36,(2)说明价格上涨1%，36,(3),由实际问题可知,由实际问题当,q,=5时，,由实际问题可知,37,(3)由实际问题可知由实际问题当q=5时，由实际问题可知3,例10 设,分别为商品,的需求量，它们的需,求函数为,数为,成本函,问价格取何值时，可使得利润最大(单价为万元).,收益函数：,利润函数：,解,其中,为两种商品的价格，,38,例10 设分别为商品,的需求量，它们的需求函数为数为,利润函数：,即,驻点,驻点唯一，由实际问题，即为最大值.,39,利润函数：即驻点驻点唯一，由实际问题，即为最大值.39,例11,某牛奶公司生产鲜奶及酸奶，鲜奶每斤纯利0.8元，,酸奶每斤纯利1.2元，制造,x,斤鲜奶及,y,斤酸奶的成本函,数为,产的费用是31000元，问如何分配生产使利润最大？,利润函数：,约束条件：,解,而该公司每日的生,构造拉格朗日函数：,40,例11某牛奶公司生产鲜奶及酸奶，鲜奶每斤纯利0.8元，酸奶每,得方程组,构造拉格朗日函数：,唯一驻点,由实际问题，每日生产鲜奶3000斤，酸奶5500斤，,利润最大.,41,得方程组构造拉格朗日函数：唯一驻点由实际问题，每日生产鲜奶3,2、成本最小化,(1)经济批量,存贮过多,存贮过少,库存,需求均匀，不缺货,占资金，费用高,订货费用高，缺货,经济批量,基本假设：,目标：订货费与贮存费之和最小,准备工作：,T,订货周期、,Q,每批订货量、,每次订货费用,每天每吨货物的贮存费用、,q,每天对货物的需求量,C,一个周期内的总费用,模型一 （不允许缺货的贮存模型）,42,2、成本最小化(1)经济批量存贮过多存贮过少库存需求均匀，,在一个订货期内，需求量从,Q,降为 0 时立刻补货,总贮存费为,货物的平均贮存费用为,Q/,2，,或,或,解得唯一驻点,经济批量,43,在一个订货期内，需求量从Q 降为 0 时立刻补货总贮存费为货,公式表明,贮存费越高，则每次订货批量应越小.,订货费越高，需求量越大，则订货批量应越大,总费用,44,公式表明贮存费越高，则每次订货批量应越小.订货费越高，需求量,例12,某厂生产某商品，年销售量为100万件，每批生产,需要增加准备费1000元,而每件商品的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,且上一批售完,立即生产下一批,每批,数量相同,则全年应组织几批生产，使得生产费与库存,费最小？,解,设批量为,Q,、总费用为,C,，则成本函数为,又,故应分五批生产，可使费用最小.,45,例12某厂生产某商品，年销售量为100万件，每批生产需要增加,模型二（允许缺货的贮存模型）,由于缺货而失去销售机会会使利润减少，,缺货费：,减少的利润视为因缺货而付出的费用.,准备工作,货物售完时间,每天每吨货物的贮存费用、,q,每天对货物的需求量,C,一个周期内的总费用、,T,订货周期、,Q,每批订货量、,每次订货费用、,货物在,时售完，有段时间缺货(需求量仍为,q,),在,T,时下一批订货量为,Q,的货物到达,46,模型二（允许缺货的贮存模型）由于缺货而失去销售机会会使利润减,订货费：,在一个订货周期,T,内的总费用：,贮存费：,缺货费：,故总费用为,47,订货费：在一个订货周期T 内的总费用：贮存费：缺货费：故总费,令,则,记,则与不允许缺货的模型相比较，有,48,令则记则与不允许缺货的模型相比较，有48,(2)生产函数,目标：达到最佳的经济效益,在产量不变的情况下，成本最小.,成本不变的情况下，产量达到最大.,两种选择,(,Q,产量,x,是生产要素,的投入量,P,为价格),其中：生产函数为,49,(2)生产函数目标：达到最佳的经济效益在产量不变的情况下,在条件,的最小值.,下求成本函数,构造拉格朗日函数,50,在条件的最小值.下求成本函数构造拉格朗日函数50,解得,即,结论：成本最小的必要条件是关于各种生产要素的,边际产量之比等于它们对应的价格之比.,边际产量：,称为关于生产要素的边际产量.,51,解得即结论：成本最小的必要条件是关于各种生产要素的边际产量之,在条件,的最小值.,下求生产函数,构造拉格朗日函数,52,在条件的最小值.下求生产函数构造拉格朗日函数52,解得,即,结论：虽然追求成本最小化与追求产量最大化的着,眼点不同，但是所要满足的条件是相同的.,53,解得即结论：虽然追求成本最小化与追求产量最大化的着眼点不同，,例13,设生产某产品必须投入两种要素，,投入量，,Q,为产出量；生产函数为,设两要素的价格分别为,产量为多少时可以使投入总费用最小？,其中,解,为两要素的,试求当,在条件,的最小值.,下求总费用,构造拉格朗日函数,54,例13设生产某产品必须投入两种要素，投入量，Q 为产出量；生,构造拉格朗日函数,解得,则,驻点唯一，由实际问题即为最值点,当,时，投入总费用最小.,55,构造拉格朗日函数解得则驻点唯一，由实际问题即为最值点当时，投,四、积分在经济中的应用,1、由边际成本求总函数,设固定成本,边际收益,其中,q,为产量=需求量=销售量.,边际成本,总成本函数,总收益函数,总利润函数,56,四、积分在经济中的应用1、由边际成本求总函数设固定成本边际收,例14 设某厂每天生产某产品,q,件，边际成本函数为,元/件，固定成本为20元,且该商品的销,售价格为18元/件，设生产出的商品都能售出，求,(1)成本函数,C,(,q,)；,(2)产量从2件增加到4件时的成本变化量；,(3)每天产量为多少时，利润最大？并求最大利润。,解,(1)成本函数,57,例14 设某厂每天生产某产品 q 件，边际成本函数为元/件,(2),或,(3),故当,时，,58,(2)或(3)故当时，58,例15 设某厂产品的边际收益为,(1)求收益函数,R,(,q,)；,(2)求当产品的销售量从10个单位减少到5个单位时，,收益的变化量？,解,(1)成本函数,(2),或,59,例15 设某厂产品的边际收益为(1)求收益函数 R(q),2、消费者剩余和生产者剩余,消费者剩余,记作,由于实际购买价 小于预计,购买价 ，省下的钱的总和,称为消费者剩余,生产者剩余,记作,由于生产者实际成交价 大于预计,成交价 ，则此额外收入的总和,称为消费者剩余,需求曲线,供给曲线,60,2、消费者剩余和生产者剩余消费者剩余记作由于实际购买价,例16 设某商品的需求函数为,供给函数为,解,先求市场的均衡价格 和均衡产量,求,消费者剩余,和生产者剩余,消费者剩余,生产者剩余,61,例16 设某商品的需求函数为供给函数为解先求市场的均衡价格,五、微分方程在经济中的应用,(1)新产品推广模型,设,t,时刻的销售量为,饱和水平,Logistic模型：,Logistic曲线：,利用微元分析法，建立有关经济量变化形式的微分,方程，通过求解方程，得出经济量的变化规律.,应用：可以描述人口的增长、谣言传播、流传病传播,市场占有率、生物种群数量等现象.,62,五、微分方程在经济中的应用(1)新产品推广模型设t 时刻,分析：,Logistic曲线：,拐点,销售速度较快,销售速度渐缓,63,分析：Logistic曲线：拐点销售速度较快销售速度渐缓63,(2)市场价格调整模型,设商品的需求函数与供给函数分别为,其中,当,时，得均衡价格,均为常数，且,供大于求：,供不应求：,降价,涨价,64,(2)市场价格调整模型设商品的需求函数与供给函数分别为其中,(2)市场价格调整模型,供大于求：,供不应求：,降价,涨价,故,t,时刻的价格的变化率与超额需求成正比.,即,65,(2)市场价格调整模型供大于求：供不应求：降价涨价故 t,(3)人才分配模型,设,t,年教师人数为,个毕业生，每年退休死亡或,每年的毕业生中从事,教师职业的比率为,调出人员的比率为,科技管理人员数目为,一个教师每年平均培养,则,(1),(2),66,(3)人才分配模型设 t 年教师人数为个毕业生，每年退休死,解 (1)式通解为,故特解为,设,则,通解为,代入(2)式，得,则,代入可得特解,67,解 (1)式通解为故特解为设则通解为代入(2)式，,特解,分析：若取,即毕业生全部留在教育界，则,说明教师队伍迅速增加，科技管理队伍不断萎缩，,势必影响经济发展.,取,则,说明不保证适当比例的毕业生充实教师队伍，将影响,人才培养，最终导致两支队伍全面的萎缩.,68,特解分析：若取即毕业生全部留在教育界，则说明教师队伍迅速增加,六、差分方程在经济中的应用,(1)价格与库存模型,通常情况下，库存量超过合理库存量，产品价格下跌,设,为第,t,个时段某产品价格,为合理库存量.,则,如果库存量低于合理库存量，产品价格上涨.,为第,t,个时段的库存量,其中,c,为比例系数，常数,变形为,69,六、差分方程在经济中的应用(1)价格与库存模型通常情况下,其中,设供给函数与需求函数分别为,则,设特解为,代入方程得,(*),对应的齐次特征方程为,70,其中设供给函数与需求函数分别为则设特解为代入方程得(*)对应,解得,其中,当,其中,则方程(*)的通解为,即第,t,时段价格将围绕稳定值,循环变化.,当,则,方程(*)的通解为,为两个实根，,特别,当,变化迅速，方程无稳定解.,价格相对稳定,71,解得其中当其中则方程(*)的通解为即第 t 时段价格将围绕稳,(2)萨缪尔森（Samuelson,P.A）相互作用模型,将后两个方程代入第一个方程：,为常数,设,为,t,期国民收入，,为,t,期消费，,为,t,期,投资，G为政府支出(各期相同)，,萨缪尔森建立如下,模型：,72,(2)萨缪尔森（Samuelson,P.A）相互作用模型,给定,后，可求出对应齐次方程的通解,上述方程的通解为,由所给模型，还有,任意常数.,73,给定,后，可求出对应齐次方程的通解上述方程的通解为由所给,小张夫妇从儿子出生开始,每年向银行存入,x,元作为家庭教育基金,若银行的年复利率为,r,试写出第,n,年后教育基金总额的表达式.预计当子女18岁入大学时所需费用为30000元,按年利率10%计算,小张每年应向银行存入多少元?,解,设,n,年后教育基金总额为,a,n,按复利公式有,其通解为：,这是关于,的一阶非齐次线性差分方程,例17(,教育储蓄问题,),（,C,是任意常数）,74,其满足初始条件为,a,0,=,x,的特解为,其通解为,将,a,18,=30000,k,=18,r,=0.1代入上式,（,C,是任意常数）,75,其满足初始条件为a0=x 的特解为其通解为将a18=,萨谬尔森Paul Anthony Samuelson（1915）：芝加哥大学文学学士，哈佛大学文学硕士，哈佛大学经济学博士。,1970年获得诺贝尔经济学奖。,从1940年起，萨谬尔森一直执教于麻省理工学院。,萨谬尔森在经济学领域中可以说是无处不在。进入大学一开始学习经济学便遇到萨谬尔森的经济学教科书。,76,萨谬尔森Paul Anthony Samuelson（19,